CA 4042: Campos

Electromagnéticos

Instructor: Ing. Héctor C. Vergara V.

Profesor de Facultad de Ingeniería Mecánica

Centro Regional de Azuero

Universidad Tecnológica de Panamá

Móvil: (507) 6677-5920, email: hector.vergara@utp.ac.pa

Libro de Texto:

M.N.O. Sadiku, Elementos de Electromagnetismo 5th ed. Oxford University Press, 2009.

Lectura Auxiliar:

W.Hayt, J.Buck, Teoría Electromagnética, 8va ed. McGrawHill, 2012.

Todas las figuras son tomadas del libro de texto principal a menos que se diga lo contrario

Cap. 7 (Sadiku), Cap. 8 (Hayt)Campos Magnetostáticos

2

Capítulo 3: Campos Magnetostáticos

• Tópicos Cubiertos

– Fuentes de Campos Magnéticos.

– Ley de interacción magnética entre dos

cargas puntuales en movimiento.

– Campos Magnéticos producidos por

corrientes.

– Ley de Ampere.

– Fuerza Magnética.

– Potencial Vectorial Magnético.

– Energía Magnética.

• Tarea del Sadiku, Problemas: 3, 10,15, 25,

27, 28, 31, 32, 34, 39

All figures taken from primary textbook unless otherwise cited.

Introducción a los campos magnéticos

• En electrostática estudiamos divergentes campos potenciales

• En magnetostática, examinaremos campos rotacional (solenoide)

• También considerando que, los campos electrostáticos son generados por cargas estáticas, magnetostática campos son generados por las corrientes estáticas (cargas que se mueven con velocidad constante en una dirección determinada)

• Existen varias similitudes entre campos electrostáticos y Campos Magnetostáticos.

• Por ejemplo, como teníamos 𝐸 y 𝐷 para electrostática, ahora usamos 𝐵 y 𝐻para examinar sistemas magnéticos

• Nuestro estudio de estos campos nos permite evaluar y resolver para un enorme número de aparatos eléctricos y electromecánicos.

• Además este estudio servirá de base para la formulación de una teoría universal de campos electromagnéticos que se utiliza en casi todos los aspectos de la ingeniería eléctrica.

3

Analogía entre campos eléctricos y magnéticos

• Leyes Básicas

• Ley de fuerza

• Elemento de carga

• Intensidad de Campo

• Densidad de Flujo

• Relación entre Campos

• Potentiales

• Flujos

• Densidad de Energía

• Ecuación de Poisson4

Eléctricos Magnéticos

D C / m

S

2V v

Q

C V

D

d S

4 r

d l

V L

D E

a4 r 2 r

w E D E

D d S Q e n

c

F Q E

d Q

d tI C d V

E

V

E V

(V /m )

l

Q 1Q 1F

2

2

1

B W b / m 2

w E B H2

2 A J

d I

d tI

L

B

d S

L I

I d l

4RA

H V , ( J

0 )

B H

S

H ( A / m )l

I

F Q u

B Q u

I d l

I e n c H d l

4R

0 I d l a rd B

m

2

1

Fuentes de Campos Magnéticos

Cable de Corriente

Espira Solenoide Barra Magnética (Imán)

La Tierra

Los Campos Magnéticos son producidos por corrientes eléctricas, quepueden ser corrientes macroscópicas en los cables, o corrientesmicroscópicas asociadas con los electrones in las órbitas atómicas.

Campos Magnéticos: Conceptos, Interacciones y Aplicaciones

Ley de Biot-Savart

• El diferencial de la intensidad de campo magnético, dH, producido en un punto P, por

el elemento diferencial de corriente, Idl, es proporcional a el producto Idl y el seno del

ángulo α entre el elemento y la línea que une a P con el elemento e inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia, R, entre P y el elemento

5

4R 3 4R 24R 2d H

Id l

a R

Densidad de corriente• El diferencial de corriente se define basado en la geometría del elemento diferencial de

corriente investigado

• Evaluando la intensidad de campo

mangético, H, usando estas tres

corrientes diferenciales son:

6

Id l K d S J d v

v

S

H

L

J d v aH

K d S a RH

I d l

a

R

R

4R

4R 2

4R

2

2

z cot

dz csc 2 d

I csc da

4 csc 3

H sin d a

cos 2 cos 1 a

H a2

H a

4

2

4

4

I

I

IH

I

H L

• El campo H esta determinado por un filamento recto de corriente en una manera muy

similar como en el campo eléctrico determinado por una línea de carga

letting

2 2

1

El campo H en el punto P debido a

un conductor filamentoso recto

4 2 z 2

H

H

d l d z a z

R a z a z

d l R d z a

Id l R

L

L

Id z a

4R

3 / 2

3

Cambiando de variable

Línea de z = 0 a

Línea de z = - a

7

Campo H de una espira circular

• Nuevamente, El campo H está determinado por una espira circular de corriente de manera

muy similar como en el caso del campo eléctrico por una línea circular de carga

8

d l d a

R 0 ,0 , h x , y ,0 a

La dirección no presenta simetría en R

h a z

L4R

I d l R

H 3

4 2 h 2 3 / 2

a d a z 2

z z

d a z

a a z

d 0

0 h

d Hd H d H a

h d ˆI

d H

h d a

a

d l R 0

2

Campo H de una espira circular

• Nuevamente, El campo H está determinado por una espira circular de corriente de manera

muy similar como en el caso del campo eléctrico por una línea circular de carga

8

d l d a

R 0 ,0 , h x , y ,0 a

La dirección no presenta simetría en R

h a z

L4R

I d l R

H 3

4 2 h 2 3 / 2

z z

a a z

d 0

0 h

d H

h d ˆI

h d a 2

9

Linea de z = - a

Por simetría, el término se elimina

Nos queda;

2a 2 z 2 3 / 22a 2 z 2 3 / 2

dz acsc 2 d a z

s in d

d H nI s in d

H z s in d cos 2 cos 1

2

2 3 /

22

Ia 2 dl Ia 2 ndz

22

2

dl ndz N

dzl

t an a

z

nI1

1

d H

nI

a

z

z

Campo H de un Solenoide

10

• Un solenoide es una bobina (coil) o cables por donde pasa la corriente a través de un

radio uniforme y un número de vueltas, N. Se puede determinar el campo dentro de un

solenoide asumiendo cada uno de los campos debido a cada bucle (vuelta). Así, el

campo total en cualquier lugar en el solenoide puede ser encontrado como:

Derivation:

c o s 2 c o s 1 az

a zH n I a z

N I

w h e r e n

N / l

if

l a

n IH

2

Line from z = - to

• Ley de Ampere: La integral de línea de H alrededor de una trayectoria cerrada

es igual a la corriente neta, Ienc, encerrada por esa trayectoria

H dl I en c

– Similar a la ley de Gauss, la ley de Ampère es de fácil aplicación para

determinar H cuando la distribución de corriente es simétrica

– La ley de Ampère mantiene validez aun si la distribución de corriente no es

simétrica, sin embargo la ecuación es típicamente utilizada para casos de

simetría

– Como la ley de Gauss y la ley de Coulomb, la ley de Ampère es un caso especial

de la ley de Biot-Savart y puede ser derivada directamente.

• Aplicando el teorema de Stokes provee una solución alternativa al método.

Ley de circuitos de Ampère

11

H d S

I e n c

I H d lSL

e n c

Maxwell’s 3rd Eqn.

Definición de Corriente previsto en el Capítulo 5

• Una simple aplicación de la ley de Ampère puede utilizarse para derivar fácilmente

la intensidad del campo magnético de una corriente de línea infinita

I H a

da H a2

I

I en c

Aplicaciones de la Ley

de Ampère

12

• Considere una hoja infinita de la corriente en el z = 0 plano con una

densidad de corriente uniforme, K=Kyay

0 a H 0 b 0a H 0 b 2 H 0b

H dl H dl

H 0 a x , z 0

H a , z

0H

I en c H dl K y

b0 x

2 3 4 1

1 2 3 4

Aplicaciones de la Ley de Ampère:

Lámina infinita de corriente

13

2

H

1

K a , z

0

K y a x , z 0

H o

K

12

y x

y

H K a n2

1 Thus, for an

infinite sheet

Aplicando la ley de Ampère

De la ley de Ampère y la suma de integral

• Se puede utilizar la ley de Ampère para mostrar directamente el blindaje

de los campos magnéticos mediante cables coaxiales

Aplicaciones de la Ley de Ampère: Línea de transmisión coaxial de longitud infinita

16

0 a

I

2a 2

a 2

I 2

a 2

I 22

0

0a 2

a 2

H dl H 2 I

dS dda z

J a

L1

H

dd I

I J dS

I

I en c H dl J

dS

en c

en c

z

17

• Se puede utilizar la ley de Ampère para mostrar directamente el blindaje

de los campos magnéticos mediante cables coaxiales

Aplicaciones de la Ley de Ampère: Línea de transmisión coaxial de longitud infinita

2

I en c H dl I

H dl H 2 I en c

L1

a b

H I

18

• Se puede utilizar la ley de Ampère para mostrar directamente el blindaje

de los campos magnéticos mediante cables coaxiales

Aplicaciones de la Ley de Ampère: Línea de transmisión coaxial de longitud infinita

I

b t 2 b 2

b t 2 b 2 d

t 2 2bt 1

2

t 2 2bt I I 1

2 b 2

2 b 2

b t

H

I

en c

J

b b t

III

a

en c

z

17

• Se puede utilizar la ley de Ampère para mostrar directamente el blindaje

de los campos magnéticos mediante cables coaxiales

Aplicaciones de la Ley de Ampère: Línea de transmisión coaxial de longitud infinita

20

2

H

0, b t

a , b b tt 2bt

2 b 2

1

a , a b

a ,0 a

I

2a 2

I

I

2

2

Aplicaciones de la Ley de Ampère: Línea de transmisión coaxial de longitud infinita

• Se puede utilizar la ley de Ampère para mostrar directamente el blindaje

de los campos magnéticos mediante cables coaxiales

• Considerar 2 hojas infinitas de la corriente en el z = 0 y z = 4 planos con una densidad

de corriente uniforme, K=-10ax A/m and K=10ax A/m respectivamente

• En un punto entre las dos placas, P (1,1,1) en paralelo donde 0 < (z = 1) < 4

19

H H 0 H 4 10 a y A / m

• En un punto fuera de las placas, P(0,-3,10) donde (z = 10) > 4 > 0

10 a x a z 5 a y A / m

10 a x a z 5 a y A / mH 4 K 4 a n

K 0 a n

H 0

1

2

1

22

1

1

2

H 0 K 0 a n 10 a x a z 5 a y A / m

H 4 K 4 a n 10 a x a z 5 a y A / m

H H 0 H 4 0 A

2 2

11

2

1 1

2

Aplicaciones de la Ley de Ampère: Láminas de corriente paralelas infinitas -Capacitor

• Un toroide es un solenoide enrollado en sí mismo como un donut

2 o l

22

NI

NI

H

, a aNI

H

H d l H 2 NII en c

a p p ro x

oo2

Aplicaciones de la Ley de Ampère: Toroide

• Asimismo, ley de Ampère es

• Y el flujo magnético a través de una superficie es

• El flujo magnético a través de un sistema cerrado es

donde

Densidad de Flujo Magnético

23

B 0 Definición de un campo

solenoidal y 4 ecuación de

Maxwell.

• Densidad de flujo magnético, B, es el equivalente magnético de la densidad de

flujo eléctrico, D. Como tal, se puede definir

• A diferencia de flujo electrostática el flujo magnético siempre sigue una ruta cerrada y

el doblez sobre sí mismo. Esta simple declaración tiene consecuencias profundas. En

electrostática, fácilmente podemos definir una carga puntual en el cual emanan

campos eléctricos hasta el infinito. Sin embargo, la naturaleza del campo magnético

solenoidal requiere un flujo magnético para viajar de un polo positivo (norte) a un polo

negativo (sur) y no es posible tener un solo polo magnético en cualquier momento.

• No existen monopolos magnéticos, esto estipula que una carga magnética

cargada no existe.

• El requisito mínimo para el campo magnético es un dipolo

24

Densidad de Flujo Magnético

Ecuaciones de Maxwell para

Campos Estáticos

Forma Diferencial (o puntual) Forma Integral Acotaciones

Ley de Gauss

Inexistencia del monopolo

magnético

Conservatividad del

campo electrostático

Ley de Ampere H J

E 0

B 0

D v

B dS 0S

H dl J dSL S

E dl 0

L

D dS vdvS

9/17/2012 25

26

• En el capítulo 4-6, discutimos varios problemas electrostáticos que fueron resueltos más

fácilmente usando el potencial eléctrico para definir la intensidad del campo eléctrico, E.

• Los mismos enfoques también reducen la dificultad de examinar los problemas del

campo magnético.

• Recordando del capítulo 3 donde un campo solenoidal puede ser descrito por su

escalares y vectores potenciales, podemos definir un campo magnético, utilizando la

siguiente.

requerimientos

.

• Al igual que E V , Podemos definir un potencial escalar magnético Vm relacionada con H cuando la densidad de corriente es cero como:

Potenciales magnéticos

escalar y vectorial

A 0

V 0

H Vm , J 0

J H Vm 0

m

• El requisito para un campo solenoidal (y la 4ta ley de Maxwell de electrostática) estipula

B 0

• Y por lo tanto, podemos definir un potencial vector magnético, A, como

B A

• Así como hemos definido el potencial eléctrico como V

• Podemos definir el vector potencial Magnético como

25

Para corriente de línea

Para corriente de superficie

Para corriente volumétrica

4 0r

dQ

A V

A S

A L

4R

Jdv

4R

4R

0KdS

0Idl

0

Potenciales magnéticos

escalar y vectorial

• Sustituyendo

26

• Uno puede también derivar estas expresiones directamente desde el campo magnético

• Donde R es el vector distancia del elemento dl’ en la fuente hasta el campo en el punto

(x,y,z)

3

Idl 'RB

0

LR4

R r r' x x'2 y y'2 z z'2

R3 R2

1

R

aR

R

Una función de (x’,y’,z’) así dl ' 0Sin embargo, El operador Del en (x,y,z) y dl’ es

fF fF f F

R

dl ' dl ' dl '

R

1

R

1 B Idl '

4

R

Aplicando la identidad

L

1

0

A L

Idl 'B 0

dl '

R

dl '

R

1

L

4R

0Idl

4R

Potenciales magnéticos

escalar y vectorial

• Aplicando el teorema de Stokes proporciona algunas relaciones prácticas bastante

útiles, incluyendo pero no limitado al flujo magnético total a través de una zona, S,

delimitada por un contorno, L.

27

B dS A dS A dl

A dlL

Ls s

Potenciales magnéticos

escalar y vectorial

28

• Recordar la identidad básica vector

Deducción de la ley de Biot-Savart

A A2 A

R r r ' x x'2 y y'2 z z'2

4

B dl ' 4 R R

B L

B 0I dl 'aR

R

1

L

dl ' 1

R

dl '

L

R

L

R2

R3 R2

aR

I

Idl ' I0 0

4R 4

0

• Derivación de la ecuación. de Poisson el Vector para los campos magnéticos y la densidad

de corriente

• Derivación de la ley de Ampère

29

B A2 A

2 A H J

A 0

00

H dl HdS 1

AdS

A 2 A J

H dl IL

H dl J dS IL S

SL S

0

0

Deducción de la ley de Ampère

co s 2 co s 1 a

co s 2 co s 1 a

co s 2 co s 1 a a

H H 1 H 2 a x a y 1 a z 4 2 5 2 5 4 5

I 4ˆ

3ˆ

1 3

a y

3

5

2 0 5

I 4

a x

H 2

9 1 6

5

3 2 4 2

a y

a y

5

4a x

a x

H

1 a z1 6 5

I 3 H 1

1 6

4

0 2 4 2

co s 2 1

co s 1 3 /

5

a a z

H

H H 1 H2

I

I

3

5

4

5

3

5

4

4

2

1

Campo H debido a un filamento que

lleva corriente en forma de L• El campo H es determinado por un filamento estrecho de la corriente de una manera

muy similar a la del campo eléctrico se determina a partir de una línea de carga

L 4 z

H

d l R d z a

z aR a

d l d z az

I d l R

H

z

L

I d z a

3 / 22 2

30