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CAP - marzo 2010
Formulación Hamiltoniana para un
sistema no conservativoElizabeth Galindo Linares
Asesor: Dr. Gerardo F. Torres del Castillo
CAP - marzo 2010
Contenido
Resumen Objetivo Antecedentes
Helmholtz Douglas Pardo Torres y Rubalcava
Trabajo actual Bibliografía
CAP - marzo 2010
Resumen
Se busca al menos una expresión hamiltoniana clásica
que reproduzca a un sistema de 2n ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden.
CAP - marzo 2010
Objetivo
Comprobar que todo sistema de 2n ecuaciones diferenciales
ordinarias (ODE’s) de primer orden, puede escribirse en forma
Hamiltoniana.
CAP - marzo 2010
Antecedentes (1)
H. Helmholtz (1887)
.n,...,1j,0t,x,xGxt,x,xG ij
n
1iij
.xG
.0xL
txL
xxx
Lx
xxL
xL
xL
dtd
k
i
n
1j i
n
1j i
2
jji
2n
1jj
ji
2
ii
y
CAP - marzo 2010
Condiciones de Helmholtz
.x
G
xG
tx
xx
21
x
G
xG
x
G
x
G
,t
Gx
x
G2
x
G
xG
GG
i
j
j
ik
kkk
i
j
j
i
i
jk
k
ij
ij
kk
k
ij
i
j
j
ijiij
,
,
Antecedentes (1a)
CAP - marzo 2010
Antecedentes (2)
Douglas
, 1222
211 xxxxx
Buscar la función lagrangiana para el sistema de ecuaciones anterior
.2,1i,0GxG ik
2
1kik
Las derivadas temporales de primer término son cero, por lo tanto las G’s son
constantes de movimiento.
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Antecedentes (3)
Pardo
.0x21
L
xxxx
22
2221
que de conclusión la a Llegando
. ,
CAP - marzo 2010
A L T O
Si no existe una lagrangiana
que dependa de las
coordenadas o simplemente no
existe una lagrangiana.
¿Puede existir al menos una
expresión Hamiltoniana?
CAP - marzo 2010
Formulación hamiltoniana Vs. lagrangiana
Más amplia: Independencia entre coordenadas y momentos
generalizados.Posibilidad de mezclar las variables de maneras infinitas.
Lagrangiana natural (Arnold).
CAP - marzo 2010
Antecedentes (4)
Torres del Castillo y Rubalcava (2006)
.t,y,xh,t,y,xgx
t,x,xFx
y
.t,y,xppt,p,qKy
,t,y,xqqt,p,qGx
.
,
,qH
p
.pH
q
.htK
ppK
qqK
y
,gtG
ppG
qqG
x
CAP - marzo 2010
Antecedentes (4a)Por una parte se toma a g y h como funciones de las variables canónicas,
por otra parte x y y son las variables de las funciones g y h;
entonces, es posible considerar la forma diferencial
.dttG
pH
qK
tG
qH
pK
tK
qH
pG
tK
pH
qG
dppG
tK
pK
tG
pG
pH
qK
pK
pH
qG
dqqG
tK
qK
tG
qK
qH
pG
qG
qH
pK
hdxgdy
CAP - marzo 2010
Antecedentes (4b)
.dttK
pG
tG
pK
qH
dttG
qK
tK
qG
pH
dppG
tK
pK
tG
dqqG
tK
qK
tG
dppH
dqqH
q,pK,G
hdxgdy
.dttH
dqqH
dppH
dH
Por otra parte:
la ecuación del jacobiano que relaciona a las variables (x, y) con
(q,p) y la diferencial de la hamiltoniana es
.
p,qK,G
qy
px
py
qx
CAP - marzo 2010
Antecedentes (4c)
.dtdx
tK
dytG
dHq,pK,G
dtdppG
dqqG
tK
dppK
dqqK
tG
dHq,pK,G
hdxgdy
en términos
en términos
Entonces, ),t,q,p(dHdyfdxg dependen y donde
además se definen como las derivadas parciales temporales de “y” y “x” respectivamente.
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Antecedentes (4d)Por simplicidad se elige a la transformación canónica q=x, por lo cual ,0
el jacobiano se reduce a ,dyfdxfdygdxpy
-g-con comparar aly
Especificando los momentos canónicos y reescribiendo dp y dy, se tiene
.pxp
fg
qH
,qfpH
,dtftH
fdpdqxp
fg
dH
donde .t
)t,p,q(xy
t)t,p,q(y
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EjemploOscilador Armónico (1)
Masa m conectada a un resorte de constante k.
La coordenada generalizada es el desplazamiento x de m con res-pecto a la posición de equilibrio del resorte
La energía cinética T y la energía potencial U son
La Lagrangiana natural del sistema es
La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada x es
txm
k
dt
txd
xmkxx
L
dt
d
x
L
kxxmUTL
tkxUtxmT
2
2
22
22
0
2
1
2
1
2
1;
2
1
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Ejemplo:
vkxma
0xdtdx
2dt
xd 202
2
1 2
1- Fza. elástica2- Fza. de rozamiento
mk2
0 m
2
Usando
CAP - marzo 2010
0xx2x 20
xy2y
xy20
xy2g
yf20
.e2yg
xf
dtd C2111
1
.y
dHeydydx)xy2( C220
CAP - marzo 2010
Trabajo en proceso
Encontrar al menos una expresión H equivalente a las ecuaciones de movimiento.
¿Cuáles son las restricciones para que exista a lo menos una hamiltoniana?
Primero: usando campos vectoriales que representan el sistema de ODE’s.
CAP - marzo 2010
Trabajo en proceso
Partiendo de las ecuaciones de mov. de Hamilton A
Tomando a p y q coordenadas locales de una variedad diferenciable.
Se toma a
Presenta 2n integrales funcionalmente
independientes
.2,...,2,1, ),,( njitxfx jii
CAP - marzo 2010
Trabajo en proceso
Procedimiento:
Escribir x’’ en su análogo sistema de x’1 y x’2.
Se comprueba que el sistema no cumple las condiciones de Helmholtz.
Se obtiene un conjunto de primeras integrales funcionalmente independientes.
CAP - marzo 2010
Bibliografía Douglas, J. (1941), Trans. Amer. Math. Soc. 50, 71.
Arnold, V.I. (1978), Mathematical methods of classical mechanics, Springer-Verlag, New York.
Helmholtz, H. (1887), Journal für die reine und angewandte Mathematik, Berlin, 100, 137.
Pardo, F. (1989), J. Math. Phys. 30, 2054-2061.
Torres del Castillo, G.F. and Rubalcava García, I. (2006), Rev. Mex. Fís. 52, 429.
Torres del Castillo, G.F. (2009), J. Phys. A, Math. and Theor. 42, 265202.
CAP - marzo 2010
Por su atención, gracias.
CAP - marzo 2010
Anexos
Trabajando adecuadamente con las ecuaciones: Haciendo cambio de variables se puede reducir a ecuaciones
independientes. Así podrá encontrarse la solución general del sistema.
Es decir, se hizo una transformación lineal de las coordenadas que convierten el sistema de ecuaciones diferenciales en ecuaciones desacopladas en las nuevas variables.
Torres del Castillo demuestra que la descomposición es posible en sistemas bidimensionales acoplados linealmente.
CAP - marzo 2010
EjemploOscilador Armónico (2)
La solución de la ecuación de movimiento para la posición de la masa es
La amplitud A del movimiento y la fase dependen de las con-diciones iniciales del sistema
Para = 1/s, A = 1m y = /2 (posición inicial = 1m, velocidad inicial = 0 m/s) el movimiento es oscilatorio con periodo T = 2s
m
k
tAtx
sin
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Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica (1)
Principio de Hamilton: Describe el movimiento de un sistema mecánico Para sistemas monogénicos (toda fuerza es derivable a partir
de un potencial escalar):El movimiento de un sistema del tiempo t1 al tiempo t2 es tal que la integral de línea
donde L = T – V, tiene un valor estacionario para el camino corrrecto del movimiento.T es la energía cinética del sistema y V el potencial al que este está sujeto
I se conoce como la acción o integral de acción
,2
1
dtLIt
t
CAP - marzo 2010
Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(2)
El principio de Hamilton se puede expresar diciendo que el movimiento es tal que la variación de la integral de línea I es cero para t1 y t2 fijos
qi se llaman coordenadas generalizadas y sus derivadas son las velocidades generalizadas
Siempre y cuando las restricciones del sistema sean holonómicas
Este es un problema variacional
0;,;,2
111 dttqqqqLI
t
t nn
CAP - marzo 2010
Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(3)
En mecánica las ecuaciones de Euler- Lagrange son
Cada coordenada genera-lizada representa un grado de libertad
Se debe resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
Los momentos generali-zados se definen como
0
ii q
L
dt
d
q
L
ii q
Lp
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Ventajas de la Formulación Variacional
Involucra cantidades físicas (energía cinética y potencial) independientes de las coordenadas con que se especifique el sistema. Esto hace que la formulación sea invariante con respecto a los sistemas de coordenadas.
El Lagrangiano es indeterminado a una derivada total temporal de cualquier función de coordenadas y tiempo.
Se puede extender a sistemas que no se consideran en la dinámica de partículas
La imposición de la conservación de la energía lleva a la formulación Hamiltoniana de la mecánica
CAP - marzo 2010
Consecuencias Inmediatas de la Formulación Variacional
Teoremas de Conservación Si el Lagrangiano de un sistema es independiente de una
coordenada qj pero sí depende de la velocidad correspondiente, entonces el momento correspondiente es independiente del tiempo (se conserva)
Propiedades de Simetría La simetría del sistema con respecto a sus coordenadas
generalizadas está íntimamente ligada con la conservación de los momentos con respecto a los ejes de simetría
cte,0 jj p
dt
dp
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Otros ejemplosPéndulo Simple
Masa m colgada del techo de una cuerda de longitud l, restringida a moverse en el plano xy
La coordenada generalizada es el ángulo de l con respecto al eje y
La energía cinética T y la energía potencial U son
El Lagrangiano del sistema es
La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada es
Para ángulos pequeños la solución es idéntica a la del oscilador armónico
tl
g
dt
td
mlmglL
dt
dL
mgllm
UTL
mglUlm
T
sin
0sin
cos2
cos;2
2
2
2
22
22
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Otras Áreas de la FísicaTeoría de Campos
La formulación Lagrangiana de partículas se puede extender a la descripción de campos.
Se trabaja con la densidad Lagrangiana del sistema
Las ecuaciones de campo que se deducen de esta formulación son
Esta formulación tiene aplicaciones en electromagnetismo, relatividad, mecánica cuántica, etc…
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