Post on 21-Apr-2015
Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
SISTEMAS NO LINEALESESTABILIDAD DE LYAPUNOV
Prof. Virginia Mazzone - Prof. Mariana Suarez
1 Estabilidad de sistemas autónomos2 Estabilidad según Lyapunov3 Teorema de Lyapunov4 Búsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Prof. Virginia Mazzone - Mariana Suarez SNL- Clase 5
Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Estabilidad de sistemas autónomos
Consideremos el sistema invariante en el tiempo,
x = f (x) (1)
donde f : D→ Rn es localmente Lipschitz desde un dominioD⊂ Rn en Rn. Supongamos que x∗ ∈ D es un P.E. de (1).Analizaremos su estabilidad.
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Estabilidad de sistemas autónomos (cont.)
NotaTrabajaremos por conveniencia con x∗ = 0. Esto no implicapérdida de generalidad, ya que para los casos en que x∗ 6= 0,puede definirse un cambio de coordenadas como sigue:
y = x− x∗
y = g(y)
Donde g(y) = f (y+ x∗) tiene un P.E. en el origen.
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Definiciones de estabilidad
DefiniciónEl punto de equilibrio x∗ = 0 de (1) es
estable, si para cada ε > 0 existe δ = δ (ε) tal que
‖ x(0) ‖< δ ⇒‖ x(t) ‖< ε, ∀t ≥ 0
inestable, si no es estableasintóticamente estable (A.E.), si es estable y δ puedeelegirse tal que
‖ x(0) ‖< δ ⇒ lımt→∞
x(t) = 0
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Ejemplo: El péndulo
Ecuaciones de estado:
x1 = x2
x2 =−gl
senx1−km
x2
Puntos de equilibrio:Haciendo x1 = x2 = 0, los PE son
(nπ,0), n = 0,±1,±2, . . .
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Ejemplo: El péndulo (cont.)
Análisis de la estabilidad de los P.E.
Sin fricción (k = 0) , (0,0) es un equilibrio estable.Con fricción (k > 0, (0,0) es un equilibrio asintóticamenteestable.(π,0) , punto de ensilladura, es un P.E. inestable.
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Ejemplo: El péndulo (cont.)
Análisis de la estabilidad usando conceptos de energíaSea la energía del péndulo E(x) = Ep(x)+Ec(x), con referenciade Ep elegida tal que E(0) = 0.
E(x) =∫ x1
0
gl
senydy+12
x22
=gl(1− cosx1)+
12
x22
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Sin fricción (k = 0) ,el sistema es conservativo (sindisipación de energía). Entonces
E(x) = c⇒ dEdt
= 0
Con fricción (k > 0, se disipa energía durante la evolucióndel sistema. Entonces,
dEdt≤ 0
Es decir, la energía decrece hasta llegar a cero. Latrayectoria x(t) tiende a x = 0 cuando t→ ∞.
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Estabilidad según Lyapunov
Alexandr Lyapunov, metemático e ingeniero ruso(1857−1918)Teoremas de estabilidad de Lyapunov: dan condicionessuficientes para estabilidad en puntos de equilibrio.Teoremas conversos: establecen que muchas de estascondiciones son también necesarias.
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
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Estabilidad según Lyapunov
Lyapunov propone otras funciones, además de la energía, quepueden utilizarse para demostrar la estabilidad de un P.E.Sea V : D→ R una función continuamente diferenciable en undominio D⊂ Rn que contiene al origen. La derivada de V a lolargo de las trayectorias de (1) está dada por
V (x) =n
∑i=1
∂V∂xi
xi =n
∑i=1
∂V∂xi
fi(x)
=[
∂V∂x1
,∂V∂x2
, . . .∂V∂xn
]f1(x)f2(x)
...fn(x)
=∂V∂x
f (x)
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Estabilidad según Lyapunov
NotaObservemos que esta derivada puede pensarse como laderivada direccional de V (x) en la dirección del campo f (x), esdecir
V (x) = L fV (x)
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
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Teorema de Lyapunov
TeoremaSea el origen x = 0 un P.E. de (1) y sea D⊂ Rn un dominio quecontiene al origen. Sea V : D→ R una función continuamentediferenciable tal que
V (0) = 0 y V (x) > 0 en D−0V (x)≤ 0 en D
entonces, x = 0 es estable. Más aún, si
V (x) < 0 en D−0
entonces x = 0 es asintóticamente estable (A.E.).
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Teorema de Lyapunov- Demostración
Parte I: V (x)≤ 0→ el P.E. es estableDado ε > 0, elijamos r ∈ (0,ε] tal que
Br = x ∈ Rn |‖ x ‖≤ r ⊂ D
Sea α = mın‖x‖=r V (x) . Entonces α > 0 por hipótesis.Tomemos β ∈ (0,α) y sea
Ωβ = x ∈ Br |V (x)≤ β
⇒Ωβ está en el interior de Br, y tiene la propiedad de que todatrayectoria que comienza en Ωβ en t = 0 permanecerá enΩβ ∀t ≥ 0
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Teorema de Lyapunov- Demostración
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Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Teorema de Lyapunov- Demostración (cont.)
Ωβ es compacto→ tiene sol. única ∀t ≥ 0 cuando x(0) ∈Ωβ
V continua, V (0) = 0 →∃δ > 0 tal que
‖ x ‖≥ δ ⇒V (x) > β
Entonces Bδ ⊂Ωβ ⊂ Br, y
x(0) ∈ Bδ ⇒ x(0) ∈Ωβ ⇒ x(t) ∈Ωβ ⇒ x(t) ∈ Br ∀t ≥ 0
Por lo tanto,
‖ x(0) ‖< δ ⇒‖ x(t) ‖< r ≤ c, ∀t ≥ 0
→ el P.E. en x = 0 es estable
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Teorema de Lyapunov- Demostración (cont.)
Parte II: V (x) < 0→ el P.E. es asintóticamente estable
Supongamos ahora que
V (x) < 0 en D−0
Como V continua, V (0) = 0, para probar E.A. debe mostrarseque
V (x(t))→ 0 cuando t→ ∞
V (x(t)) monotónicamente decreciente y acotada inferiormentepor cero, entonces
V (x(t))→ c≥ 0 cuando t→ ∞
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Teorema de Lyapunov- Demostración (cont.)
Veamos que c=0 por contradicción. Sup. que c > 0.Porcontinuidad de V (x), existe d > 0 tal que Bd ∈Ωc.V (x(t))→ c > 0 implica que x(t) permanece fuera de la bola Bdpara todo t ≥ 0.Sea −γ = maxd≤‖x‖≤r V (x)Por hipótesis −γ < 0 . Integrando V (x) tenemos que
V (x(t)) = V (x(0))+∫ t
0V (x(τ))dτ ≤V (x(0))− γt
El miembro derecho se hace negativo luego de un cierto t →se contradice la suposición c>0.
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Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Búsqueda de funciones de Lyapunov
Formas cuadráticas
V (x) = xT Px =n
∑i=1
n
∑j=1
Pi jxix j
con P matriz simétrica real.V (x) es definida positiva⇔ todos los autovalores de Pson positivos. Entonces P es definida positiva y se escribeP > 0
V (x) es semidefinida positiva⇔ todos los autovalores deP son no negativos. Entonces P es semidefinida positiva yse escribe P≥ 0
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Búsqueda de funciones de Lyapunov (cont.)
Proposición: Sea A matriz simétrica y real, entonces A esdefinida positiva sii todos los autovalores de A sonestrictamente positivos.
xT Ax > 0 ∀x 6= 0 ⇔ λ (A) > 0
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Búsqueda de funciones de Lyapunov (cont.)
Demostración: Sea A definida positiva y λi ∈R autovalor de A.Sea xi el autovector correspondiente, con ‖ xi ‖= 1.
Axi = λixi y xTi Axi > 0 por hipótesis
EntoncesxT
i Axi = xTi λixi = λixT
i xi = λi⇒ λi > 0
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Búsqueda de funciones de Lyapunov (cont.)
Probemos ahora la recíproca. Sean λi > 0 los autovalores de A.A simétrica real→ existe una base de autovectoresortonormales de A.Entonces,
x = c1x1 + c2x2 + c3x3 + . . .+ cnxn
Ax = c1Ax1 + c2Ax2 + c3Ax3 + . . .+ cnAxn
= c1λ1x1 + c2λ2x2 + c3λ3x3 + . . .+ cnλnxn
xT Ax =(c1xT
1 + c2xT2 + c3xT
3 + . . .+ cnxTn)
(c1λ1x1 + c2λ2x2 + c3λ3x3 + . . .+ cnλnxn)
= c21λ1 + c2
2λ2 + c23λ3 + . . .+ c2
nλn > 0 si x 6= 0
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Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov
Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas
Ejemplo
Sea V (x) = ax21 +2x1x3 +ax2
2 +4x2x3 +ax23.
Decidir para qué valores de a es definida positiva V (x) .
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