Post on 04-Jul-2020
Análisis de Imágenes Digitales
Filtros espaciales suavizantes
Dr. Wilfrido Gómez Flores
Introducción
paso bajo paso alto paso banda
rechaza banda
Filtrado es un concepto tomado del procesamiento en el dominio de la frecuencia.Se re�ere a pasar, modi�car o rechazar componentes de frecuencia especí�casde una imagen. Los grá�cos ilustran los diferentes tipos de �ltros existentes deacuerdo con las componentes de frecuencia que preservan.
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Introducción
El �ltrado espacial modi�ca una imagen reemplazando el valor de cada píxelpor una función de los valores de el píxel y sus vecinos. Un �ltro espacial utilizauna ventana (máscara o kernel) que se desplaza píxel por píxel generando unaimagen �ltrada. El origen del �ltro se ubica sobre la coordenada (x, y) del píxelque será modi�cado. Un �ltro espacial puede ser lineal o no lineal.
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Filtros lineales
Un �ltro lineal realiza una suma de productos entre una imagen f y una ventanade �ltro w. El tamaño de w (m × n) de�ne el vecindario y sus coe�cientesdeterminan la naturaleza del �ltro. En este ejemplo, el píxel modi�cado es
g(x, y) = w(−1,−1)f(x−1, y−1)+. . .+w(0, 0)f(x, y)+. . .+w(1, 1)f(x+1, y+1)
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Filtros lineales
Paso bajo Paso alto Paso banda
Secciones transversales de �ltros espaciales lineales típicos. El �ltro paso bajosgeneralmente se usa para reducción de ruido, mientras que el �ltro paso alto esutilizado para detección de bordes. El �ltro paso banda comúnmente se utilizapara el realce de características como las texturas.
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Filtros lineales
La convolución espacial es sinónimo de �ltrado lineal espacial:
w ∗ f(x, y) =
a∑s=−a
b∑t=−b
w(s, t)f(x− s, y − t) (1)
para x = 0, 1, . . . ,M − 1 y y = 0, 1, . . . , N − 1, y a = (m− 1)/2
y b = (n− 1)/2 asumiendo que m y n son enteros impares.
El signo menos alinea las coordenadas de f y w cuando una de
las funciones es rotada 180◦; por convención, w se rota.
Si w no se rota, se obtiene la correlación espacial :
w ∗◦f(x, y) =
a∑s=−a
b∑t=−b
w(s, t)f(x+ s, y + t) (2)
Si w es simétrico con respecto al origen, entonces convolución y
correlación obtienen el mismo resultado.5/31 Filtros espaciales suavizantes AID-03
Filtros lineales
La función f representa un impulso unitario discreto. Para evitar operacionesinde�nidas en los bordes de f , se realiza un zero-padding. La convolución generauna copia exacta de w sin rotar (respuesta al impulso), mientras que con lacorrelación se obtiene una copia de w rotada 180◦.
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Filtros lineales
La convolución genera una copia exacta de w sin rotar.
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Filtros lineales
La correlación genera una copia rotada 180◦ de w.
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Filtros lineales
Algunas propiedades importantes de la convolución. La correlación solosatisface la propiedad distributiva.
Propiedad Expresión
Conmutativa f ∗ g = g ∗ fAsociativa f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ hDistributiva f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h)
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Filtros lineales
Convoluciones en secuencia: w = w1 ∗ w2 ∗ . . . ∗ wK .
Una ventana es separable si w = vwT , donde v y w son vectores
de tamaño m× 1 y n× 1, respectivamente.
Si w puede descomponerse en dos ventanas tal que w = w1 ∗w2:
w∗f = (w1∗w2)∗f = (w2∗w1)∗f = w2∗(w1∗f) = (w1∗f)∗w2 (3)
Ventaja computacional de ventanas separables:
C =MNmn
MN(m+ n)=
mn
m+ n(4)
donde el numerador es el número de operaciones para una ventana
no separable, y el denominador para una ventana separable.
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Filtros lineales suavizantes
Los �ltros suavizantes son utilizados para reducir ruido y borrar
detalles irrelevantes en una imagen.
La suma de los coe�cientes de la ventana debe ser la unidad para
evitar introducir un sesgo en el �ltrado.
El �ltro paso bajos más simple calcula la media de los vecinos de
el píxel f(x, y):
g(x, y) =
∑(s,t)∈w
f(s, t)∑(s,t)∈w
w(s, t)(5)
y se denomina �ltro promedio o �ltro de caja.
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Filtros lineales suavizantes
La ventana de un �ltro promedio se implementa como:
w =1
mn
1 2 ··· m
1 1 · · · 1 1
1 1 · · · 1 2
......
. . ....
...
1 1 · · · 1 n
(6)
Forma separable: w = vwT donde
v =1
m· [1, 1, . . . , 1]T y w =
1
n· [1, 1, . . . , 1]T
son vectores de tamaño m× 1 y n× 1, respectivamente.
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Filtros lineales suavizantes
(a) (b)
(c) (d)
(a) Imagen original de 500 × 500. Resultados del �ltro paso bajo promedio detamaño: (b) 5× 5, (c) 11× 11, y (d) 21× 21.
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Filtros lineales suavizantes
Una alternativa al �ltro promedio es el �ltro de media geométrica:
g(x, y) =
∏(s,t)∈w
f(s, t)
1mn
(7)
= exp
∑(s,t)∈w
log f(s, t)
1mn
(8)
Por conveniencia, la imagen f debe estar en el rango (0, 1] para
evitar sumas muy grandes.
Tiene mejor desempeño que el �ltro promedio en la preservación
de detalles �nos de los objetos.
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Filtros lineales suavizantes
(a) Imagen original con ruido Gaussiano. (b) Filtro promedio de tamaño 3 × 3.(c) Filtro de media geométrica de tamaño 3× 3.
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Filtros lineales suavizantes
El �ltro Gaussiano es un �ltro isotrópico, esto es, su respuesta es
independiente de la orientación:
w(s, t) =1
k· exp
(−s
2 + t2
2σ2
),
s = − (m−1)2 , . . . , (m−1)2
t = − (n−1)2 , . . . , (n−1)2
(9)
donde σ2 es la varianza y k es la suma de todos los coe�cientes
en la ventana que garantiza∑
(s,t)∈w w(s, t) = 1.
Forma separable:
w(r) =1
k· exp
(− r2
2σ2
)(10)
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Filtros lineales suavizantes
0
2
3
10-3
2
4
1 30 21-1
6
0-2 -1-3 -2-3
03
2
2 3
4
10-3
1 2
6
0 1
8
0-1-1-2 -2
-3 -3
Original Filtro promedio Filtro Gaussiano
Desempeños del �ltro promedio versus �ltro Gaussiano.
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Filtros lineales suavizantes
Efecto del tamaño del �ltro Gaussiano m×m y el valor de σ.
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Filtros con estadísticos de orden
Filtros con estadísticos de orden � basados en el ordenamiento de
los píxeles contenidos en una región w.
Suavizado � el valor del píxel central en w se reemplaza por un valor
determinado por el resultado del ordenamiento: mínimo, máximo,
mediana, etc.
Filtro de mediana � reemplaza el valor del píxel central por el valor
de la mediana del vecindario (percentil 50):
g(x, y) = mediana(s,t)∈w
{f(s, t)} (11)
donde w es una ventana de tamaño m× n.
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Filtros con estadísticos de orden
(a) (b)
El �ltro de mediana es particularmente efectivo cuando el patrón de ruido consistede componentes atípicas (ruido impulsivo) y se desea preservar la agudeza de losbordes. En la mitad izquierda: (a) ruido sal y pimienta, y (b) ruido Gaussiano, yen la mitad derecha efecto de una ventana de tamaño 3× 3.
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Filtros con estadísticos de orden
El �ltro de mediana híbrido obtiene información de diferentes direc-
ciones espaciales: D�diagonal, R�vertical y horizontal, y C�central.
El píxel central se remplaza con la mediana de las medianas de cada
dirección:
g(x, y) = mediana {mediana(D),mediana(R),C} (12)
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Filtros con estadísticos de ordenR
uid
o s
al y p
imie
nta
Filtro mediana 5x5 Filtro mediana hibrido 5x5
Ru
ido
Ga
ussia
no
El �ltro mediana híbrido preserva mejor la agudeza de los objetos.
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Filtro de difusión
Cuando existen componentes de ruido en diferentes escalas, un
solo �ltro puede no ser efectivo.
Se puede utilizar un banco de �ltros Gaussianos con σ creciente
aplicados sucesivamente a la imagen (scale-space).
Imagen ruidosa
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Filtro de difusión
Imagen ruidosa Un solo filtro Banco de filtros
Izquierda: imagen contaminada con ruido Gaussiano. Centro: imagen �ltrada conun solo �ltro Gaussiano con σ = 5, aun se mantienen componentes ruidosas.Derecha: imagen �ltrada con un banco �ltros Gaussiano con σ = [1, 1.5, . . . , 5],aunque se logra reducir el ruido la imagen se ha perdido agudeza en los detalles.
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Filtro de difusión
Aplicar sucesivamente �ltros Gaussianos equivale a resolver la
ecuación de difusión lineal:I(x, y, 0)= I0(x, y)
∂I(x,y,t)∂t = ∇2I(x, y, t)
(13)
donde ∇2I = ∇ · ∇I es el operador Laplaciano.
En física: la temperatura de un cuerpo se tiende a uniformizar a
medida que pasa el tiempo.
En imágenes: los niveles de intensidad tienden a ser uniformes
dentro de regiones homogéneas.
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Filtro de difusión
Discretización de (13) para cuatro vecinos:
It+1i,j = Iti,j + 1
4 [∇NI +∇SI +∇W I +∇EI]ti,j (14)
donde ∇ indica gradiente de la imagen I en las direcciones N (arri-
ba), S(abajo), W (izquierda) y E (derecha):
∇NI = Ii−1,j − Ii,j ∇EI = Ii,j+1 − Ii,j∇SI = Ii+1,j − Ii,j ∇W I = Ii,j−1 − Ii,j
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Filtro de difusión anisotrópico
Problema � cuando t→∞, se reduce más ruido aunque la ima-
gen se distorsiona por `emborronamiento'.
Solución � detener la difusión en los bordes de los objetos para
evitar emborronarlos:
∂I(x, y, t)
∂t= ∇ · [g (∇I)∇I] (15)
donde g(·) es una función de conducción:
g (∇I) =1
1 +(|∇I|2κ2
) (16)
donde κ es una constante que controla la extensión de la difusión.
g → 0 sobre los bordes y g → 1 en regiones homogéneas.
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Filtro de difusión anisotrópico
Discretizando (15) se obtiene el �ltro de difusión anisotrópico:
It+1i,j = Iti,j + λ [gN · ∇NI + gS · ∇SI + gW · ∇W I + gE · ∇EI]ti,j
(17)
dondegN = g (∇NI) gE = g (∇EI)
gS = g (∇SI) gW = g (∇W I)
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Filtro de difusión anisotrópico
Comparativo de imágenes con ruido Gaussiano e imágenes �ltradas con difusiónanisotrópico: κ = 2, λ = 0.1 y tmax = 300.
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Medidas de desempeño
La estimación de la potencia de ruido cuanti�ca la degradación de
una imagen original con respecto a su versión contaminada.
El desempeño de un �ltro se puede medir en términos de la esti-
mación de la potencia de ruido en decibelios:
PSNR = 10 · log10
max (f(x, y))2
1MN
M−1∑x=0
N−1∑y=0
[f(x, y)− g(x, y)]2
(18)
SNR = 10 · log10
M−1∑x=0
N−1∑y=0
f(x, y)2
M−1∑x=0
N−1∑y=0
[f(x, y)− g(x, y)]2
(19)
donde f es la imagen de referencia y g es la imagen degradada.
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Medidas de desempeño
La cantidad de ruido también se puede medir como el error que se
introduce a la imagen original:
MSE =1
MN
M−1∑x=0
N−1∑y=0
[f(x, y)− g(x, y)]2
(20)
MAE =1
MN
M−1∑x=0
N−1∑y=0
|f(x, y)− g(x, y)| (21)
(a) (b) (c)
(a) Imagen referencia, (b) imagen ruidosa: 17 dB/23 dB/302/13 y (c) imagen�ltrada: 22 dB/28 dB/96/6 (SNR/PSNR/MSE/MAE).
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