algebra lineal
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ALGEBRA LINEAL
Trabajo Colaborativo No. 1
Grupo: 100408_352
Presentado Por:
WILLIAM CAMILO SALCEDO
CODIGO: 1057578237
CRISTIAN CAMILOPEREZ GUTIERREZ
CODIGO: 1.057.590.041
JOSE ALEXANDER CARDENAS
CODIGO:
TUTOR:
IVAN FERNANDO AMAYA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
UNAD
SEPTIEMBRE DE 2015
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INTRODUCCIÓN
Con este trabajo se pretende que el estudiante identifique algunos aspectos que son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se presenta a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos.
En la unidad 1 del programa de Algebra Lineal se abordan temas como vectores, matrices y determinantes, y se explica los métodos de solución para estos sistemas.
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OBJETIVOS
Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en la unidad 1 del programa de Algebra Lineal.
Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos que la componen.
Realizar las operaciones algebraicas básicas con matrices y sus propiedades.
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Resolver los cinco problemas que se presentan a continuación, describiendo el proceso paso por paso:
1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:
a. |u|=5 ;θ=2250
b. |v|=3 ;θ=600
Realice analíticamente, las operaciones siguientes:
1.1. 2u−6 v1.2. v−u1.3 6 v−7u
SOLUCION:
1.1
a. |u|=5 ;θ=2250 Ū= (5 Cos 225°, 5 Sen 225°) = (-3.535 ,-3.535)
b. |v|=3 ;θ=600v= (3 Cos 60° , 3 Sen 60°) = (1.5 , 2.59)
2u−6 vū + ¯v= (-3.535+ 1.5 , -3.535 + 2.59) = (-2.035 , -0.945)
1.2. v−u
¯v –ū = (1.5 , 2.59) -(-3.535 ,-3.535) = (5.035 , 6.125)
1.3 6 v−7u
6¯v - 7ū= 6(1.5 , 2.59)- 7(-3.535 ,-3.535)= (9, 15.54)-(-23.471,-23.471)=(32.471 , 39.011)
2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:
2.1. u=2 i+9 j y v=−6 i+9 j
2.2. w=−5 i− j y z=−7 i−4 j
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2.1. u=2 i+9 j y v=−6 i+9 j
u=2 i+9 j= (2,9) ǀuǀ= √ (2 )2+ (9 )2=√85
v=−6 i+9 j= (-6,9) ǀvǀ= √ (−6 )2+(9 )2=√117
u*v= (2,9)*(-6,9)= -12+81=69
Ө= cos−1( u∗vǀu ǀ ǀ v ǀ
) = cos−1( 69
√85+√117)
Ө= cos−10.692
Ө=46.21
2.2. w=−5 i− j y z=−7 i−4 j
w=−5 i− j= (-5,-1) ǀwǀ= √ (−5 )2+(−1 )2=√26
z=−7 i−4 j= (-5,-1) ǀzǀ= √ (−7 )2+(−4 )2=√65
w*z= (-5,-1)*(-7,-4)= 35+4=39
Ө= cos−1( w∗zǀw ǀ ǀ z ǀ
) = cos−1( 39
√26+√65)
Ө= cos−10.9487
Ө=18.43
3. Dada la siguiente matriz, encuentre 1A empleando para ello el método de
Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso). NO SE ACEPTAN PROCEDIMIENTOS REALIZADOS POR PROGRAMAS DE CALCULO
(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la
forma b
a
y NO con sus representaciones decimales).
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C=( 2 8 0−3 0 −18 1 −3 )
SOLUCION
Trabajamos la inversa A−1
A−1=[ 2 8 0−3 0 −18 1 −3
¿1 0 0¿ 0 1 0¿ 0 0 1] F3=4 (F2 )+(−1 (F3 ))
A−1=[ 2 8 0−3 0 −10 31 3
¿1 0 0¿0 1 0¿4 0 −1] F1=−1 (F1 )+(−1 (F2 ))
A−1=[ 1 −8 1−3 0 −10 31 3
¿−1 −1 0¿0 1 0¿4 0 −1] F2=3 (F1 )+F2
A−1=[1 −8 10 −24 20 31 3
¿−1 −1 0¿−3 −2 0¿ 4 0 −1] F2=
−124F2
A−1=[1 −8 1
0 1−112
0 31 3
¿−1 −1 0
¿ 18
112
0
¿4 0 −1] F1=8 (F2)+F1
A−1=[1 013
0 1−112
0 31 3
¿0 −13
0
¿18
112
0
¿ 4 0 −1] F3=−31 (F2 )+F3
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A−1=[1 013
0 1−112
0 06712
¿0 −13
0
¿ 18
112
0
¿18
−3112
−1] F3=1267F3
A−1=[1 013
0 1−112
0 0 1
¿0 −13
0
¿ 18
112
0
¿3134
−3112
−1267
] F1=−13F3+F1
A−1=[1 0 0
0 1−112
0 0 1
:− 1134
−1267
467
:18
112
0
:3134
−3112
−1267
] F2=112F3+F2
A−1=[1 0 00 1 00 0 1
¿− 1134
−1267
467
¿ 17134
367
−167
¿3134
−3112
−1267
]At=[−1 /134 −12 /67 4 /67
17 /134 3 /67 −1/673 /134 −31/12 12/67 ]
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4. Encuentre el determinante de la siguiente matriz describiendo paso a paso la operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular).
A = [−1 0 9 2 18 3 3 −4 15 6 −4 2 10 0 0 1 −20 −1 2 −3 1
] = detA = 1(480) + (-2)(36) = 408
A44 * [−1 0 9 18 3 3 15 6 −4 10 −1 2 1
] -A42 * [−1 9 1
8 3 15 −4 1]
-A42 * [−1 9 18 3 15 −4 1]
−1 98 35 −4
-3+45-32-15-4-72 = -81
A43 * [−1 0 18 3 15 6 1]
A43 * [−1 0 18 3 15 6 1]
−1 08 35 6
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-3+48-15+6 = 36
A44 * [−1 0 98 3 35 6 −4]
A44 * [−1 0 98 3 35 6 −4]
−1 08 35 6
12+432-135+18 = 327
A44 = (-1)(-81) + 2(36) + 1(327) = 480
-A44 * [−1 0 9 28 3 3 −45 6 −4 20 −1 2 −3]
-A42 * [−1 9 28 3 −45 −4 2 ]
-A42 * [−1 9 28 3 −45 −4 2 ]−1 9
8 35 −4
-6+180-64-30+16-144 = -48
A43 * [−1 0 28 3 −45 6 2 ]
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A43 * [−1 0 28 3 −45 6 2 ]−1 0
8 35 6
-6+96-30-24 = 96
- A44 * [−1 0 98 3 35 6 −4]
- A44 * [−1 0 98 3 35 6 −4]
−1 08 35 6
12+432-135+18 = 327
A44 = (-1)(-48) + 2(96) + (-3)(327) = -741
5. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello
determinantes (Recuerde: AdjA
DetAA *
11
) Nota: Describa el proceso paso por paso
C = [−2 5 −13 0 −43 1 −5 ]
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C = - 60 – 3 - 8 + 75 = 4
Aᵗ = [−2 3 35 0 1
−1 −4 −5] = ([0 1
−4 −5] −[ 5 1−1 −5] [ 5 0
−1 −4 ][ 3 3−4 −5] [−2 3
−1 −5] [−2 3−1 −4 ]
[3 30 1] [−2 3
5 1] [−2 35 0] ) = (−4 −24 −26
3 7 −53 −13 15 )
A G¹ = ¼ . (−4 −24 −263 7 −53 −13 15 ) = (−1 −6 −56
3 /4 7/ 4 −5/43 /4 −13/ 4 15/4 )