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15 CIRCUITO RLC ESTADO TRANSITORIO
OBJETIVOS
Medir la constante de tiempo de un circuito de un circuito RC, tanto
para valores grandes como pequeños.
Medir indirectamente la carga y la energía almacenadas en un
condensador
Encontrar experimentalmente la respuesta de un circuito RC a una
señal cuadrada, por medio de las señales de salida en el condensador.
Medir la frecuencia de oscilación y el tiempo de relajación de un
circuito RLC en serie, y compararlos con los valores teóricos.
Para un circuito RLC en serie, medir la corriente, la derivada de la
corriente respecto del tiempo y la energía máxima en la bobina
Estudiar el comportamiento de la corriente de un circuito RLC en
serie, en condiciones de subamortiguamiento, sobreamortiguamiento y
amortiguamiento crítico.
Medir la resistencia que corresponde a un amortiguamiento crítico y
compararla con el valor teórico.
MATERIALES
Osciloscopio
Generador de funciones
Tablero electrónico para entrenamiento
Voltímetro
Cronómetro
Tester
Cables
PARTE TEÓRICA
2
En los circuitos en estado estacionario, las fuentes de fuerza electromotriz, ya están
conectadas, y las corrientes y diferencias de potencial en cada uno de sus elementos ya han
alcanzado valores constantes en el tiempo. Esta es la condición de la mayoría de los
circuitos que estudiamos.
Al contrario del estado estacionario, en el estado transitorio, las fuentes de fuerza
electromotriz acaban de conectarse al circuito, o de desconectarse del mismo, por ende,
tanto las corrientes, como las diferencias de potencial en los elementos del circuito, varían
con el tiempo. Cuando las fuentes se conectan, las corrientes y potenciales pasan del valor
cero a sus valores estables. Si las fuentes se desconectan estando ya establecidos
potenciales y corrientes, estos pasarán de sus valores de régimen estable, al valor cero.
CIRCUITO RC
CARGA DE UN CONDENSADOR
Considere el circuito en serie de la figura 1. Supongamos que el condensador está
inicialmente descargado, por lo tanto, no hay corriente mientras el interruptor S está abierto
(Fig. 1a). Cuando S se cierra en el tiempo t = 0, la carga fluye, el condensador comienza a
cargarse a través de la resistencia R, y se produce una corriente en el circuito, la cual se
mantiene hasta que el condensador se carga totalmente (Fig.1b). El valor de la carga
máxima que adquiere el condensador, depende de la fem de la fuente.
Fig. 1 (a) Fig. 1(b)
Aplicando las leyes de Kirchhoff al circuito un instante después de cerrar el interruptor
S tenemos;
0C
qIR (1)
donde IR es la caída de potencial en la resistencia y C
q la caída en el condensador. Como
en t = 0 el condensador no tiene carga q = 0 y la ecuación (1) muestra que el valor de la
corriente inicial I0 es
R
I
0 (2)
Para encontrar la expresión matemática de la corriente en el circuito, y de la carga en
el condensador, ambas en función del tiempo, se debe resolver la ecuación diferencial (1).
Derivando la ecuación (1) respecto del tiempo:
3
01
00
dt
dIR
dt
dq
CIR
C
q
dt
d (3)
tomando en cuenta que dt
dqI la ecuación anterior se puede expresar como;
0C
I
dt
dIR dt
RCI
dI 1 (4)
como R y C son constantes, la ecuación 4 puede integrarse por separación de variables, y
utilizando las condiciones iniciales para t = 0, I = I0
tI
I
dtRCI
dI
0
1
0
RC
t
I
I
0
ln (5)
0ItI e-t/RC (6)
R
tI
e-t/RC (7)
Para determinar la carga en el condensador en función del tiempo se pude sustituir:
I = dq/dt en la ecuación 7, e integrar otra vez.
Rdt
dq e-t/RC
R
dq
e-t/RCdt
dteR
dq
t
RC
tq
00
q(t) = C (1- e-t/RC ) (8)
q(t) = QM(1- e-t/RC ) (9)
donde QM = C es la carga máxima en el condensador.
En las figuras 2 y 3 se muestran las graficas de la corriente en el circuito y de la carga
en el condensador. Se puede ver que la carga para t = 0 es igual a cero y tiende a su valor
máximo C para t . Al contrario, la corriente tiene su valor máximo R
I
0 para
4
t = 0 y decae exponencialmente hasta cero cuando t . La cantidad RC que aparece en
los exponentes se llama constante de tiempo o tiempo de vida media y se denota con la
letra griega:. Esta constante representa el tiempo que tardaría la corriente en decrecer
hasta e
1 de su valor inicial, en efecto:
0II e-1 =
e
I 0 = 0.37 0I
y, en un tiempo t = la carga aumenta desde cero hasta q( ) = QM(1- e-1 ) = 0.63QM
Fig. 2 Fig. 3
DESCARGA DE UN CONDENSADOR
Fig. 4 Fig.5
Consideremos el circuito mostrado en la figura 4, que consta de un condensador
inicialmente cargado con QM, una resistencia R y un interruptor S. Mientras el interruptor
está abierto, la diferencia de potencial a través del condensador es VC = C
QM , y la caída de
potencial en la resistencia es cero, ya que I = 0. Si el interruptor se sierra en t = 0, el
condensador comienza a descargarse a través de la resistencia.
Aplicando las leyes de Kirchhoff durante la descarga del condensador (Fig. 5) se
tiene:
0 IRC
q (10)
5
La corriente en el circuito es igual a la rapidez de decrecimiento de la carga en el
condensador
dt
dqI (11)
y la ecuación 10 se puede escribir como:
dtRCq
dq 1 (12)
Integrando y tomando en cuenta que para t = 0, q = QM se obtiene:
RC
t
Q
qdt
RCq
dq
M
tq
QM
ln
1
0
MQtq e-t/RC (13)
Como dt
dqtI , al sacar la derivada negativa de la ecuación 13 se obtiene la corriente
como función del tiempo.
RC
QtI M e-t/RC
= 0I e-t/RC
tI 0I e-t/ (14a)
donde la corriente inicial es igual a RC
QI M0 . (14b)
La carga en el condensador (Fig. 6) y la corriente en el circuito (Fig. 2) decaen
exponencialmente a una rapidez caracterizada por la constante de tiempo = RC
Fig. 6
6
CIRCUITO LRC
En un circuito LRC en régimen transitorio (Fig. 7), tanto la corriente, como la carga
en el condensador, tienen un comportamiento oscilatorio amortiguado. Esto es debido a que
tiene dos posibilidades de almacenar energía: energía eléctrica en el capacitor y energía
magnética en el inductor. Estando el capacitor cargado, la energía se encuentra almacenada
en el campo eléctrico del condensador, cuando se cierra el interruptor, la descarga del
condensador produce una corriente, y la energía
comienza a almacenarse en el campo magnético,
que se crea en el inductor como efecto de esta
corriente. A su vez, en el inductor se produce una
fem autoinducida la cual produce una corriente en
sentido contrario a la inicial, que a su vez, vuelve a
cargar el condensador, pero ahora, con diferente
polaridad. El condensador vuelve a descargarse y el
proceso se repite. De esta manera la energía oscila
entre el inductor y el capacitor. Fig. 7
En un circuito LC ideal, sin resistencia alguna, estas oscilaciones se mantendrían
eternamente, pero, debido a la resistencia natural de todo circuito (representada en el
circuito con R), las oscilaciones son amortiguadas y la energía decae exponencialmente.
Para comprobar el comportamiento descrito, aplicaremos las leyes de Kirchhoff al
circuito de la figura 7, en el momento en que se cierra el interruptor S, y el condensador
comienza a perder su carga inicial Q0.
Avanzando en sentido contrario a las manecillas del reloj.
0 IRdt
dIL
C
Q (15)
como: dt
dQtI 0
2
2
dt
Qd
dt
dQ
L
R
LC
Q (16)
Para resolver esta ecuación diferencial1, se usa como solución de prueba:
teQtQ t cos0 (17)
Esta función Q(t) tiene una parte que oscila con el tiempo: tcos y otra de
amortiguamiento exponencial: teQ 0
Sustituyendo en la ecuación diferencial (16) las expresiones de Q(t), dt
dQ y
2
2
dt
Qd y
resolviendo se encuentra como solución:
1 Para más detalles consultar la guía; TEORÍA ESTADO TRANSITORIO CIRCUITO RLC
7
teQtQ
t
10 cos (18)
La constante de tiempo del circuito cumple con la relación:
R
L
L
R2
1
2
(19)
Y, la frecuencia de oscilación del circuito 1 está dada por:
2
22
14
1
L
R
LC (20)
que generalmente se escribe de la forma:
2
2
0
2
1
1
(21)
donde 0 es la frecuencia de oscilación del circuito ideal sin resistencia (R = 0), a esta
frecuencia se la conoce como frecuencia de resonancia del circuito.
LC
10 (22)
Como el cuadrado de la frecuencia angular de oscilación 1 es la diferencia de dos
términos, es posible que 2
1 sea positivo, cero o, negativo. Esto depende del valor de
respecto de 0 .
Subamortiguamiento
Si 0 entonces 1 es real, y el circuito oscila con esa frecuencia. En este caso se
dice que el circuito está subamortiguado. Sustituyendo y 0 por las expresiones 24 y 27,
tenemos que la relación 0 es equivalente a:
R C
L2 (23)
8
Sobreamortiguamiento
Si 0 entonces 1 es imaginaria, esto muestra que el circuito no puede efectuar
oscilaciones. En este caso se dice que el circuito está sobreamortiguado. En este caso:
R C
L2 (24)
Amortiguamiento crítico
Ocurre cuando = 0 o lo que es igual, cuando:
R = C
L2 (25)
En este caso 1 = 0 y representa el límite superior de los valores de R, que permiten
oscilaciones en el circuito.
Finalmente; cuando las oscilaciones son permitidas:
teQtQ
t
10 cos (26a)
y el voltaje en el condensador:
teC
QtV
t
C 1
0 cos
teV
t
C 10 cos (26b)
El comportamiento de esta función, así como, las gráficas para los tres grados de
amortiguamiento, se ilustran en las figuras 8 y 9, respectivamente.
Fig. 8
9
Fig. 9
PARTE EXPERIMENTAL
ACTIVIDADES PREVIAS A LA SESIÓN DE PRÁCTICA
1. A partir de la ecuación (13), deducir la expresión del voltaje en el condensador
como función del tiempo, para el proceso de descarga.
2. Explicar las condiciones de subamortiguamiento, sobreamortiguamiento y
amortiguamiento crítico, para el circuito RLC en serie.
ACTIVIDADES A REALIZAR DURANTE LA SESIÓN DE PRÁCTICA
1.- Ensambla el circuito mostrado en la figura 1, en el cual el interruptor, lo simularás conectando y desconectando el cable que conecta el terminal positivo de la fuente.
Fig, 1
En éste circuito el condensador es “electrolítico”, estos condensadores poseen
polaridad, de modo que su terminal positivo debe estar conectado al terminal positivo de la
fuente y el negativo, al negativo de la fuente; de otro modo, puede dañarse
irreversiblemente. R es una resistencia que se elige entre un rango de 1 a 15 K, usa el
valor R = 5 K,. El voltímetro, es un voltímetro analógico de baja resistencia interna, Rv =
9.86 K.
2.- Una vez armado el circuito, pídele a tu profesor que lo revise antes de prender la fuente.
Enciende la fuente, y ajusta el voltaje de manera que el voltímetro marque 10 V
10
Nota: Cada vez que tengas que modificar el circuito, primero debes bajar el voltaje y
apagar la fuente. Esto es con la finalidad de evitar que la fuente se cortocircuite
accidentalmente.
3.- Conectando y desconectando el cable que sale del terminal positivo de la fuente, puedes
inducir la carga y la descarga del condensador.
Para el proceso de descarga, la ecuación (13) muestra que la carga en función del
tiempo está dada por
MQtq e-t/RC (13)
y, por ende, el voltaje en el condensador:
C
QtV M e-t/RC
= MVtV e-t/RC
El tiempo que demora la carga y en consecuencia el voltaje, en llegar a la mitad de su
valor inicial, es conocido por tiempo de semivida t1/2 y está dado por:
RC
t
MM eV
V 2/1
2
RC
t
e2/1
2
1
calculando el logaritmo natural se tiene:
2
1ln
2
1ln 2/12/1 t
RCRC
t
La constante de tiempo del circuito = RC, puedes medirla si conoces el tiempo de
semivida t1/2
2ln
2/1t
Con un cronómetro mide 10 veces el tiempo de semivida y calcula la constante de
tiempo promedio, con su respectivo error estadístico:
Δ 10
3
4.- A partir del valor de , calcula la capacidad del condensador con su error y,
compárala con su valor nominal. Para el valor de la resistencia total R, debes tomar en
cuenta la resistencia del voltímetro RV = 9.86 K y, considerar que la resistencia total está
afectada con un 10% de error.
11
R
C
RRR
RR
CCC
2
5.- Ahora, con la ayuda del Excel encuentra el valor de por cálculo estadístico. Para
esto, mide los tiempos “t” que tarda el condensador en descargarse hasta: 8, 7, 6, 5, 4, 3 y 2
voltios. Cada tiempo debes medirlo 3 veces y sacar un tiempo promedio para cada voltaje.
6.- Grafica el voltaje en función del tiempo (V = f(t)). Haz un gráfico de dispersión
con solamente los puntos, luego, colócale su línea de tendencia exponencial con su
ecuación. Obtendrás una función de la forma:
MVtV e-t/τ
7.- De la ecuación, encuentra y compáralo con el valor calculado previamente.
8.- Repite las partes 3 y 4, esta vez, con un condensador de 10 F y usando el
osciloscopio en la modalidad DC para medir el voltaje (el osciloscopio puedes mantenerlo
encendido el resto de la practica), como se muestra en la figura 2. La resistencia del
osciloscopio es de 1 M, lo suficientemente grade como para dar una constante de tiempo,
también, grande. Considera que la resistencia del osciloscopio está afectada con 0.1% de
error. Usa como entrada del osciloscopio el canal 2.
Fig. 2
9.- Prueba repetir las medidas anteriores con un condensador de 0.1 F. ¿Te das
cuenta que el tiempo de descarga del condensador es muy corto para medirlo con un
cronómetro?
Cuando el tiempo de vida media es muy corto, no puedes medirlo con un cronómetro,
necesitas hacer que el fenómeno se repita periódicamente para “detenerlo” con el
osciloscopio, sincronizando el barrido de éste con la periodicidad del fenómeno.
Para que la carga y descarga del condensador se repita periódicamente, se tiene que
alimentar el circuito con una señal cuadrada. Esta señal, que carga y descarga el
condensador periódicamente, es proporcionada por un generador de funciones.
12
Fig. 3
Instala el circuito mostrado en la figura 3, y varía la frecuencia del generador hasta
que la señal del condensador tenga la forma mostrada en la figura 4. Mide el tiempo de
semivida t1/2 (t1/2 = ∆t) en la pantalla del osciloscopio (Fig. 4), determina la constante de
tiempo y compárala con el valor teórico calculado con los valores de los elementos del
circuito.
Fig. 4
10.- Calcula la carga máxima Qo y la energía máxima Uo almacenadas en el
condensador.
00 CVQ 2
002
1CVU
11.- Instala el circuito mostrado en la figura 5, para estudiar las oscilaciones
amortiguadas del voltaje y la carga en el condensador.
12.- Mide la frecuencia de oscilación 1 y la constante de tiempo
Fig. 5
En la parte teórica, se dedujo que para un circuito RLC en estado transitorio, el voltaje en el condensador durante la descarga, está dado por la expresión:
13
teVtV
t
10 cos
Por lo tanto, para dos valores del voltaje V(t1) y V(t2) separados en el tiempo un período de
oscilación: Ttt 12 se tiene:
1101 cos1
teVtV
t
y
2102 cos2
teVtV
t
Y como estos voltajes difieren en un período de oscilación, se tiene que los ángulos de fase
deben ser iguales:
11cos t = 21cos t en consecuencia
T
ett
tV
tV
12
2
1 exp y
2
1lntV
tV
T
En consecuencia, el tiempo de vida media lo puedes medir, midiendo los voltajes máximos
de dos oscilaciones consecutivas, y el período T de oscilación (Fig. 6).
Por medio del periodo T también se puede conocer la frecuencia angular de oscilación 1
1 = T
2
Mide 1 vez tanto como 1 y compáralos con los valores calculados a partir de los
elementos del circuito. No olvides incluir las resistencias de la bobina y del generador
En la parte teórica se demostró que:
1 2
2
4
1
L
R
LC y
R
L2
.
Fig. 6
14
12.- Instala el circuito mostrado en la figura 6.
Variando la resistencia del potenciómetro, encuentra el caso de amortiguamiento
crítico, y mide la resistencia crítica Rc (previamente, tienes que aislarla del circuito, sin
alterar su valor) y compárala con el valor teórico:
C
LRC 2
14.- Vuelve a conectar el potenciómetro y variando su resistencia, desde el valor
mínimo, hasta el valor máximo, observa el sobreamortiguamiento, y el
subamortiguamiento (ver figura 13 de la teoría). Explica el comportamiento de la señal en
cada caso.
Fig. 6
15.- Apaga la fuente, el tester y el osciloscopio, desconecta los cables y colócalos en
el lugar donde los encontraste.
16.-Procesa tus datos e imprime tu informe