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UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – INGENIERIA CIVIL
UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERESVELASQUEZ
FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS PURASCAP INGENIERIA CIVIL
MECANICA DE MATERIALES II
TRABAJO ENCARGADO
“CARGAS AXIALES EXCÉNTRICAS”
Docente: ING. VITULAS QUILLE, YASMANI
Presentado Por:
o YUDITH TIQUILLOCA MOLINA
o HENRY CONDORI LIPA
o ROGELIO ZAMALLOA LLANOS
5to Semestre, Grupo “A” - Sede Puno -
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INTRODUCCION
Las cargas axiales excéntricas son cargas aplicadas a una columnao pilote que no es simétrica respecto del eje central produciendo unmomento flector. Tamién llamada fuer!a excéntrica.
"ara que un elemento sea considerado como cargado axialmente#es condici$n necesaria que la l%nea de acci$n de la carga que act&asore la secci$n trans'ersal del miemro en estudio# coincida con eleje axial que pasa a tra'és del centro de gra'edad del elemento. (i
este es el caso el elemento se considera en estado de esfuer!ouniaxial. "ara elementos cargados axialmente la distriuci$n de ladeformaci$n com&nmente se toma como uniforme# adem)s se saeque el esfuer!o es proporcional a la deformaci$n.
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CAPITULO I
CARGA AXIAL
DEFINICION
*sfuer!os axiales# son aquellos deidos a fuer!as que act&an a lolargo del eje del elemento.
Los esfuer!os normales axiales por lo general ocurren en elementoscomo cales# arras o columnas sometidos a fuer!as axiales +queact&an a lo largo de su propio eje,# las cuales pueden ser de tensi$no de compresi$n. -dem)s de tener resistencia# los materiales deentener rigide!# es decir tener capacidad de oponerse a lasdeformaciones +d, puesto que una estructura demasiado
deformale puede llegar a 'er comprometida su funciona1idad o'iamente su estética. *n el caso de fuer!as axia1es +de tensi$n ocompresi$n,# se producir)n en el elemento alargamientos oacortamientos# respecti'amente# como se muestra en la figura 1+(-L-/-# 2001,.
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igura 1 eformaci$n deida a esfuer!os de tensi$n decompresi$n# respecti'amente.
na forma de comparar la deformaci$n entre dos elementos# esexpresarla como una deformaci$n porcentual# o en otras palaras#
calcular la deformaci$n que sufrir) una longitud unitaria del material#la cual se denomina deformaci$n unitaria e. La deformaci$n unitariase calcular) como +(-L-/-# 2001,
e 5 d Lo (5)
donde#
e deformaci$n unitaria#
d deformaci$n total.
Lo longitud inicial del elemento deformado.
-lgunas caracter%sticas mec)nicas de los materiales como suresistencia +capacidad de oponerse a la rotura,# su rigide!+capacidad de oponerse a las deformaciones, su ductilidad+capacidad de deformarse antes de romperse,# por lo general se
otienen mediante ensaos en laoratorio +resistencia de materialesexperimental,# sometiendo a prueas determinadas porciones delmaterial +proetas normali!adas, para otener esta informaci$n."arece que el primero que reali!$ ensaos para conocer laresistencia de alamres fue Leonardo a 7inci# pero proalementeel primero en sistemati!ar la reali!aci$n de ensaos en pulicar sus resultados en forma de una le fue oert oo9e# sometiendoalamres enrollados +resortes,# a la acci$n de diferentes cargas midiendo las deformaciones producidas# lo que le permiti$ enunciar
los resultados otenidos en forma de le +:como la tensi$n as% es la
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fuer!a;,# en su tratado pulicado en 16 * ??@* +(-L-/-# 2001,.
La mejor manera de entender el comportamiento mec)nico de unmaterial es someterlo a una determinada acci$n +una fuer!a, medir su respuesta +la deformaci$n que se produ!ca,. e esteprocedimiento se deducen las caracter%sticas acci$n A respuesta delmaterial. eido a que la fuer!a la deformaci$n asolutas nodefinen adecuadamente para efectos comparati'os lascaracter%sticas de un material# es necesario estalecer la relaci$nentre el esfuer!o +s, la deformaci$n unitaria +e,. La figura 11muestra una relaci$n directa entre el esfuer!o aplicado la
deformaci$n producida a maor esfuer!o# maor deformaci$n+(-L-/-# 2001,.
igura 1.1 elaci$n directa entre el esfuer!o aplicado la
deformaci$n producida +Le de oo9e,.
La ecuaci$n de la recta# en la figura 11# est) dada por
s 5 m e (6)
donde#
m 5 tan a 5 *
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La pendiente de la recta# se conoce como el m$dulo de elasticidad# en los ensaos con fuer!as tensoras# se conoce como B$dulo de>oung# en Conor de TComas >oung. *ntonces# la ecuaci$n +6, se
con'ierte en la expresi$n de la Le de oo9e# como
s 5 * e (7)
*n el comportamiento mec)nico de los materiales es importanteconocer la capacidad que estos tengan de recuperar su formacuando se retira la carga que act&a sore ellos. La maor%a de losmateriales tienen una respuesta el)stica Casta cierto ni'el de lacarga aplicada a partir de ella a no tendr)n la capacidad de
recuperar totalmente su forma original una 'e! retirada la carga#porque se comportan pl)sticamente. Lo anterior se conoce comocomportamiento elasto A pl)stico se muestra en la figura 12+(-L-/-# 2001,.
Figura 1!" C#$%#r&a$i' 'a* + %,*&i-# .' #* $a&'ria'*
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CAPITULO II
CARGA AXIAL EXC/NTRICA 0 FLEXIN ASIM/TRICA
CARGA AXIAL EXC/NTRICA EN UN PLANO DE SIMETR2A
-Cora se anali!ar) un elemento que es sometido a una carga axial#cua l%nea de acci$n no cru!a por el centroide del elemento
sometido al estado de fuer!a.*ste tipo de an)lisis es mu &til en estructuras elementos comoprensas arcos donde la l%nea de acci$n de la carga a la que soncom&nmente expuestas# no corresponde con el centroide de laestructura se quisiera anali!ar el estado de esfuer!os en que est)sometida.
(uponga# por ejemplo# una pie!a con forma de arco sometida a una
carga axial con una l%nea de acci$n por deajo del centroide# comoen la siguiente figura
Dote que el elemento posee un plano de simetr%a# que en esteplano es donde se aplica la carga. *l centroide se uica a unadistancia d de la l%nea de aplicaci$n de la carga# como apreciamosen el siguiente diagrama
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La forma equi'alente de las fuer!as que act&an en este elemento sepuede representar por la fuer!a F aplicada en el centroide a unpar M que act&a en el plano de simetr%a del elemento.
(i aplicamos las condiciones de equilirio# se podr) notar que lafuer!a F deer) ser igual opuesta a P' mientras que elmomento M ser) igual opuesto al momento deP' con respectoa C # es decir
*n los an)lisis de este tipo# se puede tamién encontrar el esfuer!odesarrollado# como la suma de dos esfuer!os# uno céntrico uno deflexi$n. *s decir# el correspondiente a la fuer!a F otro al
momento M # los cuales podemos escriir de forma con'enientecomo
onde A es el )rea trans'ersal e I el momento centroidal de inercia#
se mide con respecto al eje centroidal de la secci$n.
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"ara calcular el esfuer!o desarrollado en el elemento# se utili!a elprincipio de superposici$n# con lo que se define la ecuaci$n
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CAPITULO II I
COLUMNAS SOMETIDAS A CARGA
EXC/NTRICA
La ecuaci$n de *uler se otiene a partir de la Cip$tesis de que la
carga +“P” , siempre se aplica en el centroide de la secci$ntrans'ersal de la columna# que ésta es perfectamente recta +antesde aplicar dicCa carga,.
*sta situaci$n es ajena a la realidad# pues las columnasfaricadas no son perfectamente rectas# ni suele conocerse conexactitud el punto de aplicaci$n de la carga.
"or tanto# las columnas no se pandean repentinamente sino
que comien!an a flexionarse# si ien de modo ligero#inmediatamente después de la aplicaci$n de la carga.
Fonsideremos entonces una columna sometida a una cargaejercida con una pequeGa excentricidad “e” respecto al centroide dela secci$n trans'ersal# como se muestra.
"odemos plantear una expresi$n para determinar el momentoflector en cualquier secci$n trans'ersal
)( ye P M cri +⋅−=
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-l plantear la ecuaci$n de la el)stica de la 'iga# queda
I E
ye P
I E
x M
dx
yd cri
⋅+⋅−
=⋅
= )()(
2
2
La soluci$n general de esta ecuaci$n es
e x I E
P C x
I E
P C y −
⋅
⋅⋅+
⋅
⋅⋅= cossin 21
-l plantear los l%mites de frontera# se otiene que cuando ‘x=0’ H‘y=e’ # de modo que ‘C 2 =e’ . Luego# cuando ‘x=L’ H ‘y=e’ # de modo
que
⋅
⋅⋅=
2tan1
L
I E
P eC
inalmente# la ecuaci$n 6.4.3 queda de la forma
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−
⋅
⋅+
⋅
⋅⋅
⋅
⋅⋅= 1cossin
2tan x
I E
P x
I E
P L
I E
P e y
La deflexi$n m)xima en la 'iga ocurre cuando ‘x=0,5L. (iintroducimos este 'alor en la ecuaci$n# otenemos
⋅
⋅⋅=
2secmax
L
I E
P e y
*n esta ecuaci$n puede oser'arse que ‘y=0’ cuando ‘e=0’ . (in
emargo# si la excentricidad “e” es mu pequeGa# el término
dentro de la funci$n trigonométrica la Ciciese tender a infinito# “y”
tendr%a un 'alor no nulo.
*ntonces# como ‘sec(x!"’ cuando ‘x!#$2’ # podemos plantear
22
π =⋅
⋅ L
I E
P cri
inalmente# se puede determinar el 'alor de la carga cr%tica
2
2
L
I E P cri
⋅⋅= π
D$tese que éste es el mismo resultado arrojado para el caso decarga excéntrica +ec. 6.2.8,. *s preciso recordar que en caso de
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traajar con condiciones de apoo distintas# se dee traajar con lalongitud efecti'a +“Le” , en 'e! de la longitud nominal +“L” , de la
columna.
"odemos entonces plantear la ecuaci$n del esfuer!o m)ximo en lasecci$n de maor deflexi$n de la 'iga
I
c L
I E
P
e P A
P
I
c y P
A
P
⋅
⋅⋅⋅⋅+=
⋅⋅+= 2sec
)( maxmaxσ
ecordando que ‘I=A% 2 ’ # podemos reescriir esta ecuaci$n de la
forma
⋅⋅⋅⋅⋅+= r L A E P r ce A P 2sec1 2max
σ
- esta ecuaci$n se le conoce como la &%)*a de *a seca+e# sir'epara determinar el 'alor del esfuer!o m)ximo producido tanto por flexi$n como por compresi$n que se produce en la 'iga. eecumplirse IP-P c%. ’ .
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CAPITULO IV
DISEO DE COLUMNAS BAO CARGA AXIALC/NTRICA
Fomo se mencion$ anter iormente# e l uso de la f$rmula
de *u ler para e l d i seGo es comple tamente ') l ido s i l a
co lumna a t ra tar es per fectamente recta# CecCas de un
mater ia l comp le tamen te Comogéneo # en l as que l os
pun tos de ap l i cac i$n de l a ca rga son pe r fec tamen te
conocidos.
*n rea l idad# esto no ocur re as% . "ara compensar todas imper fecc iones que t ienen las co lumnas rea les#
se ut i l i !an cd./s de d .se1, los cuales son productos
de ensaos mec)nicos que se l le'an a cao s imulando
cond ic io ne s rea les d e con str ucc i$n t ra ajo d e
elementos somet idos a cargas axiales de compresi$n.
- cont inuac i$n mostraremos a lgunos e jemplos dec$d igos de d iseGo para co lumnas CecCas de d is t in tos
mater ia les.
C#u$a* .' a-'r#
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Las columnas de acero estructural se diseGan con ase enf$rmulas propuestas por el (tructural (tailit esearcC Founcil+((F,. - dicCas formulas se le Ca aplicado factores de seguridad
con'enientes# el -merican Jnstitute of (teel Fonstruction +-J(F,las Ca adoptado como especificaciones para la industria deconstrucci$n. "ara columnas largas# se utili!a la ecuaci$n de *uler con un factor de seguridad de 1223
)/(23
12 2
r KL
E perm ⋅
⋅⋅=
π σ
"ara
200≤⋅
≤
⋅
r
L K
r
L K
c
onde el 'alor m%nimo de relaci$n de eselte! efecti'a ')lido parala relaci$n 'iene dado por
yc
E
r
L K
σ
π 2
⋅=
⋅
*n columnas con relaciones de eselte! menores se usa un ajustepara$lico# con un factor de seguridad dictado por una complejarelaci$n
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⋅−⋅+
−
=
3
3
2
2
)/(
)/(
8
1
)/(
)/(
8
3
3
5
)/(
)/(1
cc
c
perm
r KL
r KL
r KL
r KL
r KL
r KL
σ
"ara
cr
L K
r
L K
⋅≤⋅
C#u$a* .' au$ii#
La -lumin ium -ssociat ion especi fi ca e l d iseGo de
co lumnas de a lumin io por med io de t res ecuac iones .
"ar cada t ipo de a lumin io Ca un juego espec % f i co de
ecuaciones. "or e jemplo# para el caso de la a leac i$n
com&n de aluminio +2014KT6, se usa
ksi perm 28=σ "ara
120 ≤⋅
≤r
L K
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[ ]ksir KL perm
)/(23,07,30
⋅−=σ
"ara
5512 ≤
⋅
≤ r L K
2)/(
54000
r KL
ksi perm =σ
"ara
r
L K ⋅≤55
Columnas de madera
Las A*).+ .) Assc .a .+ especi f i ca e l d iseGo de
co lumnas de a lumin io por med io de t res ecuac iones .
"ar cada t ipo de a lumin io Ca un juego espec % f i co deMECANICA DE MATERIALES 2
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ecuaciones. "or e jemplo# para el caso de la a leac i$n
com&n de aluminio +2014KT6, se usa
ksi perm 20,1=σ "ara
110 ≤⋅≤ d L K
ksid KL perm
−=
2
0,26/
31120,1σ
"ara
2611 ≤⋅
≤d
L K
2)/(
5400
d KL
ksi perm =σ
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"ara
5026 ≤⋅
≤ d L K
CAPITULO V
DISEO DE COLUMNAS BAO CARGA
AXIAL EXC/NTRICA
*xisten 'arias formas de tratar casos donde la carga en la columnaes excéntrica. Trataremos en esta ocasi$n los métodos m)scomunes el método del esfuer!o admisile el método deinteracci$n.
Método del esfuerzo admisible. *n este caso# se comparandel esfuer!o m)ximo producido en la 'iga el esfuer!o admisile
dictado por la ecuaci$n de *uler. *l esfuer!o m)ximo 'endr%a dadopor
I
c M
A
P ⋅+=maxσ
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*l esfuer!o admisile seg&n la ecuaci$n de *uler
2
2
)/( r L
E adm
⋅= π
σ
> dee cumplirse
admσ σ
max
Método de Interacción. (e llama as% pues en él seoser'an c$mo interact&an las tensiones producidas por la carga decompresi$n por el momento flector ejercidos en la 'iga.
*n este caso# la condici$n que dee cumplirse es
[ ] [ ] 1
flexiónadmaxial adm
I c M
A P
σ σ
⋅+
onde “sad 3 ax.a* ” “sad 3 &*ex.+” se calculan a partir de c$digos
de diseGo estipulados para carga axial carga excéntricaMECANICA DE MATERIALES 2
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respecti'amente. Dote que a diferencia del caso anterior# losesfuer!os producidos por carga axial flexi$n se comparan por separado con el esfuer!o cr%tico para cada caso. (eg&n el método
anterior se comparan amos esfuer!os respecto al esfuer!oadmisile proporcionado por la ecuaci$n de *uler.
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PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 81"
D/* ./*'!*
D!l .#'/ +!i/ ! ? ! #a $!ra AC .!#! # .!*/ !
5; @g> F/r+a#/ #a )!$a ! 16$+> A!+=* $aa ./*'!!*'a */*'!#i/ ./r # 'ira#'! ED !# !l B! a( #a !ra
! !x'!#*i%# U 7;; @g> allar la a'iga a $/+.r!#*i%#
+=xi+a !# l/* ./*'!*>
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PROBLEMA 8!"
La gra ! la "gra 'i!#! #a *!$$i%# r!$'a#glar $/#*'a#'!! 6 x 1; $+> D!'!r+i#ar la $arga P B! .!a a$'ar a lai*'a#$ia ! :; $+ ! la $ara i#'!r#a .ara B! #i#g#a
a'iga #/r+al !x$!a a 7;; @gH$+2>
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PROBLEMA 89"
La .i!a !+./'raa !# A?, !*'= */+!'i/ a #a $arga Pi#$li#aa a 56 > D!'!r+i#ar !l
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PROBLEMA 8:"
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PROBLEMA 85"
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