Post on 18-Mar-2022
ASPECTOS BÁSICOS
CONTENIDOS
Conceptos básicos Elementos pasivos y activos Análisis temporal Transformada de Laplace Dominios de análisis Dominio transformado Transformación de circuitos
o Anexo 1: Demostración trigonométrica
Rafael Cabeza - Sonia Porta
BIBLIOGRAFÍA
R. A. DeCARLO, P-M. LINLinear Circuit Analysis. Capítulos 13-14
J. D. IRWINAnálisis Básico de Circuitos en Ingeniería. Capítulos 16-17
L. P. HUELSMANBasic Circuit Theory. Capítulos 9-10
S. FRANCOElectric Circuits Fundamentals. Capítulo 16
Rafael Cabeza - Sonia Porta
OBJETIVOS
Recordar conceptos básicos relativos a redes eléctricas
Describir en el dominio tiempo los diferentes componentes de una red eléctrica
Evaluar la complejidad matemática asociada al análisis de circuitos en el dominio temporal
Plantear la alternativa de análisis en el dominio transformado
Introducir la transformada de Laplace como herramienta matemática
Aprender a aplicar la transformada de Laplace a los circuitos eléctricos
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONCEPTOS BÁSICOS
Sistema: cualquier ente físico que o Convierte, transmite y utiliza energíao Representa, manipula, transmite y almacena
información Descripción de sistemas
o A nivel de actuación: cálculo de la salida a partir de la entrada
o A nivel de composición: entidades que componen el sistema, su comportamiento individual, interconexiones (análisis y diseño)
ExcitaciónExcitación
EntradaEntradaRespuestaRespuesta
SalidaSalidaSISTEMA
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONCEPTOS BÁSICOS
ExcitaciónExcitación
EntradaEntrada
RespuestaRespuesta
SalidaSalida
SISTEMA
Electrocardiograma: ECGElectrocardiograma: ECG
SISTEMA
CONCEPTOS BÁSICOS
Red/circuito: el resultado de interconectar diversos componentes eléctricos con un objetivo específico (típicamente procesar señales de entrada)
Descripción de circuitoso Leyes de componentes: relación tensión-corriente para
elementos básicoso Leyes de interconexión: relaciones entre magnitudes en
las interconexiones de los componenteso Relación entrada-salida: tanto en el dominio del tiempo
como en el de la frecuencia
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONCEPTOS BÁSICOS: TOPOLOGÍA
Rama: cualquier elemento de red con dos terminaleso Tendrá asociada la corriente y la tensión de rama
Nudo: cualquier punto del circuito donde confluyen dos o más ramaso Para definir el voltaje de un nudo aislado se deberá definir
necesariamente un nudo de referencia o masa ( )o También se define la diferencia de potencial entre dos
nodos cualesquiera Malla: cualquier conjunto de ramas que constituyen un
camino continuo y cerrado en el circuito, con la propiedad de que para todo nudo perteneciente a la malla, existen dos y sólo dos ramas de la malla conectadas a dicho nodo
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONCEPTOS BÁSICOS
Ejemplo
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONCEPTOS BÁSICOS: MAGNITUDES
Notación, definición y unidadesMagnitud Símbolo Unidad Signo
Carga eléctrica C=culombio polaridad
Corriente eléctrica A=amperio sentido
Energía potencial eléctrica J=julio suministro/consumo
Tensión eléctrica V=voltio polaridad
Potencia eléctrica W=watio suministro/absorción
)(tq
dttdqti )()(
)(tw
dqdwtv )(
dtdwtp )(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONCEPTOS BÁSICOS: LEYES DE KIRCHHOFF
De nudos o de corrientes (KCL)o En cualquier circuito y en cualquier instante de
tiempo, la suma algebraica de corrientes en un nudo es nula
o Equivalentemente, la suma de corrientes entrando al nudo es igual a la suma de corrientes saliendo del nudo
n
kk ti
10)(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONCEPTOS BÁSICOS: LEYES DE KIRCHHOFF
De mallas o de voltajes (KVL)o En cualquier circuito y en cualquier instante de
tiempo la suma algebraica de tensiones en una malla es nula
o Equivalentemente, al recorrer la malla en cierto sentido arbitrario, la suma de subidas de tensión es igual a la suma de caídas de tensión
n
kk tv
10)(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONCEPTOS BÁSICOS: LINEALIDAD
De forma básica un sistema es lineal si posee dos propiedades:o Homogeneidad: o Aditividad:
Formalmente, sea un circuito con N fuentes independientes xi(t). Sea y(t) una variable de salida cualquiera del circuito. Sea ui(t) el valor de dicha variable de salida cuando el generador i-ésimo actúa en solitario. El circuito será lineal si cuando actúan todos los generadores simultáneamente y cada uno de ellos se ve multiplicado por una constante i , la salida se puede calcular como:
Todos nuestros circuitos serán sistemas lineales Relación de la aditividad con principio de superposición
)()()()( 2211 tutututy NN
)()( xfxfy )()()( 2121 xfxfxxfy
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONCEPTOS BÁSICOS: POTENCIA Para que el signo de p(t) permita distinguir entre absorción y
suministro se adopta el convenio de signos: se considera la corriente i(t) circulando del terminal positivo de v(t) al negativo
Este convenio se aplica también a la hora de definir las relaciones tensión – corriente en los componentes pasivos
Si no se verifica el convenio, basta con introducir un signo negativo en cualquiera de las dos magnitudes:
0)()()( titvtp
0)()()( titvtp
El elemento absorbe potencia del resto del circuito
El elemento suministra potencia al resto del circuito
Rafael Cabeza - Sonia Porta
)()()( titvtp
CONCEPTOS BÁSICOS: PASIVIDAD
Un elemento de red es pasivo sii la energía absorbida por el elemento y suministrada por el resto del circuito es no negativa para todo instante de tiempo
o En otras palabras, el balance energético es siempre favorable al elemento
o En caso contrario el elemento se denominará activoo Ejemplos de elementos pasivos: resistencias,
condensadores e inductoreso Ejemplos de elementos activos: fuentes independientes,
fuentes dependientes, amplificadores operacionales
0)()()()(
tt
divdptw
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONCEPTOS BÁSICOS: PASIVIDAD
Ejemplos
)(tw
t
)(tw
t
)(tw
t
)(tw
t
Pasi
vos
Activ
os
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONCEPTOS BÁSICOS: PASIVIDAD
Ejemplos
o Fuente de corriente: Potencia suministrada (-)36 W (elemento activo)
o Elemento 1: Potencia absorbida (+)54 W (elemento pasivo)
o Elemento 2: Potencia suministrada (-)18 W (elemento activo)
o Se cumple el principio de conservación de la energía
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ELEMENTOS PASIVOS: RESISTENCIA
Resistenciaso La relación tensión-corriente que define un
comportamiento resistivo es la ley de Ohm
o Observar la relación entre el sentido de la corriente relativo a la definición de la polaridad del voltaje
o La resistencia R (≥0) se mide en Ohmios: o La ley de Ohm puede ser invertida:
donde G=1/R= conductancia, se mide en Siemens (S):
)()( tiRtv RR
A 1V 1 1
Rafael Cabeza - Sonia Porta
)()(1)( tvGtvR
ti RRR
V 1A 1 1S 1 1
ELEMENTOS PASIVOS: RESISTENCIA
Resistenciaso La resistencia es un elemento sin memoria ya que
el valor del voltaje en un instante dado depende exclusivamente del valor de la corriente en ese mismo instante:
o Es un elemento disipativo:
o Es un elemento pasivo:
ttiRtvGtitvtp RRRRR 0)()()()()( 22
Rafael Cabeza - Sonia Porta
)()( tiRtv RR
tdττiRdττvGdττiτvdττptwt
R
t
R
t
RR
t
RR
0)()()()()()( 22
ELEMENTOS PASIVOS: CONDENSADOR
La relación tensión-corriente que define un comportamiento capacitivo es
o O de forma equivalente:
o Observar la relación entre el sentido de la corriente relativo a la definición de la polaridad del voltaje
El término vC(0) se denomina condición inicial del condensador ya que es el voltaje que resume su evolución hasta ese instante inicial
)0()(1)(1)(0
C
t
C
t
CC vdiC
diC
tv
dttdvCti C
C)()(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ELEMENTOS PASIVOS: CONDENSADOR
La capacidad está definida como: Se mide en Faradios:
Es un elemento con memoria ya que el valor del voltaje en un instante dado depende de la evolución de la corriente hasta dicho instante
El voltaje en un condensador siempre será una magnitud continuao El voltaje en bornes de un condensador es la consecuencia
macroscópica de la acumulación de carga eléctrica en su interior. Dicha carga no se puede trasladar instantáneamente por lo que el voltaje debe variar de forma continua: PRINCIPIO DE CONTINUIDAD
Bajo excitaciones constantes y supuesto tiempo infinito el condensador se comporta como un circuito abierto
)()(tvtqC
C
V 1C 1F 1
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ELEMENTOS PASIVOS: CONDENSADOR
Es un elemento pasivo ya que la energía almacenada en un condensador es
Ejemplos de relación tensión-corriente para un condensador
0)(21)()()( 2
tCvdivtw C
t
CCC
)(tvC
)(tiC
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ELEMENTOS PASIVOS: CONDENSADOR
EjemploV )10sin(5)( 3ttvC
F 5,0 C
mA )10cos(5,2)()( 3tdt
tdvCti CC
mW )102sin(25,6)()()()()( 3tdt
tdvCtvtitvtp CCCC
J )102cos(1125,3)10(sin25,6)(21)( 3322 tttCvtw C
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ELEMENTOS PASIVOS: CONDENSADOR
Ejemplo )(tvC
)(tiC
)(tp)(tw
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ELEMENTOS PASIVOS: INDUCTOR
La relación tensión-corriente que define un comportamiento inductivo es
o O de forma equivalente:
o Condensadores e inductores son elementos dualeso Observar la relación entre el sentido de la corriente
relativo a la definición de la polaridad del voltaje El término iL(0) se denomina condición inicial del
inductor ya que es la corriente que resume su evolución hasta ese instante inicial
)0()(1)(1)(0
L
t
L
t
LL idvL
dvL
ti
dttdiLtv L
L)()(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ELEMENTOS PASIVOS: INDUCTOR
La inductancia está definida como:o Se mide en Henrios:
Es un elemento con memoria ya que el valor de la corriente en un instante dado depende de la evolución del voltaje hasta dicho instante
La corriente en un inductor siempre será una magnitud continuao La corriente que recorre un inductor es la consecuencia
macroscópica de la acumulación de flujo magnético en su interior. Dicho flujo no se puede modificar instantáneamente por lo que la corriente debe variar de forma continua: PRINCIPIO DE CONTINUIDAD
Bajo excitaciones constantes y supuesto tiempo infinito el inductor se comporta como un circuito cerrado
)()(
titL
L
A 1 Wb1H 1
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ELEMENTOS PASIVOS: INDUCTOR
Es un elemento pasivo ya que la energía almacenada en un inductor es
Ejemplos de relación tensión-corriente para un inductor
0)(21)()()( 2
tLidivtw L
t
LLL
)(tvL
)(tiL
Rafael Cabeza - Sonia Porta
Componente Resistencia Condensador Inductor
Definición
Unidad Ohmio: Faradio: Henrio:
Corriente
Tensión
Potencia oEnergía
Serie
Paralelo
ELEMENTOS PASIVOS: TABLA RESUMEN
didvR
dvdqC
didL
AV11
VsA1F1
A
sV1H1
Rtvti )()(
dttdvCti )()( )0()(1)(
0
idvL
tit
)()( tiRtv )0()(1)(0
vdiC
tvt
dt
tdiLtv )()(
)()()( 22
tiRR
tvtp )(21)( 2 tvCtw )(
21)( 2 tiLtw
NS RRRRR ...321NS CCCCC1...1111
321 NS LLLLL ...321
NP RRRRR1...1111
321 NP CCCCC ...321
NP LLLLL1...1111
321
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONCEPTO DE INVARIANZA TEMPORAL
Un circuito es invariante temporal cuando los parámetros que definen su comportamiento no varían en el tiempoo Una resistencia cuyo valor resistivo no varía en el
tiempo es invariante temporal. En caso contrario sería no-invariante temporal
o Un interruptor que se abre o cierra o un conmutador que cambia de posición son elementos no-invariantes en el tiempo Recordad que un fusible es un interruptor irreversible y
por lo tanto un elemento no invariante temporal
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONCEPTO DE INVARIANZA TEMPORAL
Ejemplo
o Si R≠R(t) entonceso Si R=R(t)=Ra+Rbcos2fbt entonces
Observar como aparecen en la señal de salida frecuencias adicionales a la frecuencia de la señal de entrada
tfAti 1π2cos)(
tfARtiRtvo 1π2cos)()(
tfftffARtfARtv bbb
ao )π(2cos)π(2cos2
π2cos)( 111
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ANÁLISIS TEMPORAL
Ejemplo
)()( tvtvV CRg
dtdvCti C)(
)()( tiRtvR
KVL
KCL )()()( tititi CR gC
C VRC
tvRCdt
dv 1)(1
)0()0( CC vtv Condición inicial:
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ANÁLISIS TEMPORAL
o La solución más general a esta ecuación diferencial es de la forma:
o se denomina respuesta completao es la respuesta natural y se calcula como
la solución más general de la ecuación diferencial homogénea
o es la respuesta forzada y se calcula como una solución particular de la ecuación diferencial inhomogénea
forzadanatural)()()( tvtvtv CCC
natural)(tvC
forzada)(tvC
)(tvC
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ANÁLISIS TEMPORAL
o Respuesta natural: solución más general de
o Separando variables e integrando
o Exponenciando
La constante indeterminada K de integración se calcula al final imponiendo condiciones de continuidad
0)(1natural
natural tvRCdt
vdC
C
ctetRC
vtRCv
vddt
RCvvd
CC
C
C
C 1ln11
naturalnatural
natural
natural
natural
tt
RCC KeKetv
1
natural)( RC
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ANÁLISIS TEMPORAL
o Respuesta forzada: una solución particular de
o Se obtiene en general consultando unas tablas de soluciones preestablecidas en función de la naturaleza del término inhomogéneo (fuentes independientes).
o Para el caso concreto de tener un término constante, se propone otra constante A. Sustituyendo
gCC V
RCtv
RCdtvd 1)(1
forzadaforzada
gg VAVRC
ARCdt
dA
11
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ANÁLISIS TEMPORAL
o Respuesta completa: la suma de la solución natural más la forzada
o Por último se calculan las constantes indeterminadas mediante las condiciones iniciales y los principios de continuidad
o Por lo tanto
g
tRC
C VKetv
1
)(
)0()0( tvtv CC
)0()0( CC vtv gCgC VvKVeKv )0()0( 0
0 ; 01
tVeVvtv g
tRC
gCC
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ANÁLISIS TEMPORAL
o Respuesta naturalo Respuesta forzada
0 ; )0()(1
natural
teVvtv
tRC
gCC
0 ; )(forzada
tVtv gC
5Transitorio Estacionario
Completa
Natural Forzada
Rafael Cabeza - Sonia Porta
gV
gC Vv )0(
)0(Cv
t
ANÁLISIS TEMPORAL
o La respuesta natural no depende de las fuentes independientes del circuito y siempre se amortigua en el tiempo
o La respuesta forzada depende directamente de las fuentes independientes del circuito y no se amortigua necesariamente
o El estado transitorio es el periodo de tiempo durante el cual la respuesta natural no se puede despreciar respecto de la forzada
o El estado estacionario se alcanza cuando la respuesta natural es despreciable frente la forzada
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada de Laplace permite simplificar el análisis de circuitos al sustituir la resolución de ecuaciones integro-diferenciales (respecto de la variable temporal) por ecuaciones algebraicas (respecto de una variable compleja)
Es un procedimiento de análisis completo (obtiene la respuesta completa) y general (aplicable a cualquier circuito de cualquier orden)
Permite además el enlace con la representación frecuencial de las señales
Conecta con el concepto de causalidad
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONCEPTO DE CAUSALIDAD Diremos que una señal es causal cuando es
nula para todo instante negativo
o Multiplicar por el escalón unitario u(t) fuerza la causalidad:
o Es equivalente al efecto de un interruptor que se cierra en t=0
0 0)( causal es )( ttftf
0 si 0
0 si 1)( porque causal es)( )( tttututf
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada de Laplace de una función f(t)está definida como:
donde s es una variable compleja denominada normalmente frecuencia compleja.
Se supondrá siempre que f(t) es una función causal, es decir nula para tiempos negativos
La transformada de Laplace relaciona biunívocamente una función de variable real con otra función de variable compleja
0 )()()( dtetfsFtf stL
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Propiedades básicaso Linealidad
o Desplazamiento temporal
o Desplazamiento frecuencial
o Escalado temporal/frecuencial
)()()()( 22112211 sFasFatfatfa L
0 ),()()( TsFeTtuTtf sTL
)()( asFtfe at L
asF
aatf 1)(L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Propiedades básicaso Diferenciación temporal
o Diferenciación de orden dos
o Diferenciación de orden n
0
22
2
)0()(tdt
dfsfsFsdt
fdL
)0()(
fssF
dtdfL
01
1
0
21 )0()(t
n
n
t
nnnn
n
dtfd
dtdfsfssFs
dtfd
L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Propiedades básicaso Integración temporal
o Integración frecuencial
ssFdqqft )()(0 L
sdF
ttf )()(L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Propiedades básicaso Multiplicación por t
o Multiplicación por tn
o Convolución
)()()()()(*)( sGsFdtgftgtf
LL
dsdFtutft )()(L
n
nnn
dsFdtutft 1)()( L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Tabla de transformadas1)( Lt
set L)(
stu 1)( L
2
1)(s
ttu L
1
!)( nn
sntut L
astue at
1)( L
1)(!)(
n
tan
asntuet L
)()()1(
assatue ta
L
22)()sin(
s
tut L
22)()cos(
s
stut L
22)()()cos(
asastute at L
22)()()sin(
astute at L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Tabla de transformadas
222 )(2)()sin(
s
stutt L
222
22
)()()cos(
sstutt L
22
cossin)()sin(
s
stut L
22
sincos)()cos(
s
stut L
222
3
)(2)()cos()sin(
astuttte at L
222)(2)()sin(
asastutte at L
22)()sinh(
s
tut L
22)()cosh(
s
stut L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
La transformada inversa está definida como:
donde es un camino en el plano complejo. Típicamente se elige como camino una línea vertical de la forma 1+j donde varía entre +∞ y –∞ y 1es cualquier número real mayor que 0, la abscisa de la convergencia absoluta
dsesFj
tfsF st)(π21)()(1-L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
En análisis de circuitos obtendremos siempre funciones racionales de la forma
Se distinguen tres casoso m > n : función impropia, no contemplada en redeso m < n : función estrictamente propiao m ≤ n : función propia, Si m=n el estudio se reduce
a una estrictamente propia
011
1
011
1
)()()(
asasasbsbsbsb
sDsNsY n
nn
mm
mm
)()(
)()()(
sDsRK
sDsNsY
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Calculando las raíces del denominador podemos escribir
A partir de esta expresión se debe realizar la descomposición en fracciones simples de esta función
Tenemos cuatro posibles casoso Raíces reales con multiplicidad unidado Raíces reales con multiplicidad mayor que la unidado Raíces complejas con multiplicidad unidado Raíces complejas con multiplicidad mayor que la
unidad
)())(()(
21
011
1
n
mm
mm
pspspsbsbsbsbsY
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Raíces reales con multiplicidad unidado Reescribiendo la función:
o Los residuos se calculan como
o Cada fracción parcial de cada raíz está asociada a una exponencial temporal cuyo coeficiente es el valor de la raíz
)()()(
1
1
sDsN
psAsY
pspssYpssYpsA
)()()(lim
)(1-
tueAps
A tp
L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Raíces reales con multiplicidad k mayor que la unidado Reescribiendo la función
o Ahora los k residuos son
o Y cada fracción está asociada a
o De nuevo el coeficiente que aparece en el exponente de la exponencial es la raíz
)()(
)()()(
1
12
21
sDsN
psA
psA
psAsY k
k
ps
ik
ik
ps
kik
ik
i sDsN
dsd
iksYps
dsd
ikA
)()(
!1)()(
!1
1
)(1)(
11-
! tuetiA
psA ptii
ii
L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Raíces complejas con multiplicidad unidado En este caso se tendrá siempre una raíz p
acompañada de su compleja conjugada p*
o Siendo el residuo:
o Obsérvese que el residuo de la raíz compleja conjugada p* es el conjugado del residuo de la raíz original p
)()()(
1
1*
*
sDsN
psA
psAsY
pssYpsA )()(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Raíces complejas con multiplicidad unidado Utilizando una nueva parametrización
o Se pueden agrupar las dos fracciones en una sola
o donde
)()(
)()()(
1
12221
sDsN
sKsKsY
jpjp *;
Rafael Cabeza - Sonia Porta
][2][2
*))(()(
21
22
AImKAReK
pspss
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Raíces complejas con multiplicidad unidado Consultando las tablas se pueden identificar
directamente la transformadas inversas de cada uno de estos términos
)()cos()(
)(1
1-221 tuteK
ssK t
L
)()sin()(
21-
222 tuteKs
K t
L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Raíces complejas con multiplicidad unidado De forma más compacta se pueden expresar como:
o Con
o Esta función representa una oscilación amortiguada ( <0) exponencialmente, cuya frecuencia es la parte imaginaria de la raíz y la constante de atenuación es la parte real de la misma.
)()sin()()cos(1-
*
*tutKetutKe
psA
psA tt
L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
2
1
1
222
21 tanarc;tanarc;2
KK
KKAKKK
Ver anexo
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Ejemplo
o Descomposición del denominador
o Dos raíces: con multiplicidad 2 con multiplicidad 1
o Descomposición en fracciones simples
26742410)( 234
ssssssY
]1)1[()1()22()1(2674 2222234 sssssssss
1)1()1(
)1(1)( 2
212
21
sKsK
sA
sAsY
Rafael Cabeza - Sonia Porta
jp 11p
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Ejemplo
o Raíz real
o Raíz compleja
1410
1410
0330
2324102224
2
1
2
1
11
2121
2121
2121
KKAA
KAKKAA
KKAAKKAA
)(1410
111-
221 tuete
sA
sA tt
L
)()sin(14)cos(101)1(
)1( 1-2
21 tutetes
KsK tt
L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
DOMINIOS DE ANÁLISIS
En este punto tenemos dos formas de analizar circuitos:o Dominio temporal:
Las ecuaciones que se deben resolver son ecuaciones integro-diferenciales respecto de la variable temporal
Se utilizarán las leyes de Kirchhoff Los elementos de red estarán definidos mediante su relación
tensión-corrienteo Dominio transformado:
Las ecuaciones que se deben resolver son ecuaciones algebraicas respecto de la variable transformada s
Se utilizarán las leyes de Kirchhoff transformadas Los elementos de red estarán representados mediante modelos
equivalentes La manera de relacionar ambos dominios es mediante
la transformada de Laplace
Rafael Cabeza - Sonia Porta
Dom
inio
tra
nsfo
rmad
oD
omin
io
tem
pora
lDOMINIOS DE ANÁLISIS
Señal de entradaSeñal de entrada
Señal de salida
Señal de salidaCircuitoCircuito Ecuación
diferencialEcuación
diferencial
Señal de entrada
transformada
Señal de entrada
transformada
Circuito transformado
Circuito transformado
Ecuación algebraicaEcuación
algebraica
Señal de salida
transformada
Señal de salida
transformada
Laplace
Laplace
Laplace L
aplac
e in
versa
Rafael Cabeza - Sonia Porta
DOMINIOS DE ANÁLISIS
Circuito RCgC
C VRC
tvRCdt
dv 1)(1
RCss
RCV
svsV
sV
RCsV
RCvssV
gC
Cg
CCC 1
)0()(1)(1)0()(
LaplaceLaplace inversa
RCt
gCgCgCg
gC
eVvVtv
RCs
Vvs
V
RCssRCV
sv
)0()(
1)0(
1
)0( 1-L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMACIÓN DE GENERADORES
La transformación de fuentes independientes ideales se realizará de manera directa mediante la transformada de Laplace
Ejemplo
Laplace)(tv )(sVLaplace
)(sI)(ti
LaplaceV 8
s8
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMACIÓN DE GENERADORES
Transformación de fuentes dependienteso De voltaje
Laplace
Laplace
CCVS
VCVS
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMACIÓN DE GENERADORES
Transformación de fuentes dependienteso De corriente
Laplace
Laplace
CCCS
VCCS
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMACIÓN DE OPAMPS
Transformación de amplificadores operacionales
Laplace
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMACIÓN DE ELEMENTOS DE RED
Transformación de resistencias
)()( tiRtv RR
)()( sIRsV RR
Rafael Cabeza - Sonia Porta
Laplace
TRANSFORMACIÓN DE ELEMENTOS DE RED
Transformación de condensadores
)0()(1)(0
C
t
CC vdiC
tv
svsI
sCsV C
CC)0()(1)(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
Laplace
TRANSFORMACIÓN DE ELEMENTOS DE RED
Transformación de condensadores
dttdvCti C
C)()(
)0()()( CCC vCsVsCsI
Rafael Cabeza - Sonia Porta
Laplace
TRANSFORMACIÓN DE ELEMENTOS DE RED
Transformación de inductores
dttdiLtv L
L)()(
)0()()( LLL iLsIsLsV
Rafael Cabeza - Sonia Porta
Laplace
TRANSFORMACIÓN DE ELEMENTOS DE RED
Transformación de inductores
)0()(1)(0
L
t
LL idvL
ti
sisV
sLsI L
LL)0()(1)(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
Laplace
DOMINIO TRANSFORMADO
En resumen, para analizar un circuito en el dominio transformado se deberá:o Transformar aplicando directamente la transformada de
Laplace las fuentes independientes/señales de entradao Transformar los elementos de red: resistencias,
condensadores e inductores teniendo en cuenta siempre las condiciones iniciales de los mismos
o Analizar el circuito con las leyes de Kirchhoff para el dominio transformado, calculando así la variable de salida
o Obtener la variable de salida en el dominio temporal mediante la transformada de Laplace inversa
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMACIÓN DE ELEMENTOS DE RED
Ejemplo
Condiciones inicialesCondiciones iniciales
4)0( tvC
RtiL
4)0(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMACIÓN DE ELEMENTOS DE RED
Problema 18.a
Condiciones inicialesCondiciones iniciales
V6)0( tvC
A3)0( tiL
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMACIÓN DE ELEMENTOS DE RED
Problema 18.b
Condiciones inicialesCondiciones iniciales
V5)0( tvC
A5.2)0( tiL
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMACIÓN DE ELEMENTOS DE RED
Impedancias/admitanciaso Siempre calculadas en condiciones iniciales nulas
o Impedancia:
o Admitancia:
o Tabla para elementos básicosImpedancia Admitancia
Resistencia R GCondensador 1/sC sCInductor sL 1/sL
)()()(
sVsIsY
)()()(
sIsVsZ
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ANEXO: DEMOSTRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Comparamos el resultado
con la relación trigonométrica
para concluir, bajo igualación , que
donde
y
tKtKty sincos)( 21
)cos(sinsincoscos NMNMNM
NtM ;
KKKK
2
1
sin
cos
)cos(sincos)( 21 tKtKtKty o
1
2tanKK
Sonia Porta - Rafael Cabeza
22
21
2 KKK
ANEXO: DEMOSTRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
De forma similar podemos comparar el resultado
con la relación trigonométrica
para concluir, bajo igualación , que
donde
y
tKtKty sincos)( 21
NtM ;
KKKK
2
1
cos
sin
)sin(sincos)( 21 tKtKtKty o
2
1tanKK
Sonia Porta - Rafael Cabeza
22
21
2 KKK
)sin(cossinsincos NMNMNM
CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS
Conceptos básicos de topología, linealidad, invarianza temporal, pasividad, causalidad, leyes de análisis
Componentes activos y pasivos: relación tensión-corriente. Potencia y energía. Principio de continuidad y condiciones iniciales
Estudio básico en el dominio del tiempo: respuesta natural y forzada. Transitorio y estacionario
Rafael Cabeza - Sonia Porta
CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS
Transformada directa e inversa de Laplace Propiedades y procedimiento de cálculo
Transformación de circuitos. Concepto de impedancia/admitancia
Incorporación de las condiciones iniciales al circuito transformado en forma de fuentes independientes
Rafael Cabeza - Sonia Porta