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Cálculo Infinitesimal 2008/09 Ed-1 Control 2
Cálculo Infinitesimal: grupo Ed-1
Curso 2008/09 1 de diciembre
1. Dada 2 3 2
4
x xf x
x
,
a. Determinar el dominio de f .
2dom : 3 2 0 y 4 0 , 4 4, 2 1,f x x x x
b. Estudiar la existencia de asíntotas verticales y horizontales.
4x es una asíntota vertical,2
4
3 2lím
4x
x x
x
y
2
4
3 2lím
4x
x x
x
.
2 3 2lím 1
4x
x x
x
, 1y es una asíntota horizontal.
2 3 2lím 1
4x
x x
x
, 1y es una asíntota horizontal.
c. La afirmación: “La función f toma el valor 1 para algún 3, 2x ” ¿es cierta?
Razonar la respuesta.
La función f es continua en el intervalo 3, 2 , 3 2 1f y
2 0 1f . El teorema de los valores intermedios asegura que existe
3, 2c tal que 1f c .
d. La afirmación: “Como 5 0f y 3 0f , el teorema de Bolzano asegura que
existe al menos un 5, 3c tal que 0f c ” ¿es cierta? Razonar la respuesta.
No, ya que la función no es continua en el intervalo dado.
2. Calcular los siguientes límites:
a.1
0
5 coslím
3 tg
x
x
x
x
No existe.
Calculamos los límites laterales:1
0
5 coslím
3 tg
x
x
x
x
y
1
0
5 cos 1lím
3 tg 3
x
x
x
x
b.
2 222
24 4 4 4 4
cos 1 tg 2 tg 1 tg1 tg 2 2lím lím cos lím lím lím 2 tg 2
1ln tg ln tg 2 21 tgtg
x x x x x
x x x xxx x
x x xx
3. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función:
Cálculo Infinitesimal 2008/09 Ed-1 Control 2
2
si 1
arctg si 1
x xe xf x
x x
Continuidad:
Para 1x , arctgf x x , que es una función continua. Para 1x , 2x x
f x e
es
una composición de funciones continuas.
En 2
1 1 1 11, lím lím arctg lím lím 1
4
x x
x x x xx f x x f x e
, por tanto, f no es
continua y tampoco es derivable en este punto.
Derivabilidad:Escribimos la función sin los valores absolutos:
2
2
si 0
si 0 1
arctg si 1
x x
x x
e x
f x e x
x x
Entonces,
2
2
2
2 1 si 0
1 2 si 0 1
1si 1
1
x x
x x
x e x
f x x e x
xx
f no es derivable en 0x , puesto que:
2 2
0 0 0 0lím lím 1 2 1 lím lím 2 1 1x x x x
x x x xf x x e f x x e
f no es derivable en 1x por no ser continua en dicho punto.
4. Determinar los extremos absolutos de 2
2 4
xf x
x
en el intervalo 2, 2 .
Calculamos los posibles puntos de extremo relativo:
2
2 22 2
2 4 2 2 80 0 2, 2
4 4
x x x x xf x x
x x
0 00 es punto de mínimo
1 2y 2 son puntos de máximo2 2 (nótese que es una función par)2
fx
x xf f f