ALGEBRA LINEAL

Trabajo Colaborativo No. 1

Grupo: 100408_352

Presentado Por:

WILLIAM CAMILO SALCEDO

CODIGO: 1057578237

CRISTIAN CAMILOPEREZ GUTIERREZ

CODIGO: 1.057.590.041

JOSE ALEXANDER CARDENAS

CODIGO:

TUTOR:

IVAN FERNANDO AMAYA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

 SEPTIEMBRE DE 2015

 

INTRODUCCIÓN

Con este trabajo se pretende que el estudiante identifique algunos aspectos que son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se presenta a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos.

En la unidad 1 del programa de Algebra Lineal se abordan temas como vectores, matrices y determinantes, y se explica los métodos de solución para estos sistemas.

 

OBJETIVOS

Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en la unidad 1 del programa de Algebra Lineal.

Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos que la componen.

Realizar las operaciones algebraicas básicas con matrices y sus propiedades.

Resolver los cinco problemas que se presentan a continuación, describiendo el proceso paso por paso:

1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:

a. |u|=5 ;θ=2250

b. |v|=3 ;θ=600

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

1.1. 2u−6 v1.2. v−u1.3 6 v−7u

SOLUCION:

1.1

a. |u|=5 ;θ=2250 Ū= (5 Cos 225°, 5 Sen 225°) = (-3.535 ,-3.535)

b. |v|=3 ;θ=600v= (3 Cos 60° , 3 Sen 60°) = (1.5 , 2.59)

2u−6 vū + ¯v= (-3.535+ 1.5 , -3.535 + 2.59) = (-2.035 , -0.945)

1.2. v−u

  ¯v –ū = (1.5 , 2.59) -(-3.535 ,-3.535) = (5.035  , 6.125)

1.3 6 v−7u

6¯v - 7ū= 6(1.5 , 2.59)- 7(-3.535 ,-3.535)= (9, 15.54)-(-23.471,-23.471)=(32.471 , 39.011)

2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

2.1. u=2 i+9 j y v=−6 i+9 j

2.2. w=−5 i− j y z=−7 i−4 j

2.1. u=2 i+9 j y v=−6 i+9 j

u=2 i+9 j= (2,9) ǀuǀ= √ (2 )2+ (9 )2=√85

v=−6 i+9 j= (-6,9) ǀvǀ= √ (−6 )2+(9 )2=√117

u*v= (2,9)*(-6,9)= -12+81=69

Ө= cos−1( u∗vǀu ǀ ǀ v ǀ

) = cos−1( 69

√85+√117)

Ө= cos−10.692

Ө=46.21

2.2. w=−5 i− j y z=−7 i−4 j

w=−5 i− j= (-5,-1) ǀwǀ= √ (−5 )2+(−1 )2=√26

z=−7 i−4 j= (-5,-1) ǀzǀ= √ (−7 )2+(−4 )2=√65

w*z= (-5,-1)*(-7,-4)= 35+4=39

Ө= cos−1( w∗zǀw ǀ ǀ z ǀ

) = cos−1( 39

√26+√65)

Ө= cos−10.9487

Ө=18.43

3. Dada la siguiente matriz, encuentre 1A empleando para ello el método de

Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso). NO SE ACEPTAN PROCEDIMIENTOS REALIZADOS POR PROGRAMAS DE CALCULO

(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la

forma b

a

y NO con sus representaciones decimales).

C=( 2 8 0−3 0 −18 1 −3 )

SOLUCION

Trabajamos la inversa A−1

A−1=[ 2 8 0−3 0 −18 1 −3

¿1 0 0¿ 0 1 0¿ 0 0 1] F3=4 (F2 )+(−1 (F3 ))

A−1=[ 2 8 0−3 0 −10 31 3

¿1 0 0¿0 1 0¿4 0 −1] F1=−1 (F1 )+(−1 (F2 ))

A−1=[ 1 −8 1−3 0 −10 31 3

¿−1 −1 0¿0 1 0¿4 0 −1] F2=3 (F1 )+F2

A−1=[1 −8 10 −24 20 31 3

¿−1 −1 0¿−3 −2 0¿ 4 0 −1] F2=

−124F2

A−1=[1 −8 1

0 1−112

0 31 3

¿−1 −1 0

¿ 18

112

0

¿4 0 −1] F1=8 (F2)+F1

A−1=[1 013

0 1−112

0 31 3

¿0 −13

0

¿18

112

0

¿ 4 0 −1] F3=−31 (F2 )+F3

A−1=[1 013

0 1−112

0 06712

¿0 −13

0

¿ 18

112

0

¿18

−3112

−1] F3=1267F3

A−1=[1 013

0 1−112

0 0 1

¿0 −13

0

¿ 18

112

0

¿3134

−3112

−1267

] F1=−13F3+F1

A−1=[1 0 0

0 1−112

0 0 1

:− 1134

−1267

467

:18

112

0

:3134

−3112

−1267

] F2=112F3+F2

A−1=[1 0 00 1 00 0 1

¿− 1134

−1267

467

¿ 17134

367

−167

¿3134

−3112

−1267

]At=[−1 /134 −12 /67 4 /67

17 /134 3 /67 −1/673 /134 −31/12 12/67 ]

4. Encuentre el determinante de la siguiente matriz describiendo paso a paso la operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular).

A = [−1 0 9 2 18 3 3 −4 15 6 −4 2 10 0 0 1 −20 −1 2 −3 1

] = detA = 1(480) + (-2)(36) = 408

A44 * [−1 0 9 18 3 3 15 6 −4 10 −1 2 1

] -A42 * [−1 9 1

8 3 15 −4 1]

-A42 * [−1 9 18 3 15 −4 1]

−1 98 35 −4

-3+45-32-15-4-72 = -81

A43 * [−1 0 18 3 15 6 1]

A43 * [−1 0 18 3 15 6 1]

−1 08 35 6

-3+48-15+6 = 36

A44 * [−1 0 98 3 35 6 −4]

A44 * [−1 0 98 3 35 6 −4]

−1 08 35 6

12+432-135+18 = 327

A44 = (-1)(-81) + 2(36) + 1(327) = 480

-A44 * [−1 0 9 28 3 3 −45 6 −4 20 −1 2 −3]

-A42 * [−1 9 28 3 −45 −4 2 ]

-A42 * [−1 9 28 3 −45 −4 2 ]−1 9

8 35 −4

-6+180-64-30+16-144 = -48

A43 * [−1 0 28 3 −45 6 2 ]

A43 * [−1 0 28 3 −45 6 2 ]−1 0

8 35 6

-6+96-30-24 = 96

- A44 * [−1 0 98 3 35 6 −4]

- A44 * [−1 0 98 3 35 6 −4]

−1 08 35 6

12+432-135+18 = 327

A44 = (-1)(-48) + 2(96) + (-3)(327) = -741

5. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello

determinantes (Recuerde: AdjA

DetAA *

11

) Nota: Describa el proceso paso por paso

C = [−2 5 −13 0 −43 1 −5 ]

C = - 60 – 3 - 8 + 75 = 4

Aᵗ = [−2 3 35 0 1

−1 −4 −5] = ([0 1

−4 −5] −[ 5 1−1 −5] [ 5 0

−1 −4 ][ 3 3−4 −5] [−2 3

−1 −5] [−2 3−1 −4 ]

[3 30 1] [−2 3

5 1] [−2 35 0] ) = (−4 −24 −26

3 7 −53 −13 15 )

A G¹ = ¼ . (−4 −24 −263 7 −53 −13 15 ) = (−1 −6 −56

3 /4 7/ 4 −5/43 /4 −13/ 4 15/4 )