Cálculo de Volumen

Integral

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Habilidades

1. Identifica los dos tipos de regiones regulares con respecto a los ejes coordenados.

2. Calcula área entre curvas.3. Calcula volúmenes por el método de las

secciones transversales.4. Calcula volúmenes por el método del disco.5. Calcula volúmenes por el método de la arandela.

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INTRODUCCIÓN

Al tratar de calcular el volumen de un sólido enfrentamos el mismo problema que al tratar de calcular un área.Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a una definición exacta.

Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidos sencillos como cilindros y prismas.

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Ah

Cilindro RectoV = Ah

r

h

Cilindro circularV = r2h

ab

c

ParalelepípedoRectangular

V = abc

El volumen de un sólido cualquiera podrá descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos elementales como los anteriores

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Volumen de un sólido de revolución

Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una región del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolución.

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Diferencial de volumen

∆xi

f(xi)

a xi b

xi

y=f(x)

f(xi)

MÉTODO DEL DISCO

iii xxfV 2 iii xxfV 2

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TEOREMA

Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje X la región limitada por la curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:

2

1

2

lim [ ( )]

[ ( )]

n

i ini

b

a

V f x x

f x dx

8

Ejemplo 1:Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.

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Ejemplo 2:Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1.

y

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3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R, alrededor del eje y.

y

xyyxR2

0;41/, 2

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Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:

El volumen obtenido al girar la región limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c < d), alrededor del eje Y será igual a:

d

c

dyygV 2 d

c

dyygV 2

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Método de la arandelaCuando la región a girar está limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.

Diferencial de volumen

f(xi)g(xi)

xi

ii xxgxfV 22 ii xxgxfV 22

a bx

x

(*)

y= f(x)

y= g(x)

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TEOREMA

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b será:

2 2

1

2 2

lim ([ ( )] [ ( )] )

([ ( )] [ ( )] )

n

i i ini

b

a

V f x g x x

f x g x dx

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Ejemplo 4:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.

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Ejemplo 5:

16

Ejemplo 6:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

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Ejemplo 7:Halle el volumen del sólido que se obtiene al girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3, alrededor del eje y.

Método de los cascarones cilíndricos

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Método de los cascarones cilíndricos

En algunos casos se desea calcular el volumen de una región limitada por una función y = f(x) al girar alrededor del eje y, para lo cual se deben hallar los extremos locales de f(x) y despejar x en términos de y (x=g(y)). Esto muchas veces es muy complicado por lo que se usará otro método: los cascarones cilíndricos.

¿Cómo escogería el elemento diferencial de volumen?

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xixi

f(xi)

Diferencial de volumen

xi xi

f(xi)

Para espesores lo suficientemente pequeños, el volumen será igual a:

iiii xxfxV 2 iiii xxfxV 2

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TEOREMA

Sea f una función continua en el intervalo [a, b]. Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], si la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b gira alrededor del eje Y, el volumen obtenido será:

dxxfx

xxfxV

b

a

i

n

iiix

2

2lim1

dxxfx

xxfxV

b

a

i

n

iiix

2

2lim1

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Ejemplo 8:Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la recta y = 2.

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Ejemplo 9:La región limitada por la curva y = x2, las rectas y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3. Calcule el volumen generado.

y = -3

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x

xi

A(b)

A(a)

ba xi

A(xi)

El diferencial de volumen

A(xi)

xi

Vi = A(xi) xi

Cálculo de volúmenes de sólidos que no son de revolución

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El volumen del sólido será aproximadamente:

Se define el volumen V como el límite de la suma de Riemann

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Ejemplo 10: Calcular el volumen de una esfera de radio R.

x

y

x

Ry

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Ejemplo 11: Utilice la definición anterior para calcular el volumen de una pirámide de altura h y base cuadrada de lado b.

h

b

yi