Universidad de Managua

Al más alto nivel

Curso de Matemática Básica

Conferencia Inicial

El Programa de Mat. Básica y Tema 1:ArtiméticaParticipantes:

Alumnos /Ciencias EEyAA

Profesor:

MSc. Julio Rito

Vargas Avilés.

www.jrvargas.wordpress.com

2018

Objetivos y temario del curso, video el trabajo colaborativo, y elementos

básicos de la aritmética.

Año académico:

DIDÁCTICA

DE LA

MATEMATICA

BÁSICA

Iniciar Curso

Mat. Básica

DIDÁCTICA DE LA MATEMATICA BÁSICA

Matemática

Básica

Ecuaciones

Lineales y

Cuadráticas

PolinomiosFunciones

Desigualdades

LinealesAritmética

El uso de las TICs ha venido a

favorecer la manipulación de la

información de las variables o datos

que son utilizados para el desarrollo

de modelos matemáticos. La

representación gráfica, el modelado y

otras bondades de estas

aplicaciones, es lo que las TICs,

ofrecen para desarrollar ejercicios,

algunos casos prácticos de

matemática difíciles de hacerlo con

papel y lápiz.

Las TIC s en el Aprendizaje de la Matemática GENERAL

El aprendizaje tradicional ha puesto como protagonista al profesor,

como el eje a partir del cual se genera el conocimiento. Ciertamente es

la figura que tiene la experiencia y el conocimiento, además de ser el

guía del alumno. Esto es, de su explicación y actividades que sugiera,

el alumno procesa, repite y elabora lo expuesto en clase.

Pero ¿qué sucede posterior a este proceso?, el alumno por naturaleza

tiende a rechazar las matemáticas, por lo que necesariamente se

requiere integrar nuevas variables al proceso de enseñanza-

aprendizaje, que pudiera constituir un atractivo para el estudiante, esto

es, un elemento detonante de interés hacia la materia en cuestión.

METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE

Tal elemento podría ser software matemáticos como Matlab, Derive,

Matemáticas, entre otros herramientas informáticas en la cual se puede

diseñar una serie de simuladores de cálculo, que permitan realizar

simulaciones con ejercicios matemáticos.

El trabajo colaborativo, en un contexto educativo, constituye un modelo

de aprendizaje interactivo, que invita a los estudiantes a construir juntos,

para lo cual demanda conjugar esfuerzos, talentos y competencias

mediante una serie de transacciones que les permitan lograr las metas

establecidas concienzudamente. Más que una técnica, el trabajo

colaborativo es considerado una filosofía de interacción y una forma

personal de trabajo, que implica el manejo de aspectos tales como el

respeto a las contribuciones individuales de los miembros del grupo.

METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE

Objetivos del Curso

Objetivo General• Expresar en su actividad profesional los valores éticos y estéticos dirigidos

hacia el desarrollo sostenible, sobre la base de la protección al medio.

• Inculcar hábitos de convivencia social, potenciando el respeto a los derechos

humanos, el fortalecimiento de la democracia, el patriotismo y la identidad

cultural.

• Realizar trabajo en equipo que fomente la práctica de la solidaridad y el

respeto al derecho ajeno en el estudio de la matemática.

• Formar valores éticos como: creatividad, independencia, objetividad,

solidaridad necesarios para el profesional de ingeniería industrial.

• Promover el cumplimiento en la entrega de trabajos y con la calidad necesaria

en los resultados que se presentan.

Objetivos del Curso

Objetivo General• Realizar operaciones con polinomios.

• Factorizar polinomios.

• Resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineales

con dos incógnitas.

• Graficar funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y por

ramas.

• Calcular áreas (figuras planas) y volúmenes de cuerpos sólidos.

• Aplicar las funciones trigonométricas, y sus inversas, y sus aplicaciones.

Competencias Genéricas de Matemática Básica

Instrumentales

Capacidad de análisis y

síntesis

Capacidad de organización y

planificación

Capacidad para la resolución

de problemas

Habilidad para analizar y

buscar información proveniente

de fuentes diversas

Comunicación oral y escrita

Capacidad de tomar

decisiones

Conocimientos de informática

relativos al ámbito de estudio

Personales

Capacidad para

trabajar en equipo

Capacidad crítica y

autocrítica

Compromiso ético en

el trabajo

Sistémicas Capacidad de

aprendizaje en equipo y

en forma autónoma.

Creatividad

Competencias Específicas de Mat. Básica

Maneja la información hasta

convertirla en un conjunto de datos útil

para la toma de decisiones.

Maneja software para calculo: Derive

y MatLab.

Resolver problemas de funciones en

forma gráfica. Con y sin apoyo de

software

Resuelve problemas de algebra como

operaciones con polinomios, radicación,

potenciación, fracciones entre otros.

Resolver ecuaciones con y sin apoyo

de software.

Aplica métodos matemáticos para

resolver problemas de funciones y

ecuaciones.

Expresa en forma sencilla un

problema del mundo real, usando

notación matemática.

PLAN TEMÁTICO

TemaTítulos

Horas

C AP PresencialesNo

presencialesTotal

1 Aritmética 2 4 6 4 10

2 Polinomios 2 8 10 8 18

3Ecuaciones Lineales y

Cuadráticas3 6 9 5 14

4 Desigualdades lineales 2 4 6 5 11

5 Funciones 2 7 9 8 17

Evaluaciones - - 2 - 2

Total 11 29 42 30 72

Bibliografía

Texto Básico

Aguilar, A., Valapi, F., Gallegos, H., & Reyes, R. (2009). Matemática simplificada (Segunda

ed.). Pearson.

Textos Complementarios

Earl W. Swokowiski Álgebra y Trigonometría Analítica con Geometría Analítica. Editorial

Grupo Editorial Iberomérica.

Aponte G, Pagán E, Pons F Fundamentos de Matemáticas Básica. Editorial Addison –

Wesley Iberoamericana

Murillo M, Soto A, Araya J.A. Matemática Básica con aplicaciones. Editorial EUNED

(Editorial Universidad Estatal a Distancia)

Barahona M, Oviedo J, Bujan V, Matemática Elemental Tomo I. Editorial de la Universidad

de Costa Rica

Fundamentos de Geometría Euclidiana.

Texto básico

para el curso

Objetivo:

Realizar operaciones con números decimales y

fracciones.

Realizar operaciones con números negativos y

positivos.

Calcular porcentajes y reglas de tres.

Contenido

Porcentajes.

Regla de tres

Aplicaciones del mínimo

común múltiplo y máximo

común divisor

Lectura y escritura de

números

Operaciones con números

positivos y negativos.

Operaciones con números

decimales y fracciones

El conjunto de los números.

El conjunto de los números:

N: Naturales

E : Enteros

Q : Racionales

Q´ : Irracionales

R : Reales

R

Q

E

NQ´

Los Números Naturales:

LECTURA Y ESCRITURA DE UN NÚMERO

En la recta numérica los números enteros negativos se ubican en forma simétrica

a los enteros positivos o naturales, es decir, a la izquierda del cero.

Así lo podemos observar la representación de algunos números enteros en la

siguiente recta numérica:

LOS NÚMEROS ENTEROS

𝐸 = …− 4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3,4, …

Números Opuestos o Simétricos

Los números que están a la misma distancia del 0 (cero) son números

opuestos, es decir, están ubicados simétricamente respecto al cero.

Analicemos el siguiente ejemplo: -5 es el opuesto de 5 porque están a la

misma distancia del 0; lo mismo ocurre con el 3 que es el opuesto de -3.

Gráficamente,

lo podemos observar:

Valor Absoluto de un número entero

La distancia de un número al cero es el valor absoluto del número. Simbolizamos

el valor colocando el número entre barras. Por ejemplo I3I =3 I-3I =3

-3 y 3 son números opuestos, ya que están a igual distancia del cero en la recta

numérica y por lo tanto tienen igual valor absoluto.

Luego de este análisis se llega a la siguiente conclusión:

Antecesor y Sucesor

Para cualquier número entero en la recta numérica es:

Antecesor (o anterior) : el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él .

Sucesor (o siguiente): el que está inmediatamente a su derecha.

Esto lo podemos ver en la siguiente recta numérica.

Orden en los Enteros

Para medir cantidades no enteras utilizamos las fracciones y números decimales, por ejemplo cuando

decimos que nos corresponden 2/3 de una cantidad, o cuando algo nos cuesta 2.35 córdobas. Las

fracciones pueden convertirse a forma decimal (exacta, periódica pura o periódica mixta) y viceversa.

Éstas forman los números racionales, conjunto que representaremos por:

Si en una fracción el numerador es múltiplo del denominador, dicha fracción es un número entero, por

tanto:

También los número racionales pueden todos ser representados sobre una recta:

-5.9 -10/3 -3/2 ½ 0 2.2 6.7

Q=𝑎

𝑏∥ 𝑎, 𝑏𝜖𝐸, 𝑏 > 0

LOS NÚMEROS RACIONALES

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Práctica:

Práctica:

EL MÁXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D.)

DEFINICIÓN:

El máximo común divisor de dos o mas números Es el mayor

de los divisores que son comunes a dicho número

Ejemplo:Los divisores de 18 y 24 son:

Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24

Los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6, el mayor de los divisores en común es el 6

Por tanto, el máximo común divisor de 18 y 24 es 6

Para calcular el MCD de varios números se descomponen simultáneamente en sus

factores primos, hasta que ya no tengan un divisor primo en común. Cuando los

números sólo tienen a la unidad como común divisor, los números reciben el nombre de

“primos relativos”.

Ejemplos:

1. Tres escuelas deciden hacer una colecta de dinero entre sus alumnos para donar a

varias instituciones de beneficencia. Si la primera junta 120 mil, la segunda 280 mil y

la tercera 360 mil córdobas, ¿cuál es la mayor cantidad que recibirá cada institución

de tal manera que sea la misma y cuántas instituciones podrán ser beneficiadas?

2. Un parque de diversiones quiere construir balsas con 3 troncos de palmera, los

cuales miden 15, 9 y 6 metros, ¿cuánto deben medir los pedazos de tronco si tienen

que ser del mismo tamaño?, ¿cuántos pedazos de troncos saldrán?

3. Calcula el MCD de los siguientes números:

a. 80, 675 y 900

b. 216, 300 y 720

c. 126, 210 y 392

EL MINIMO COMUN MULTIPLO (m. c. m.)

Definición: El menor numero

natural, que es múltiplo

simultáneamente de dos o mas

números, recibe el nombre de

mínimo común múltiplo

Para encontrar el mínimo común

múltiplo de varios números, estos

se descomponen en sus factores

primos comunes hasta que todos

los cocientes sean iguales a uno.

EJEMPLO: Encontrar el mínimo

común múltiplo de 108,162 y 270

Aplicaciones del MCM

1. Tres amigos pasean en bicicleta por un camino que rodea a un lago, para dar

una vuelta completa, uno de ellos tarda 10 minutos, otro tarda 15 y el tercero,

18 minutos. Parten juntos y acuerdan interrumpir el paseo la primera vez que

los 3 pasen simultáneamente por el punto de partida, ¿cuánto tiempo duró el

paseo?, ¿cuántas vueltas dio cada uno?

2. Rosa tiene cubos de color lila de 8 cm de arista y de color rojo de 6 cm de

arista. Ella quiere apilar los cubos en 2 columnas, una de cubos de color lila y

otra de color rojo, desea conseguir que ambas columnas tengan la misma altura,

cuántos cubos, como mínimo, tiene que apilar de cada color?

Realiza las siguientes operaciones.

Realiza las siguientes operaciones.

Tanto por ciento:

1.- Concepto de porcentaje

La expresión porcentaje o tanto por ciento equivale a “tantos de

cada 100”. Es decir, hablar del 40% es hablar de 40 de cada 100.

Teniendo en cuenta lo anterior, para hallar un tanto por ciento de

una cantidad deberíamos dividir primero por 100 para ver

cuántas cientos hay en la cantidad y después multiplicaríamos

por el tanto por ciento.

Así, para hallar el 35% de 420 haríamos lo siguiente:

420 / 100 = 4.2

4.2 * 35 = 147

En la práctica lo haremos de otras formas pero esta idea nos puede venir

bien para calcular mentalmente –o con cálculos sencillos- tantos por cientos

en los que aparecen ceros al final de las cantidades.

Recuerda que para dividir por 100 un número que acaba en ceros lo que

hacemos es quitar dos ceros. Por ello, para calcular estos porcentajes

quitaremos dos ceros y multiplicaremos las cantidades resultantes:

4% de 600 = 4*6 = 24

20% de 60 =

En el último ejemplo lo mejor es multiplicar 4 por 5 (sólo hemos quitado un cero) y del resultado, 20,

quitar el segundo cero y llegar al resultado final,2.

30% de 50 = 3 *5 = 15 40% de 500 = 40* 5 = 200

8% de 2000 = 4% de 50 =2 * 6 = 12 8 * 20 = 160 4 . 0.5 = 2

Tanto por ciento:

3.- Cálculo de porcentajes: porcentaje como regla de tres

Podemos interpretar el cálculo de un porcentaje como un problema de

proporcionalidad directa. Por ello, también podremos calcularlos por medio de

una regla de tres.Ejemplo: Calcular 40% de 650 Total Parte

100 ------ 40

650 ------ x

x

40

650

100 260

100

40.650x

Esta forma de calcular los porcentajes es particularmente útil para resolver

algunos problemas.

Tanto por ciento:

En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son chicas. ¿Qué porcentaje

representan las chicas?

(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que

corresponde a 100)

Planteamiento:

Alumnos %

30 ------- 100

12 ------- x

x

100

12

30 40

30

100.12x

Solución:

40%

Tanto por ciento:

Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, disminuye en un porcentaje de su valor y

llega a un valor final.

La camiseta que me gusta vale hoy $30 . Si en rebajas tiene un descuento del 25%. ¿Cuánto me costará

entonces?

30 – 7,5 = 22.5

Solución:

$22.5

Otra forma de resolverlo

Solución:

$22.5

DISMINUCIÓN PORCENTUAL

(Si me descuentan el 25%, pago el 75% del valor)

Precio: $30

Descuento: 25%

25% de 30 = 7.5

Precio: 30€

Decuento: 25%75% de 30 = 22.5

Tanto por ciento:

Otros problemas de aumento y disminución porcentual

Mi tío gana $1344 mensuales de sueldo después de un aumento del 12%. ¿Cuánto ganaba antes?

Antes Después

100 --- 112

x --- 13441344

112

x

100

112

1344.100x 1200

Solución:

1200 €

Son problemas en los que se nos pide averiguar el valor inicial conociendo el valor final y el porcentaje de

aumento o disminución. Los resolveremos de dos formas

Por regla de tres

Otra forma de resolverlo

112 % de x = 1344

100% + 12% = 112%

112

100.1344x 1200

Solución:

1200 €

Sueldo antes: x

Aumento: 12%

Sueldo después: 1344€

He pagado $22.50 por una camiseta. Si me han descontado el 25%, ¿cuál

era el precio antes de la rebaja?

Antes Después

100 --- 75

x --- 22,50

22,50

75

x

100

75

22,50.100x

Solución:

$30

Otros problemas de aumento y disminución porcentual

PORCENTAJES

Por regla de tres

30

Tanto por ciento:

Tanto por ciento:

Tanto por ciento:

Tanto por ciento: Aplicación

1. Paola compró una bicicleta de montaña en $800, si el precio incluía una rebaja

de 20%, ¿cuál era el precio normal de la bicicleta?

2. Jaime tiene una deuda de C$180 000, si 30% de esa cantidad se la debe a su

hermano y el resto a su tío Alberto, ¿cuánto le debe a su tío?

3. Un proveedor compra cajas con aguacates en $60 cada una y las vende con

una ganancia de 60% por caja, ¿cuánto ganará si compra 80 cajas?

4. Un contenedor de leche con capacidad para 800 litros está lleno en sus dos

quintas partes, si se agregan 80 litros más, ¿qué porcentaje del contenedor se

encuentra lleno?

Es la operación que se utiliza para encontrar el cuarto término en una proporción.

A la parte que contiene los datos conocidos se le llama supuesto y a la que

contiene el dato no conocido se le llama pregunta.

Regla de tres simple

Ejemplo 1:El precio de 25 latas de aceite es de $248, ¿cuántas latas se podrán comprar con

$1,240?

Solución: Supuesto: Si con $248 se compran 25 latas de aceite.

Pregunta: Con $1,240 se comprarán X latas de aceite.

248

1240=

25

𝑥→ 𝑥 =

1240∗25

248= 125 𝑙𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒.

Regla de tres simple

Ejemplo 2:

Una bodega se llena con 3500 sacos de 6 kg de papas cada uno y otra de la misma

capacidad se llena con sacos de 5 kg, ¿cuántos sacos caben en la segunda bodega?

Solución: Es una proporción inversa: Si disminuye el peso del saco, aumentará el

número de sacos.

Supuesto: Si con sacos de 6 kg se llena una bodega con 3500 sacos.

Pregunta: Con sacos de 5 kg se requerirán X sacos para llenar una de igual capacidad

5

6=

3500

𝑥→ 𝑥 =

6∗3500

5= 4200 𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑒 5 𝑘𝑔.

Se utiliza cuando se tienen más de 4 cantidades directa o inversamente

proporcionales.

Regla de tres compuesta

Ejemplo 1: Una fábrica proporciona botas a sus obreros, si 4 obreros gastan 6 pares

de botas en 120 días, ¿cuántos pares de botas gastarán 40 obreros en 300 días?

Solución

Se forman las razones entre las cantidades.

Si el número de obreros aumenta la cantidad de botas aumentarán , por tanto es

una proporción directa.

Si el número de días aumenta el número de botas aumenta, por tanto es una

proporción directa

4 obreros 120 días 6 pares de botas

40 obreros 300 días X pares de botas

Directa Directa

Regla de tres compuesta

4

40

120

300=6

𝑥→

40

4

300

120=𝑥

6

→ 𝑥 =40 ∗ 300 ∗ 6

4 ∗ 120= 150 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑡𝑎𝑠

Ejemplo 2: Si 24 motocicletas repartidoras de pizzas gastan $27 360 en gasolina

durante 30 días trabajando 8 horas diarias, ¿cuánto dinero se deberá pagar por

concepto de gasolina para 18 motocicletas que trabajan 10 horas diarias durante 6

meses? (considera meses de 30 días).

24 motociclistas 30 días 8 horas C$27,360

18 motociclistas 180 días 10 horas C$X

Inversa Directa Directa

Regla de tres compuesta

18

24

30

180

8

10=27360

𝑥→

24

18

180

30

10

8=

𝑥

27360

→ 𝑥 =24 ∗ 180 ∗ 10 ∗ 27360

18 ∗ 30 ∗ 8= 𝐶$ 273,600.00

Ejemplo 3: El padre de Alejandro contrató a 15 obreros que, al trabajar 40 días

durante 10 horas diarias, construyeron en su casa una piscina con capacidad para

80000 litros de agua; si Alejandro contrata a 10 de esos obreros para que trabajen

6 horas diarias y construyan otra piscina con capacidad para 40000 litros de agua,

¿cuántos días tardarán en construirla?

15 obreros 10 horas 80000 40 días

10 obreros 6 horas 40000 X días

Inversa Inversa Directa

10

15

6

10

80000

40000=40

𝑥→

15

10

10

6

40000

80000=

𝑥

40

→ 𝑥 =15∗10∗40∗40000

10∗6∗80000= 50 días