PRACTICAS DE

ANÁLISIS NUMÉRICO I

Víctor Manuel Galdamez SalgueroJosé Manuel Mesa Gómez

índice global

PRACTICA 1

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES 1

PRÁCTICA 2

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO

LINEALES 24

PRÁCTICA 3

INTERPOLACIÓN.DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN

APROXIMADA 91

PRÁCTICA 4

PROBLEMAS DE VALORES INICIALES PARA

ECUACIONES DIFERENCIALES 148

BIBLIOGRAFÍA 176

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

NO LINEALES

-Análisis Numérico I-

Víctor Manuel Galdamez SalgueroJosé Manuel Mesa Gómez

Resolución de ecuaciones no lineales José M. Mesa GómezVíctor M. Galdamez Salguero

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN 1

BISECCIÓN 2

ALGORITMO DEL PUNTO FIJO 3

ALGORITMO DE AITKEN 8

ALGORITMO DE NEWTON-RAPHSON 8

ALGORITMO DE STEFFENSEN 9

TABLA COMPARATIVA 1 11

TABLA COMPARATIVA 2 12

TABLA COMPARATIVA 3 13

DIAGRAMAS DE FLUJO DE LOS ALGORITMOS 14

BISECCIÓN 14

PUNTOFIJO 14

AITKEN 15

STEFFENSEN 15

NEWTON 15

DEFINICIÓN DE FUNCIONES UTILIZADAS 16

IMPLEMENTACION DE LOS MÉTODOS UTILIZADOS 17

0

Resolución de ecuaciones no lineales José M. Mesa Gómez

Víctor M. Galdamez Salguero

Se va a realizar un estudio de la función f^x)=3x7 + x3-l para aproximar lassoluciones de f(x)=0, para ello se van a usar los métodos de aproximación estudiadoshasta ahora.

A continuación se muestra la representación gráfica de f(x) en [-10,10] paraobtener una idea de la raíz de f^x)=0 en dicho intervalo, si es que la hay.

4

3

2

1

>, o

-1

-2

-3

.¿i

<10

1/

_y/""""

/1

-10 -5 10

A simple vista no se puede obtener una idea de una solución aproximada, luegoreducimos sucesivamente el intervalo hasta [-1.5, 1.5], donde ya se aprecia que unasolución se encuentra en el intervalo [0, 1].

60

40

20

-20

-40

-60-1.5 -1 -0.5 0.5 1.5

Resolución de ecuaciones no lineales José M. Mesa Gómez

Víctor M. Galdamez Salguero

En una aproximación final se puede observar que la raíz está muy próxima a 0.8,luego representamos el intervalo [0.5, 11:

2.5

1.5

0.5

-0.5

•1

/

///

/

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

MÉTODO DE BISECCIÓN

El método de bisección lo que hace es, dado un intervalo, calcula su puntomedio y estudia el signo de la función en los intervalos resultantes, quedándose con elintervalo donde la función cambia de signo, repitiendo los pasos según la tolerancia quese desee. Por ello, siempre que en el intervalo dado exista una única raíz, y solo una, elalgoritmo siempre convergerá, pero de forma lenta.

La raíz resultante por este método en el intervalo [0, I] y con una toleranciade 10 10 es 0.779768068459816, utilizándose para calcularla 33 iteraciones.

N SOLUCIÓN INTERVALO

1

5

9

13

17

21

25

29

33

0.500000000000000

0.781250000000000

0.779296875000000

0.779663085937500

0.779762268066406

0.779768466949463

0.779768079519272

0.779768070206046

0.779768068459816

[0.500000000000000,1.000000000000000]

[0.750000000000000,0.781250000000000]

[0.779296875000000,0.781250000000000]

[0.779663085937500,0.779785156250000]

[0.779762268066406,0.779769897460938]

[0.779767990112305,0.779768466949463]

[0.779768049716949,0.779768079519272]

[0.779768068343401,0.779768070206046][0.779768068459816,0.779768068576232]

Operaciones(coma flotante)

642 Tiempo(s) 0.77000000000000

4

Resolución de ecuaciones no lineales José M. Mesa Gómez

Víctor M. Galdamez Salguero

El siguiente gráfico muestra la convergencia hacia la raíz respecto al numero deiteraciones:

0.85

0.8

0.75

0.7

0.65

0.6

0.55

0.510

N° Iteraciones 33

15 20

iteraciones

25 30

Si se intenta usar el algoritmo en un intervalo donde no existe una única raíz, ono existen raíces, se muestra el mensaje 'En el intervalo no existe una única raíz'.

ALGORITMO DEL PUNTO FIJO

Para aplicar el algoritmo del punto fijo hay que transformar la ecuación f(x)=0 alsistema x=g(x), siendo este paso no unívoco. Las funciones g(x), y sus derivadas,utilizadas, son las siguientes:

g¡fic) = x- 3x'*x3-I

21 x6 + 3X2

1-3X7g2(x)

Sv<x>

g*(x)

(126 x3 *te)(3x'i x-I)2 \ 2(21x6 ' 3X2).

-15 y7-2

x

g3(x) 3x7 + xr+x-\ , gr(x) 2Lr"+3.v2+l

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Víctor M. Galdamez Salguero

Utilizando bisección en [0,1] con una tolerancia de 10"1 y una tolerancia enpuntofijo de 10"15 resultan los siguientes datos:

OParag¡(x):

Iteración Solución

8.7500000000000000e-001

7.797756110116013le-001

7.7976806856378933e-001

Operaciones85 Tiempo(s)

"**^7 1 I i _:

4 9999999999997]6e-002i

OPara go(x):

Iteración Solución

0

1

2

3

4

5

8.7500000000000000e-001

-2.3260435766103316e-001

1.8484695588939989e+001

-6.4741501725878520e+006

3.4122048781147884e+034

-1.3877037192196233e+173

ii- Operaciones:e:.(coma flotante)

:•:.::::.• 43 '"£::::r Tiempó(s) :';¡-: 0.05:000000000000

O Para g3(x):

Iteración Solución

0

3

5

8.7500000000000000e-001

3.3384272376394255e+015

Inf

Operaciones(coma flotante)

49 Tíempo(s) 0.106000000000000 ü•

Observando los resultados se puede ver que la única g(x) que converge es gi(x)(g(x) de Newton-Raphson), pues g2(x) diverge a co y g3(x) diverge a +oo.

Resolución de ecuaciones no lineales José M Mesa Gómez

Víctor M. Galdamez Salguero

0.88

0.86

0.84

0.82

0.8

0.78

0.76

Conve rgencia con x==gi(x)

LMr

110 20 30

iteraciones

40 50

A continuación se muestran las representaciones gráficas de gi'(x), g2'(x) y g3'(x) en[0.7,0.8], para demostrar gráficamente que la única derivada que cumple condición deconvergencia |g'(x)|<l es gi'(x), pues gi(x) converge para cualquier x dado, comopodremos ver en la siguiente página, donde se representan los sistemas x=g(x).

glpnma(x)

0.1

a

-a 1

-a 2

-a 3

-a a

*•>'

y^

/y

/

o •• 0 72 0 74 0 76 0 7! 0 ti

Resolución de ecuaciones no lineales José M. Mesa Gómez

Víctor M. Galdamez Salsuero

-9 4

-9 5

-9 6

-9 7

-9.a

-9.9

-10

g2pnma(x)

\

\

\

0 7 0.72 ü .74 0 76 0.78 0.8

5 6

5 4

5 2

>• 5

4 8

.: í:

4 4

g3prima(x)

//

X

y

^yy

0 7 0 72 0 74 0 76 0 78 D 3

Para entender el por qué de las convergencias según los sistemas x=g(x) lo convenientees representarlos gráficamente en entornos de la solución:

x=g1(x)

2.5

>. 1.5

0.5

y1

/y

^

^yy

0.5 1.5 2

x

s

2.5

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Víctor M. Galdamez Salguero

10

-2

-4

x=g2(x)

\

v~"*^-

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x

0.8 0.9 t.1

-2

-4

-6

x=g3(x)

4¡

i

/""/

-1 -0.5 0.5

Se deduce de los gráficosque gi(x) converge para cualquier x, g2(x) diverge a +oo yalternamente independientemente del x, y g-?(x) diverge a +oo si el punto inicial esmayor que la solución o a -oo si es menor que la solución.

-oo

t¡§»

v#

y»

w

w

vsf

y»

(^

vi/

fcg/

W

v#

w

v#

v^»

(a»

lia»

&

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VíctorM. Galdamez Salguero

ALGORITMO DE AITKEN

Es un algoritmo cuya sucesión resultante converge superlinealmente,es decir, converge mucho más rápidamente que la sucesión lineal resultantedel algoritmo del puntofijo.

It gi(x) g2(x) ga(x)

0

1

2

3

4

8.7500000000000000e-001

7.7965463744501284e-001

7.7976803179138243e-001

7.797680685637851 le-001

7.7976806856378933e-001

8.7500000000000000e-001

8.1311887339874978e-001

-2.3255024472036259e-001

1.8484695588939989e+001

-6.4741501725878520e+006

8.7500000000000000e-001

8.69808415295292966-001

1.7230095863284107e+000

1.41087541471292246+002

3.3384272376394255e+015

(cormtoani i-'\\'?!»-->' 1

El comportamiento de las g(x) es igual que con el algoritmo del punto fijopero algoritmo de Aitken converge mucho más rápidamente que elalgoritmo del puntofijo.

ALGORITMO DE NEWTON-RAPHSON

El algoritmo de Newton-Raphson es un algoritmo cuadrático, de graneficiencia y eficacia. Utilizando como dato inicial el que retorna el método de bisecciónentre [0,1] con una tolerancia de 10"1 y newton con una tolerancia de 10"15 se obtienenlos siguientes datos:

Iteración

(coma flotante)•^»

Solución

0.875000000000000

0.802653965954176

0.781322663463662

0.779775611011601

0.779768068741986

0.779768068563789

--'-tóérapDÍs)-—•fin M'i '' vnv

r:^i^mm^^m^^

Se puede observar que aunque el po inicial es muy malo el algoritmoobtiene la solución con 15 cifras decimales exactas en solo 5 iteraciones.

10 8