CA 4042: Campos Electromagnticos

Instructor: Ing. Hctor C. Vergara V.

Profesor de Facultad de Ingeniera Mecnica

Centro Regional de Azuero

Universidad Tecnolgica de Panam

Mvil: (507) 6677-5920, email: hector.vergara@utp.ac.pa

Libro de Texto:

M.N.O. Sadiku, Elementos de Electromagnetismo 5th ed. Oxford University Press, 2009.

Lectura Auxiliar:

W.Hayt, J.Buck, Teora Electromagntica, 8va ed. McGrawHill, 2012.

Todas las figuras son tomadas del libro de texto principal a menos que se diga lo contrario

Cap. 5:Campos Elctricos en el Espacio Material

1

Cap. 5:Campos Elctricos en el Espacio

Material

Propiedades de los Materiales. Corrientes de Conveccin y Conduccin. Conductores. Polarizacin en dielctricos. Constante y Resistencia dielctricas. Dielctricos lineales, isotrpicos y homogneos. Ecuacin de continuidad y tiempo de relajacin. Condiciones de frontera.

Tarea#3: Problemas 5, 8, 11,13,15, 20, 23, 26, 31 2

Propiedades de los Materiales

En este captulo aplicaremos los mtodos estudiados en loscaptulos anteriores para algunos de los materiales con los cualesun ingeniero deben trabajar.

Es necesario observar que la mayor parte de los materiales poseenpropiedades tanto dielctricas como conductoras,: es decir unmaterial considerado como dielctrico puede ser ligeramenteconductor, y un material que suele ser conductor puede serligeramente polarizable.

Estas desviaciones con respecto al caso ideal originan uncomportamiento interesante, en particular relacionado con losefectos de propagacin de ondas electromagnticas, comoveremos ms adelante.

3

Corrientes de Conveccin y Conduccin

La corriente (en Amperes) es una cantidad de flujo a travs de un readada, es la carga elctrica que pasa por unidad de tiempo. La corriente noes un vector.

Esto es fcil de visualizarlo en un problema en el cual la corriente total enun conductor con seccin transversal no uniforme (en una esfera) puedetener una direccin diferente en cada punto de dicha seccin transversal.La corriente en un alambre extremadamente fino o corriente filamentaria,ocasionalmente est definida como un vector, pero es preferible serconsistentes y dar la direccin del filamento o trayectoria y no la de lacorriente.

Corriente =

La densidad de Corriente es la cantidadque fluye a travs de una superficie,/2 , o la corriente a travs de unaunidad de rea normal en ese punto. 4

Densidad de Corriente =

donde

Dependiendo de como la corriente es producida, hay diferentestipos de densidad de corriente. Densidad de corriente de Conveccin. Densidad de corriente de Conduccin. Densidad de corriente de Desplazamiento (captulo 9).

Corriente generada por un campo magntico.

=

En realidad, la direccin del flujo de corriente puede no ser normal ala superficie, por lo que el trataremos a la densidad de corrientecomo un vector, y escribir el flujo incremental a travs de la pequeasuperficie de la forma habitual.

Corrientes de Conveccin y Conduccin (2)

5

donde S = da

Entonces, la corriente a travs de una superficie grande se encuentra a travs del flujo integral:

Densidad de Corriente como un Vector de Campo(2)

6

Relacin entre corriente y la velocidad de carga

Considere una carga Q, ocupando un volumen v, movindose en ladireccin positiva con una velocidad

En trminos de la densidad de carga de volumen, podemos escribir:

7

Suponga que en un tiempo t, las cargas se mueven a travs de una distancia x = L = t

Entonces

o

El movimiento de la carga representa una corriente dada por:

Relacin entre corriente y la velocidad de carga (2)

8

Ahora tenemos

La densidad de corriente es entonces :

As que, en general:

Relacin entre Densidad de Corriente y la Velocidad de Carga

9

Continuidad de Corriente

Suponga que la carga se escapa de un volumen encerrado a travs de la superficie cerrada , para formar la densidad de corriente . Tenemos la corriente total es.

Donde se necesita el signo menos para producir un flujo positivo hacia afuera, mientras que la carga interior est disminuyendo con el tiempo.

(Foco de Batera)

Teniendo las dos ecuaciones mencionadas,

10

Continuidad de Corriente (2)

Teniendo las dos ecuaciones mencionadas,

o

La densidad volumtrica no depende del tiempo

La densidad volumtrica depende del tiempo

Los integrandos de la ltima expresin

deben ser igual , esto nos conduce a la

Ecuacin de Continuidad

11

Densidad de Corriente de Conveccin

Densidad de Corriente de conveccin. No implica conductores y no obedece la ley de Ohm

Ocurre cuando la corriente fluye a travs de un medio aislante, tal como lquido, gas o vaco.

=

=

=

=

=

=

12

Densidad de corriente de conduccin

La corriente fluye en un conductor

Obedece a la ley Ohm

Considere una gran cantidad de electrones libres viajan en el metal con una masa (m),

velocidad (u), y el intervalo temporal promedio entre colisiones, .

Donde es la conductividad del conductor

Esta relacin entre la concentracin de corriente y el campo elctrico se conoce como la ley de Ohm.

La densidad de carga electrnica est dada por el nmero de electrones, n, con carga, e

= La densidad de corriente de conduccin puede ser calculada

13

J u ne

E Em

F qE mu

v

2

Densidad de Corriente de Conduccin

Estructura de banda de energa en tres tipos de materiales

a) Los Conductores no muestran diferencia de Energa entre las bandas de Valencia y de conduccin de manera que los electrones se mueven libremente.

b) Los aislantes muestran grandes brechas de energa, lo que requiere grandes cantidades de energa para levantar electrones en la banda de conduccin, Cuando esto ocurre, el dielctrico se rompe.

c) Los semiconductores tienen una relativamente pequea brecha de energa, por lo que cantidades moderadas de energa (que se aplica a travs de calor, la luz o un campo elctrico) puede elevar los electrones de valencia a bandas de conduccin.

14

Si un electrn de la banda de valencia alcanzara la energa necesaria para

saltar a la banda de conduccin, podra moverse al estado vaco de la

banda de conduccin de otro tomo vecino, generando corriente

elctrica. A temperatura ambiente casi ningn electrn tiene esta energa.

Es un aislante.

Banda prohibidaEg=6eV

Diagramas de bandas (I)Diagrama de bandas del Carbono: diamante

Banda de valencia4 electrones/tomo

--

--

Banda de conduccin4 estados/tomo

Ener

ga

15

No hay banda prohibida. Los electrones de la banda de valencia

tienen la misma energa que los estados vacos de la banda de

conduccin, por lo que pueden moverse generando corriente

elctrica. A temperatura ambiente es un buen conductor.

Diagramas de bandas (II)

Diagrama de bandas del Carbono: grafito

Banda de valencia4 electrones/tomo

Banda de conduccin4 estados/tomo

--

--E

ner

ga

16

Si un electrn de la banda de valencia alcanza la energa necesaria para saltar a la

banda de conduccin, puede moverse al estado vaco de la banda de conduccin

de otro tomo vecino, generando corriente elctrica. A temperatura ambiente

algunos electrones tienen esta energa. Es un semiconductor.

Diagramas de bandas (III)Diagrama de bandas del Ge

Eg=0,67eV Banda prohibida

Banda de valencia4 electrones/tomo

--

--

Banda de conduccin4 estados/tomo

Ener

ga

17

A 0K, tanto los aislantes como los semiconductores no conducen, ya que ningn

electrn tiene energa suficiente para pasar de la banda de valencia a la de

conduccin. A 300K, algunos electrones de los semiconductores alcanzan este

nivel. Al aumentar la temperatura aumenta la conduccin en los

semiconductores (al contrario que en los metales).

Eg

Banda de valencia

Banda de conduccin

AislanteEg=5-10eV

Diagramas de bandas (IV)

SemiconductorEg=0,5-2eV

Eg

Banda de valencia

Banda de conduccin

Banda de valencia

ConductorNo hay Eg

Banda de conduccin

18

Conductores Los Conductores son materiales que poseen abundante carga con libertad de

desplazamiento.

Se establece la convencin que cuando un campo elctrico es aplicado en un conductor, las cargas positivas son empujadas a lo largo de la misma direccin

que se aplica el campo, mientras que las cargas negativas se mueven en la

posicin opuesta.

Las cargas libres hacen dos cosas.

Ellas se acumulan en la superficie de un conductor para formar una carga superficial distribuida.

Las cargas inducidas en el campo inducido interno Ei, este se cancela con el campo externo Ee aplicado fuera del material.

El blindaje de un conductor por un campo inducido genera corriente dentro del material

Conductor Perfecto:

Reduce el campo elctrico

interno vs. el que incide en el

material.

19

Conductores (2) Un conductor perfecto si ningn campo electrosttico puede entrar, porque

las cargas superficiales inducidas coinciden con el campo externo

eliminando exactamente todos los campos dentro del material

Dichos conductores son llamados cuerpos equipotenciales, porque el potencial es el mismo en todas partes dentro del conductor basado en el

hecho de que E = -Grad(V)=0 En realidad los metales son muy buenos conductores en el cual el campo elctrico por debajo de la

profundidad de la piel del conductor es cero. Sin embargo la profundidad de la piel es una funcin

dependiente de la frecuencia que generalmente se observa solamente en aplicaciones de alta

frecuencia. Si de hecho se considera la profundidad de la piel en un problema, entonces el campo

elctrico por debajo de la profundidad de la piel de conduccin portador dentro del material es cero, y se genera corriente solamente en la superficie.

Profundidad de Piel:

La profundidad bajo la superficie de un

conductor en el cual la corriente cae a 1

por debajo de la densidad de corriente en

la superficie. Este trmino se utiliza muy

comnmente para determinar la

profundidad del incidente de las ondas

electromagnticas de alta frecuencia sobre

una superficie o propagacin a lo largo de

un alambre metlico.

Un Conductor

Perfecto: no

puede contener

un campo

electrosttico

20

Resistividad Elctrica Consideremos un conductor cuyos extremos se mantienen a una diferencia de potencial

(es decir, el campo elctrico dentro del conductor es distinto de cero y un campo se pasa

a travs del material).

Tenga en cuenta que no hay ningn equilibrio esttico en este sistema. El conductor est siendo alimentado energa mediante la aplicacin del campo elctrico (sesgo potencial)

Mientras los electrones se mueven dentro del material para establecer campos de induccin, se dispersan y son por lo tanto amortiguados. Este amortiguamiento se

cuantifica como la resistencia, R, del material.

Para este ejemplo se asume:

Una seccin transversal uniforme de rea S y longitud l.

La direccin del campo elctrico, E , producido en la misma direccin del flujo positivo de las cargas (o la misma que la corriente, I).

I S S

lclR

V

J I E

V

S l

E V

l

E dSs

21

v

E dl

R V

I

Potencia Elctrica La potencia P (en watts) es la rapidez de cambio de la energa W (en Joules) o

fuerza por velocidad.

Para un conductor con una seccin transversal uniforme

P Edl JdS VI I 2RL S

22

P v E udv E Jdv

2E J Ewp

v v

dv

dP

Densidad de Potencia

Ley de Joule

Propiedades Electrostticas de un Conductor

1. La carga solo puede existir en la superficie como una densidad de carga de superficie, , no en el interior.

2. El campo elctrico no puede existir en el interior, ni puede poseer una componente tangencial en la superficie (como se mostrar mas adelante)

3. Se desprende de la condicin 2 que la superficie de un conductor es equipotencial.

s

+

+

+++

+

+

++ +

+

+++

+

+

+ + +

+

+

E

Conductor Solido

Los campos elctricos en la direccin normal a los puntos de la superficie.(E = 0 dentro)

Considere un conductor, que se le ha colocado un exceso de carga

23

Dipolo Elctrico y Momento Dipolar

Q

d p = Qd ax

En un dielctrico, las cargas se mantienen en posicin (fija), lo ideal es que no haycargas libres que puedan moverse y formar una corriente.

Los tomos y las molculas tienen polos (separando las cargas positivas ynegativas), o pueden ser polarizada por la aplicacin de un campo elctrico.

Considere un tomo o molcula polarizada, que posee un momento dipolar, ,definida como la magnitud de carga presente, , los tiempos de la separacin decarga positiva y negativa, . Momento dipolar es un vector que apunta desde lanegativa a la carga positiva.

Modelo de un Dielctrico

Un dielctrico se puede modelar como un conjunto de cargas unidas en elespacio libre, asociados con los tomos y molculas que componen elmaterial. Algunos de estos pueden tener momentos de dipolar intrnsecos,otros no. En algunos materiales (tales como los lquidos), los momentosdipolares estn en direcciones aleatorias.

[Momento dipolar/volumen]o

[C/m2]

v

El nmero de dipolos est expresado como una densidad, n dipolos por unidad de volumen.

El campo de polarizacin del medio est definido como:

Campo de Polarizacin

Campo de Polarizacin

(con un Campo Elctrico Aplicado)

E

Introduciendo un campo elctrico puede aumentar la separacin de carga en cadadipolo, y posteriormente volver a orientar los dipolos de modo, esto le agrega unacierta alineacin, como se muestra. Este efecto es pequeo, aqu est muyexagerado.

El efecto es aumentar la P.

= np

Si todos los dipolos son idnticos.

Migracin de la carga encerrada.

E

Considere un campo elctrico aplicado con un ngulo con la superficienormal como se muestra. Resultando una separacin de cargas en la frontera(re-orientacin) dejando una frontera de cargas positivas pasando sobre ella atravs de la superficie con rea S, quedando bajo la superficie las cargasnegativas.

Centro del dipolo (puntos rojos) mantenindose en el rango (1/2) d cosarriba y abajo de la superficie de transferencia de carga.

La carga en la frontera movindose

como un Flujo de polarizacin.

E

La carga en la frontera que cruza la superficie total est dada por:

S

volume

P

Flujo de Polarizacin a travs de una

Superficie Cerrada

La acumulacin de carga positiva enlazada dentro de una superficie cerrada significa que el vector de polarizacin debe estar apuntando hacia adentro. Por lo tanto:

SP

+

+

+ +

-

-

-

-qb

Cargas de frontera y libres

Ahora consideremos la carga encerrada dentro de una superficie que consisteen cargas de la fronteras unidas, y las cargas libres . La carga total ser la suma de todas las cargas. Ahora escribimos la Ley de Gauss en trminos de la carga, QT:

Donde:

QT = Qb + Q

Cargas de la fronteras

Cargas libres

SP

+

+

+ +

qb

+

++

+

E

q

QT

Ley de Gauss para cargas libres

QT = Qb + Q

Ahora tenemos:

and

donde

Combinando las 2 tenemos que:

Por lo tanto, identificamos

Utilizamos en la forma familiar deLa Ley de Gauss:

Densidad de Carga

Tomando los resultados anteriores y aplicando el teorema de la divergencia, encontramos las expresiones:

Carga Latenteen la frontera:

Carga total:

Carga Libre:

Polarizacin en Dielctricos La principal diferencia entre un conductor y un dielctrico es la disponibilidad de electrones libres

en las capas atmicas exteriores para conducir la corriente

Aunque en un dielctrico las cargas no pueden moverse libremente, estn ligadas por fuerzas finitas, de modo que ciertamente es de esperar un desplazamiento cuando se aplica una fuerza

externa.

Estos desplazamientos se producen cuando un campo elctrico aplicado, E, crea los dipolos dentro de los medios de comunicacin que lo polarice

Medios polarizados se evalan mediante la suma de la distribucin de carga original y en el momento de dipolo inducido

Se puede tambin definir la polarizacin del material como el momento dipolar por unidad de volumen, P,

En la naturaleza existen dos tipos de dielctricos: polar y no polar

Dielctricos no polares no poseen dipolos hasta la que se aplique un campo elctrico fuerte

Dielctricos polares como el agua poseen momentos dipolares permanentes que se alinean ms en la presencia de un campo Externo.

v v

34

pk k1

qk dk k1P lim

v0

n

limv0

n

Ver diapositivas 39-40 para ms informacin

sobre el campo electrosttico E, potencial y

dipolos, electrostatic potential, and dipoles

Polarizacin en Dielctricos (2)

Potencial debido a un momento dipolar

p ar dv

R (x x' )2 ( y y' )2 (z z ' )23/ 2 R3 R2

'P

R

P r P ' '

R

1 P a

(x x' )ax (y y')a y (z z ' )az

'

1

R2 r r'

2 (x x' )2 ( y y' )2 (z z ' )2

V 4 R2

r r'

p ar p

(r r ' )

V

RR

R ar

4 oR 4 o

v

donde,

o

2

32

Donde el operador con respecto a (x,y,z)

.

pv P

35

P a

dv'4 R

'PdS '

v4 R

P a 'V

v

dv'R

'P

R P

V

ps n

oo

n

v o

'

4

1

Polarizacin en Dielctricos (3)

Cuando la polarizacin ocurre, una densidad de carga de volumen equivalente,pv, est formada a travs de dielctricos, mientras que una densidad de carga

superficial equivalente, ps , se forma sobre la superficie.

Para dielctricos no polares sin carga libre adicional

Qtotal psdS pvdv 0S v

Para casos en que el dielctrico contiene densidad libre de carga, v

t v pv oE

pv P

ps P an

36

Por lo tanto

(oE P) D

v oE pv

oE P

Es importante sealar que hasta el momento, no nos hemos comprometido con la causa de la polarizacin, P. Tratamos slo con sus efectos. Hemos afirmado que la

polarizacin de un dielctrico es resultado de un campo elctrico que alinea los dipolos

atmicos o moleculares.

En muchas sustancias, la evidencia experimental demuestra que la polarizacin es proporcional al campo elctrico, siempre que no sea demasiado fuerte E. Estas

sustancias se dicen que tienen una constante dielctrica lineal, isotrpica

Esta constante de proporcionalidad se llama la susceptibilidad elctrica, e . El Convenio es para extraer la susceptibilidad elctrica para hacer las unidades de la

constante dielctrica de espacio libre adimensional.

De la diapositiva anterior

Si el campo elctrico es muy fuerte, Entonces comienza a arrebatar electrones a las molculas y el dielctrico se convierte en conductor, Esto se denomina ruptura dielctrica.

El mximo campo elctrico que un dielctrico puede tolerar o soportar sin rupturaes llamado resistencia dielctrica.

La Constante Dielctrica

P oeE

D oE P o (1 e )E

D or E

D E

La constante dielctrica (o permitividad

relativa) de un material, r, es el cociente de

la permisividad del espacio libre

37

Dielctricos lineales, isotrpicos y

homogneos En dielctricos lineales, la permitividad, , no cambia con campo aplicado, E.

Dielctricos homogneos dno cambia la permitividad en ningn punto del material

Dielctrico isotrpico no cambia la constante dielctrica con respecto a la direccin dentro del material.

Dielctricos ms comerciales son lineales en algn rango, pero no pueden ser homogneos en grandes reas y pueden no ser istropos.

La falta de homogeneidad se debe a las concentraciones locales de un tipo de material comn o de una aleacin, o simplemente un error de tolerancia de la

mquina en el espesor de un dielctrico.

Isotropa es una propiedad del material. Muchos materiales, tales como monocristales, plasmas y materiales activos magneto poseen anisotrpicas

constantes dielctricas. Estos pueden ser aprovechados para usos especficos de

la ingeniera.

Para materiales anistropos lineales y homogneos:

zz Ez

xy xz Ex

yy yz Ey zy

Dz zx

Dy yx

xx Dx Ntese que estos mismos conceptos

pueden ser utilizados para ampliar las

propiedades anisotrpicas de conduccin

as como de resistencia 38

P

1 o 1

1 o 1 o 2

2

P n

o 2

q q

2 P n

1 o 0 2

1 q

1 P

r

1 1 o PD1

2

P

DoEP

q

2 2

s,b

s,a

v

o

q

qqq

Vector de polarizacin en un Cable Coaxial

Problem from N. Ida, Engineering Electromagnetics, 2ed, Springer, 2003

b+q

E

a

b

+qa

Asuma que la carga total Q est distribuida

en la seccin transversal del conductor y la

longitud interna

E q

2

D dS D2L Qenc qdl qL

D

L

2

q

Uno puede demostrar que la densidad de la

carga de volumen en el dielctrico es cero

As, las densidades de carga superficiales

debido a la polarizacin del dielctrico debe

ser igual y opuesta a las superficies a y b

l = q

39

Ecuacin de Continuidad

Recordando que se conserva toda la carga, la velocidad de disminucin de la carga dentro de un determinado volumen debe ser igual al flujo neto hacia fuera a travs de la superficie del volumen.

Por lo tanto, la corriente de una superficie cerrada es

Para los problemas de estado estacionario, la derivada de la carga con respecto al tiempo es igual a cero, por lo tanto el gradiente de densidad en la superficie es cero, mostrando que no puede haber acumulacin neta de carga

40

Aplicando el teorema de

la divergencia

t J

v

J dS Jdv v dvt

v dvtdt

dQI J dS enclosed

S v v

S v

Ecuacin de continuidad

Tiempo de relajacin Utilizando la ecuacin de continuidad y las propiedades de los materiales tales

como la permitividad y conductividad, se puede derivar la constante de tiempo (en

segundos) para medir el tiempo de relajacin asociado con el decaimiento de la

carga desde el punto en el cual fue introducido dentro de un material mediante el

cual se mide el tiempo de relajacin asociados con el decaimiento de la carga

desde el punto en el cual fue introducido dentro de un material a la superficie de

material que empezamos con las leyes de Ohm y Gauss

El tiempo de relajacin es el tiempo que tarda una carga colocada en el interior de un material a caer por e-1 (= 36,8%) de su valor inicial.

Para buenos conductores Tr es aproximado a 2*10-19 s.

Para buenos aislantes Tr pueden ser das

T

Time Constant (s)

ln t

ln

et /Tr

t

v

v

r

vov

vov

0 v

v dt

t

J E

E

J E

vv

v

41

42

Condiciones de Frontera Hasta ahora hemos considerado los campos elctricos en un solo medio Si el campo existe en dos medios Los campos dentro de cada medio obedecen los mismos teoremas previamente

declarados

Existe un conjunto adicional de las condiciones de contorno para que coincida con los dos campos en la interface

Consideraremos las condiciones de frontera por separado

Medio Dielctrico con dos diferentes permitividades

Conductor y dielectrico

Conductores y el espacio vaco (el dielectrico es 1)

Para completar este anlisis que necesitaremos dos de las ecuaciones de Maxwell para electrosttica

Tambin tendremos que separar la intensidad del campo elctrico en dos componentes ortogonales (tangencial y normal)

D v

E 0

E Et En

Condiciones de Frontera

Dielctrico-Dielctrico Dos diferentes dielctricos caracterizados por 1 y 2.

Alrededor del parche abcd que encierra

el lmite de ambos dielctricosAplicando E 0 E dl

E dl 0

E1twE2tw E1t E2t wh 0

E1t E2t

1 2

D2t E1t E2t

D1t

1n2n2n 2t E1twE1n

222 2

h E

hh E w E

h E

E Tangencial no se deforma y es

continua a travs de la condicin de

frontera y D tangencial por el contrario es

discontinuo a travs de la interfaz43

Dielctrico-Dielctrico (2)

Dos diferentes dielctricos caracterizados por 1 y 2.

Un cilindro que encierra el

lmite de ambos dielctricosAplicando

Q sS D1nS D2nS

s D1n D2n

s 0

D1n D2n

E1n1 D1n D2n E2n2

D normal no se deforma y es continua a

travs de la condicin de lmite E Normal

por otro lado es discontinua a travs de la

interfaz

D v D dS Qenc

S

44

Dielctrico-Dielctrico (3)

E2t

D2n

45

E1t

D1n

Conductor-Dielctrico

Conductor perfecto con conductividad infinita (por lo tanto no hay densidad de carga de volumen, potencial o campo elctrico dentro del conductor) y un dielctrico, 2.

Aplicando D dS Qenc S

Q sS DnS 0S

s Dn 2En

Aplicando E dl 0

2

E1 0

46

0wE1n E2n Etw E2n E1n2 2 2

h 0, E 0 Dt

h

2

t

hh h

0

2E2n

E2t

D2n

Ley de Refraccin de Snells

Por lo tanto una interfaz entre dos dielctricos produce flexin de lneas de flujo debido a cargas de polarizacin desiguales que se acumulan en los lados opuestos de la interfaz

Considere la frontera de dos dielctricos, 1 y 2

Podemos determinar la refraccin del campo elctrico a travs de la interface del dielctrico utilizando las condiciones de frontera.

E dl 0

h 0

E1t E2t

E1 sin1 E1t E2t E2 sin2

E1 sin1 E2 sin2

D dS QencS

s 0

D1n D2n

E1n1 D1n D2n E2n2

E11 cos1 D1n D2n E22 cos2

E11 cos1 E22 cos2

1 2

47

21 tan

21 1 1 2 2

tan

E1 sin1 E2 sin2

E cos E cos