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CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO INDUSTRIAL
Y DE SERVICIOS NO.-50
MODULO VI:
MATEMÁTICAS
SUB MODULO:
MATEMÁTICAS APLICADAS
ALUMNO:
MORALES BENITEZ NOEMI YERELY
SANCHEZ RODRIGUEZ FATIMA AIDE
NAVA SANCHEZ LUZ MARIA
GARCIA REYES DANTE DE JESUS
LUCIOS SANTOS ANA LUISA
PORTADA
FORMATO DESARROLLO
DIBUJOS
CONCLUSIONES
ORTOGRAFIA
CALIFICACIÓN
PROFESOR:
ING. IVAN ACAL ALVARADO
GRUPO: 6 C
RESOLUCION DE TRIÁNGULOS
TAREA NO.-
FECHA 13/02/2013
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Resolución de triángulos: Si bien un triangulo consta de 3 elemento:
3 ángulos y 3 lados esta perfectamente determinado si se conocen
tres de ellos, siempre que uno de los datos sea un lado. Resolver un
triangulo consiste en calcular tres de los elementos cuando se
conocen los otros tres.
Triángulos rectángulos: En el caso de los triángulos rectángulos
como tienen un ángulo recto, están determinados es decir se pueden
resolver cuando se conocen dos de sus elementos siempre que uno
sea un lado. Esto nos conduce a los siguientes casos de resolución de
triángulos rectángulos.+
1.- Dados los dos
2.- Dados un cateto y la Hipotenusa
3.-Dados un cateto y un ángulo agudo
4.- Dado la Hipotenusa y un ángulo agudo
Primer caso:
Datos:
b = 50 m a= b² + c²
C = 64 m Tan B = b/c
A = 90 ° C = 90° - B
Calculo de a.
a= b² + c² = 50² + 60² = 2500 + 4096 = 6596 = 81.21 m
Calculo de B.
Tan B = b/c = 50/ 64 = 25/32 = 0.78125
B = 38°
Calculo de C
C = 90° - B = 90° - 38° = 52°
Segundo Caso: Dados un cateto y la hipotenusa
Datos
a = 60 cm Formulas
c = 28 cm b = a² - c² B = 90° - C
A = 90° sen C = c/a
Calculo de b.
B = a² - c² = 60² - 28² = 3600 - 784 = 2816 = 53.06 cm
Calculo de C.
Sen C = c / a = 28/60 = 14/30 = 7/15 = 0.46666 C = 27° 49’
TEOREMA DE PITAGORAS
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un
triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los
cuadrados construidos sobre los catetos.
El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la
definición formal es:
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos
"triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)
Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual
al cuadrado de c (c²):
El teorema del coseno es una generalización del teorema de
Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza,
normalmente, en trigonometría
El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y
con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
El teorema del coseno es también conocido por el nombre de
teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de
Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo es recto o,
dicho de otro modo, cuando , el teorema del coseno se
reduce a:
Que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.
Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado
desconocido.
El teorema se utiliza en triangulación para resolver un triángulo, y
saber determinar
el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo
y los lados adyacentes:
.
los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres
lados:
.
Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones
de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es decir,
cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su
equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.
Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos
triángulos semejantes ABC y A'B'C'
RESOLUCION GENERAL DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS.
Para la resolución de triángulos oblicuángulos se puede aplicar la
ley de los senos, la ley de las tangentes, como veremos a
continuación.
LEY DE LOS SENOS. “Los lados de un triangulo son
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.
Para la demostración consideramos dos casos:
PRIMER CASO: El triangulo el triangulo es acutángulo. Sen ABC (Fig.331) un
triangulo acutángulo.
Tracemos las alturas CD y AE. C E
En el ACD: CD / b = sen A:
CD= b sen A. (1)
En el BCD: CD/a = a sen B. (2) b d
a /sen A = b / sen B (3)
AE = b sen C (4) A
B
AE = c sen B (5) D e
B / sen B = c/ sen C (6)
COMPARANDO (1) Y (2), TENEMOS b sen A = a sen B;
En el ACE: AE /b = sen C:
En el ABE: AE/ c= sen B;
Comparando (3) y (6), tenemos:
a/ sen A= b/sen B= c/sen C
Segundo caso: el triangulo es oblicuángulo. Sea ABC
RESOLUCION DE TRIANGULOS
Tracemos la altura CD y AE. CD = a sen B
(1)
En el CDB: CD /a = sen B:
En el CDA: CD /b = (180 -----A) = sen A: CD = b sen A
(2)
Comparando (1) y (2):
A sen B = b sen A: C
A / sen A = b / sen B (3)
En el AEC:
AE/b= b sen C (4) b E
En el AEB: 180° d
AE/ C = sen B D
B
Comparando (4) y (5) tenemos: A c
B sen C = C sen B
b/ sen R = c / sen C (6)
Comparando (3) y (6) tenemos:
A7 sen A = b / sen b = c/ sen C
LEY DEL COSENO. “el cuadrado de un lado de un triangulo es igual a la suma
de los cuadrados de los otro lados, menos el dato del producto de dichos
lados, por el cosenos del ángulos que forman”
Para la demostración consideramos dos casos:
Primar caso: El triangulo es acutángulos.
Sea ABC. Un triangulo acutángulo
B
C d
A D b C
GEOMETRIA PLANA O DEL ESPACIO
Por el teorema generalizado de Pitágoras, tenemos:
a(a)= b(b) + c(c) – 2b AD (1)
Pero: AD / e = cos A : AD= c cos A (2)
Sustituyendo (2) en (1), tenemos: B
A(a) = b(b) + c (c) – 2bc cos A
Analógicamente se demuestra: c a
B(b)= a(a) + c(c) – 2ac cos B: 180° - A
C©= a(a) + b (b) – 2ab cos C D C
A b
SEGUNDO CASO: El triangulo es obtusángulo.
Tenemos la altura BD prolongado AC sea (A) 90°.
Por el teorema generalizado de Pitágoras, Tenemos:
A(a)= b(b) + c(c) + 2b AD (1)
Pero: AD / e = cos (180 – A ) = - cos A : AD=- c cos A
(2)
Sustituyendo dos en uno tenemos
A(a)= b(b) + c(c) + 2b ( -c cos A):
A(a)= b(b)+ c(c)- 2bc cos A.
LEY DE LAS TANGENTES
“En todo triangulo oblicuángulo. La diferencia de dos de sus lados es a
su suma como la tangente de la mitad de la diferencia de los ángulos
apuestos a esos lados es a la tangente de la mitad de la suma de
dicha ángulos”
Demostracion:
A/ sen A = b / sen B:
a/b = sen A / sen B
RESOLUCION DE TRIANGULOS
a-b/a= sen A – sen B/sen A
(1) Propiedad de las p
Proporciones
a+b/a=sen A + sen B / sen A
(2)
Dividiendo (1) por (2), tenemos:
a-b /a/a+b/a = sen A – sen B / sen A / sen A+ sen B / sen A
a-b / a+b = sen A – sen B / sen A + sen B
GOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO
419… SEGUNDO CASO. RESOLVER UN TRIANGULO CONOCIDOS
DOS LADOS Y EL ANGULO COMPRENDIDO: EJEMPLO:
RESOLVER EL TRIANGULO CUYOS DATOS SON:
A= 68° 18´ b=6 c=10
DATOS: FORMULA:
a= 68° 18´ a= b² + c² -
2bc cos A
b= 6 a²+ c² -b²0
cos B= 2ac
c= 10 cos C= a² + b² -
c²
2ab
CALCULO DE a.
a= b²+c² -2 bc cos A = 6² +10² - 2 x 6 x cos 68°
18´
a= 36+100 – 120 x 0.36975 =
136 – 44.37 = 91.36
a= 9.57
CALCULO DE b.
Cos b= a²+ c² - b² = 9.57² + 10² - 6² = 91.63 + 100 - 36
2 ac 2x 9.57 x 10 191.4
Cos b= 191.63 – 36 = 155.63 = 0.81311
191.4 191.4
b= 35° 36´
CALCULO DE c.
Cos c= a² + b² - c² = 9.57² + 6² - 10² = 91.63 + 36 - 100
2ab 2x 9.57 x 6 12x 9.57
Cos c= 127.63-100 = 27.63 = 0.24059
114.84 114. 84
420… TERCER CASO: DADOS UN LADO Y DOS ANGULOS
DATOS:
FORMULAS:
A= 80° 25´
A+B+C= 180°
B= 35° 43´ a
= b = c
C= 60 sen
A sen B sen C
CALCULO DE c.
A+B+C= 180°, 80° 25´+ 35° 43´ + C = 180°; 116° 8´ + C= 180°
C=180° - 116° 8´ = 63° 52´
CALCULO DE a.
a = c a = 60
Sen A sen C sen 80° 25´ sen 63° 52´
a = 60
0.98604 0.89777
a= 60 x 0.98604 = 59.16240 = 65.88
0. 89777 0. 89777
CALCULO DE b.
B = c b = 60
Sen B sen C sen 35° 43´ sen 63° 52´
B = 60
0.58378 0.89777
b= 60x 0.58378 = 39.01
0.89777
HALLAR EL AREA DEL TRIANGULO CUYOS LADOS SON : a= 18,
b= 26
Y c= 28
P= a + b+ c p – a =
36- 18 = 18
2
P= 18 + 26 + 28 p- b =
36- 26 = 10
2
P= 72 = 36 p- c = 36
– 28 = 8
2
Aᵼ= P(p-a) (p- b) (p-c) = 36 x 18 x 10 x 8
Aᵼ= 36 x 9 x 2 x 2 x 5 x 4 x ² = 36 x 9 x 4 x 5 x 4 x 2
Aᵼ= 6 x 3 x ² x ² 5 x ² = 72 10 = 72 x 3.
162
Aᵼ= 227.694
SEGUNDO CASO: DADOS LOS LADOS Y EL ANGULO
COMPRENDIDO. SI LOS LADOS SON a Y b Y EL ANGULO
COMPRENDIDO C SE UTILIZA LA FORMULA:
A = ½ bh (1)
DEMOSTRACION DE LA FORMULA:
h = sen C
a
h = a sen C (2)
Sustituyendo (2) en (1)
Aᵼ = ½ b asen C
Análogamente se obtiene:
Área= ½ bc sen A
Área= ½ ac sen B
EJEMPLO: Hallar el triangulo cuyos datos son a= 7 b = 8 y C = 30°
RESOLUCION DE TRIANGULOS:
Aᵼ= ½ AB SEN c =½ X 7 X 8 SEN 30°
Aᵼ=½ X 56 X 0.5 = 28 X 0.5 = 14
Tercer caso: dados un lado y dos ángulos de la formula anterior:
Aᵼ= ½ ab sen C (1)
Y de la ley de los senos: a = b
Sen A sen B
Se deduce, despejando b: b= a sen B
Sen A
Y sustituyendo en (1)
Aᵼ= ½ a (a sen B) sen C
Sen A
Análogamente se obtiene:
Aᵼ= b² sen A sen C Aᵼ= c² sen A sen B
2 sen B 2 sen C
Ejemplo: Hallar el área del triangulo cuyos datos son A= 70° B = 50° y
C = 50
Aᵼ= c² sen A sen B = 50² sen 70° sen 50°
2 sen C 2 sen 60°
Aᵼ= 2500 x 0.93969 x 0.76604 = 1250 x 0.93969 x 0.76604
2 x 0. 86603 0. 86603
Aᵼ= 899.7575 = 1038.9
0.86603
RESOLVER LOS SIGUIENTES TRIANGULOS OBLICUANGULOS:
1) a=41 R=b=19.5
B=27° 50´ C=32.5
C=51° a=101° 10´
2) a=78.6 R= b=50
A=83° 26´ c=66.6
B=39° 13´ a=57° 21´
3)a=1048 R=b=1136.8
A=63° 20´ c=767.6
B=75° 47´ C=40° 53´
4) b=50 R=a=60
A=57° 7´ c=70
C=78° 28´ B=44° 25´
5)b=31.5 R= B=70° 32´
A=48° 25´ a=25
C=61° 3´ c=29.25
6) c=547.5 R= b=374
B=41° 27´ a=318
C=104° 18´ A=34° 15´
7)b=40 R= a=32.6
B=103° 37´ c=16.8
C=24° 5´ A=52° 18´
8) b=61.5 R=a=42.30
A=29° 14´ c=83.44
B=45° 18´ C=105° 15´
9)c=15 R=b=4
C=112° 37´ a=13
A=53° 8´ B=14° 15´
10) c=24.8 R= a=50
B=52° 21´ b=40
C=29° 30´ A=98° 9´
DESAROLLO DE PROBLEMAS
CONCLUSION
Este trabajo nos hizo comprender, analizar, y razonar con
profundidad sobre las teorías que deben aplicarse en la
resolución de distintos triángulos los cuales constan de
tres lados y tres ángulos utilizamos el teorema de
Pitágoras, Ley de cosenos.
En cuanto a la resolución de los problemas de triángulos oblicuángulos solo utilizamos que A+B+C=180 GRADOS y a = b =c Sen A sen B sen C