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E1 E2 E3 E4 E5 Calificacion
CALCULO INFINITESIMALExamen Final 16-Julio-2012
NUM.de MATRICULA
APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
INDICACIONES PREVIAS
La duracion del examen sera de dos horas y media sin interrupcion.
No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer en ella al menos durante la primerahora.
No se admiten calculadoras.
E1. Dada la funcion f (x) = x√
4− x2 .
(a) Estudiar y determinar razonadamente:
a ) el dominio de la funcion. (0.5 p.)
b) los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0.5 p.)
(b) Calcular el volumen del solido generado al girar alrededor del eje OY el recinto plano limitadopor |f (x)| y el eje de abcisas. (1 p.)
E2. (a) Enunciado del Teorema Fundamental del Calculo. (1 p.)
(b) Sea F (x) = 2x +
x2+2x
−1
cos(2t + 1)
1 + t2 dt. Estudiar la continuidad y derivabilidad de F en el
intervalo [−1, 2] y determinar F (0). (1 p.)
(c) Hallar el area de la region del primer cuadrante limitada por la grafica de la curva y = x2e−x
y el eje de abcisas. (1 p.)
E3. (a) Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 de la funcion f (x) = tg x centrado en el origen.(1 p.)
(b) Obtener el conjunto I de valores de x donde es convergente la serie
∞n=1
3n + 1n!
xn (1 p.)
E4. Sea f (x, y) =
1− ln(x− y),
2√ x
, A = Dom f . Se pide:
(a) expresar y dibujar A. (0.5 p.)
(b) razonar si es verdadero o falso:
a ) f es diferenciable en su dominio. (0.5 p.)
b) la matriz jacobiana de f en (1, 0) es
−1 1−1 0
(1 p.)
(c) Sea g(u, v) =
3u + 2v, u2 + v2
. Hallar la diferencial de g ◦ f en (1, 0) (1 p.)
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Solucion del EXAMEN
E1. Dada la funcion f (x) = x√
4− x2 .
(a) Estudiar y determinar razonadamente:
a ) el dominio de la funcion.Domf =
x ∈ IR / 4− x2 ≥ 0
= [−2, 2]
b) los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
f
(x) =
4− x2 + x · −2x
2√ 4− x2 = 4−
2x2
√ 4− x2 = 2(2
−x2)
√ 4− x2 x ∈ (−2, 2)
f (x) = 0 ⇐⇒ x = ±√
2, f (x) > 0 ⇐⇒ 2− x2 > 0 ⇐⇒ x ∈−√
2,√
2
f crece en el intervalo−√ 2,
√ 2
, decrece en el resto de su dominio.
(b) Calcular el volumen del solido generado al girar alrededor del eje OY el recinto plano limitadopor |f (x)| y el eje de abcisas.
V oy =
20
2πxf (x) dx =
20
2πx2
4− x2 dx
hacemos el cambio x = 2 sen t, dx = 2 cos tdt,x = 0 → t = 0, x = 2 → t = π/2
V oy = 2π
pi/20
4sen2 t · 2cos t · 2cos t dt = 2π
π/20
16 sen2 t cos2 t dt = 2π
π/20
4sen2(2t) dt =
= 4π
π/20
(1− cos(4t)) dt = 4π
t − sen(4t)
4
π/20
= 2π2
E2. (a) Enunciado del Teorema Fundamental del Calculo.
(b) Sea F (x) = 2x +
x2+2x
−1
cos(2t + 1)
1 + t2 dt. Estudiar la continuidad y derivabilidad de F en el
intervalo [−1, 2] y determinar F (0).
Al ser f (x) = cos(2x + 1)
1 + x2 una funcion continua en IR, sabemos que es integrable y que la
funcion
u−1
cos(2t + 1)
1 + t2 dt es continua. Por tanto, F es continua en [−1, 2] ya que es suma
y composicion de funciones continuas. Por el Tma. Fundamental del Calculo sabemos que esderivable y su derivada es
F (x) = 2 + cos(2(x2 + 2x) + 1)
1 + (x2 + 2x)2 ·(2x + 2) x
∈(−
1, 2)
En particular, F (0) = 2 + 2 cos 1
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(c) Hallar el area de la region del primer cuadrante limitada por la grafica de la curva y = x2e−x
y el eje de abcisas.
Area=
+∞0
x2e−x dx = lımT →+∞
T 0
x2e−x dx
u = x2, du = 2xdx,dv = e−x dx, v = −e−x
Area= lımT →+∞
−x2e−x
T 0
+
T 0
2xe−x dx
u = 2x, du = 2 dx,dv = e−x dx, v = −e−x, Area = lımT →+∞
−x2e−x − 2xe−x
T 0
+
T 0
2e−x dx
=
= lımT →+∞
−x2e−x − 2xe−x − 2e−x
T 0
= lımT →+∞
(−T 2 − 2T − 2)e−T − (−2)
= 2 unidades cuadradas
E3. (a) Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 de la funcion f (x) = tg x centrado en el origen.
P 3(x) = f (0) + f
(0)1!
(x− 0) + f
(0)2!
(x− 0)2 + f
(0)3!
(x− 0)3
f (0) = tg 0 = 0, f (x) = 1+tg2 x = 1
cos2 x =⇒ f (0) = 1, f (x) = 2tg x(1+tg2 x) =
2sen x
cos3 x =⇒ f (0) =
f (x) = 2(1 + tg2 x)(1 + 3 tg2 x) = 2cos2 x + 6 sen2 x
cos4 x =⇒ f (0) = 2
P 3(x) = 0 + 1
1!x +
0
2!x2 +
2
3!x3 = x +
x3
3
(b) Obtener el conjunto I de valores de x donde es convergente la serie
∞n=1
3n + 1n!
xn
Aplicamos el criterio del cociente:
lımn→∞
3(n+1)+1(n+1)! xn+1
3n+1n! xn
= lımn→∞
n!(3n + 4)
(n + 1)n!(3n + 1)|x| = |x| lım
n→∞
(3n + 4) n!
(n + 1) n!(3n + 1) =
= |x| lımn→∞
3n + 4
(n + 1)(3n + 1) = 0 < 1
Por tanto, la serie converge en IR.
O bien, calculando el radio de convergencia R = 1ρ
:
ρ = lımn→∞
3(n+1)+1(n+1)!3n+1n!
= lımn→∞
3n + 4
(n + 1)(3n + 1) = 0
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E4. Sea f (x, y) =
1− ln(x− y),
2√ x
, A = Dom f . Se pide:
(a) expresar y dibujar A.
A = Dom f =
(x, y) ∈ IR2 / x > 0, x− y > 0
(b) razonar si es verdadero o falso:
a ) f es diferenciable en su dominio.
b) la matriz jacobiana de f en (1, 0) es
−1 1−1 0
a ) VERDADERO, como existen las derivadas parciales de sus componentes y son continuas en A,aplicando la Condicion suficiente de diferenciabilidad podemos afirmar que f es diferenciable
en su dominio.
f (x, y) =
∂f 1∂x
∂f 1∂y
∂f 2∂x
∂f 2∂y
=
− 1
x− y
1
x− y
− 1√ x3
0
b) VERDADERO, ya que
f (1, 0) =
− 1
x− y
1
x− y
− 1
√ x3 0
(1,0)
=
−1 1−1 0
(c) Sea g(u, v) =
3u + 2v, u2 + v2
. Hallar la diferencial de g ◦ f en (1, 0)
g es diferenciable en IR2 ya que existen las derivadas parciales de sus componentes y son continuas :
g(u, v) =
D1g1 D2g1
D1g2 D2g2
=
3 2
2u 2v
(g ◦ f )(1, 0) = g( f (1, 0)) · f (1, 0) = g(1, 2) · f (1, 0) = 3 2
2 4
−1 1
−1 0
= −
5 3
−6 2
d(g ◦ f )(1, 0) = (g ◦ f )(1, 0)
dxdy
=
−5 3
−6 2
dxdy