Post on 12-Jun-2015
Curso de
Electromagnetismo
I
Universidad Autonoma MetropolitanaDr. Jose Eduardo Torres
Clase
# 1: Electrostatica
•
Ley de Coulomb
•
Intensidad de Campo Electrico
•
E para
distribuciones
de carga lineal.
E→⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
Lecturas
•
Seccion 4.3 (texto), paginas: 111-119
•
Ejercicios: 4.1 pag. 107, 4.2 pag. 109 y 4.4 pag 119.
Ley de Coulomb:
1 22
kQ QFR
=
• Q = carga
•
R = distancia
•
k = constante de proporcionalidad
Forma vectorial
O
Q1Q2
F12
F21
1r→
2r→
Varias Cargas Puntuales
••
•
•
•
Q1 Q2
Q3Q4
Q5
X
Intensidad de Campo Electrico
•
Conceptos e ideas:
0limQFEQ→=
Ejercicio 4.3
•
Diagrama para x > abs(y)
Tips
•
Segunda de Newton F = ma•
Ecs. Mov. Uniformemente Acelerado:
2
( )1( )2
o
o o
v t at v
x t at v t x
= +
= + +
Clase
# 2
•
Objetivo: campos electricos para dist. carga lineal superficial y volumetrica.
•
Solucion al ejercicio 4.3
Estudio y lecturas asignadas
•
Seccion 4.4, 4.5 y 4.6 del libro de texto•
Ejercicio 4.7 y 4.9
•
Graficar en MATLAB el campo E para la dist. De carga lineal finita e infinita
E para Dist. De Carga
•
Dist. de carga lineal, superficial y vol.•
Ley de Coulomb es para cargas puntuales
•
Carga puntual = diferencial de carga (dQ)•
Aplicando las ideas del calculo integral se suman las contribuciones dQ para obtener E
Definiciones Previas
•
Densidad de carga lineal:
Qρ =
Densidad de Carga
Superficial
•
Se define como:
ss
QA
ρ =
Densidad de Carga Volumetrica
•
Se define como:
vQV
ρ =
E para dist de carga lineales
y
x
z
(0,0,z) T
A
B
dl
ρ
R
(x,y,z)2α1αα
zdE
dEρ
dE α
Ecuaciones:
•
Resolver la integral:
2
14
lR
o
dlE uR
ρπ ε
= ∫
Resolviendo la integral:
•
De la figura anterior tenemos:
2 2
( , , ) ( 0 , 0 , ) ( , , )
( )
( )z
r
d l d z
R x y z z x y z z
R u z z u
R z z
RuR
ρρ
ρ
′=
′ ′= − = −
′= + −
′= + −
=
Tambien observamos:
•
De la fig. anterior:
2
2
c o s
secc o s
ta n
se c
sec
R
R
z O T R se n O T
d zdd z d
ρ α
ρ ρ αα
α ρ α
ρ αα
ρ α α
=
= =
′ = − = −
′= −
′ = −
Substituyendo en la integral:
•
Tenemos:
( )( )
22 2
cos1 sec4 sec
zl
o
u sen uE dρα αρ ρ α α
π ε ρ α
+=− ∫
Para unaarga lineal finita:
•
La carga esta dist en z de A a B:
( ) ( )2 1 2 11 cos cos
4l
zo
E sen sen u uρρ α α α απ ε ρ
⎡ ⎤= − − + −⎣ ⎦
Finalmente
para
carga linealmente
infinita:
•
El campo electrico esta dado por:
12
l
o
E u ρρπ ε ρ
=
Recordatorio:
•
Graficar E para la dist. De carga lineal finita e infinita.
E caso infinito
Carga superficial
h R
φ
P(0,0,h)
sρ
1
2
Logica
•
De las
ideas del calculo integral:
2
14 R
o
S
dQdE uR
E dE
π ε=
= ∫
Relaciones utiles:
•
De la figura anterior:
2 2
z
R
s s
R u hu
R h
RuR
dQ dS d d
ρρ
ρ
ρ ρ ρ φ ρ
= − +
= +
=
= =
Por lo tanto:
•
La diferencial dE esta dada por:
( )( ) ( )3/ 22 2
14
S z
o
d d u hudE
h
ρρ ρ φ ρ ρ
π ε ρ
⎡ ⎤− +⎣ ⎦=+
Para una lamina infinita:
•
Tenemos:
2S
zo
E dE uρε
= =∫
Observaciones:
•
E es una constante•
E tiene la misma direccion y sentido que el vector unitario en z.
•
E no depende de la distancia h al plano xy
Actividad:
•
Dibuje el campo E para el caso anterior:
Carga Volumetricaz
vρ
y
x
R
φ
θr′
zdEdEα
Aplicamos la misma logica:
•
La diferencial de E esta dada por:
2
14
vR
o
dE dvuR
E dE
ρπ ε
=
= ∫
De la figura anterior:
•
El vector unitario en R se escribe como:
cosR zu u sen uρα α= +
Por la simetria de la figura:
•
Tenemos que las contribuciones del campo electrico E en las direcciones x y y, se anulan.
•
Por lo tanto:
2
1 cos4
vz z
o
dvE E dER
ρ απ ε
= = =∫ ∫
De la figura se deducen:
•
La diferencia de volumen es:
2dv r sen dr d dθ θ φ′ ′ ′ ′ ′=
Relaciones utiles
•
Ley del coseno:
2 2 2 2 cosc a b ab γ= + −
c
abγ
Aplicando la
ley coseno
•
Tenemos:
2 2 2
2 2 2
2 cos2 cos
R z r zrr z R zR
θ
α
′ ′ ′= + −
′ = + −
La inegral de E se expresa:
•
Usando R y r’:
2 2 2
2 2 2
cos2
cos2
z R rzR
z r Rzr
α
θ
′+ −=
′+ −′ =′
Derivando la ultima ecuacion:
•
Respecto de teta prima:
RdRsen dzr
θ θ′ ′ =′
Substituyendo en la integral:
Se obtiene:
2
14 z
o
QE uzπ ε
=
Clase #3
•
Objetivos: E debido a carga volumetrica, densidad de campo electrico y ley de Gauss
•
Estudiar sec. 4.4 y 4.5 del libro de texto.
Densidad de Flujo Electrico
•
Definicion:
oD Eε=• D es indepediente
del medio de propagacion
Flujo Electrico:
•
Definimos flujo electrico como:
D dSΨ = •∫
Ley de Gauss
•
El flujo electrico atraves
de una superficie cerrada = a la carga encerrada x dicha superficie:
vS
d D dS Q dvρΨ = Ψ = • = =∫ ∫ ∫
Usando el teorema de la Div.
•
Tenemos:
vS
D dS Ddv• = ∇•∫ ∫
Ley de Maxwell
•
Comparando con la ec. de la laminilla de la ley de Gauss, tenemos
la primera ec. De
Maxwell:
v Dρ = ∇•
Observaciones:
•
La ley de Gauss y la ec. de Maxwell son basicamente lo mismo (integral y puntual)
•
Ley de Gauss es una formoluacion alterna de la ley de Coulomb.
•
Al aplicar el teorema de la div a la ley de Coulomb resulta en la ley de Gauss.
•
La ley de Gauss aparta un medio simple para hallar E para distintas dist. de Q
Aplicaciones de la ley de Gauss
•
Carga puntual:
Q
rP
y
D
x
z
Aplicando la ley de Gauss
•
Observamos que:
r rD D u=
Entonces tenemos:
•
Que
D esta dada por:
2
2
4
:r r r rQ D dS D u dS D dS D r
donde dS r sen d d
π
θ θ φ
= • = • = =
=
∫ ∫ ∫
D para carga puntual:
•
Despejando D de la ultima ec.:
24 rQD u
rπ=
Carga Lineal Infinita
x
z
y
DP
l
lρ
Aplicando la ley de Gauss_ _ :
:
2
:2
:
2
l
l
En este caso D D u
Entonces
l Q D dS D dS D l
dondedS lDespejando
D u
ρ ρ
ρ ρ
ρ
ρ π
π ρ
ρπ ρ
=
= = • = =
=
=
∫ ∫
Lamina Infinita
de Carga
Sρ
x
y
z
D
D
P
Aplicando la Ley de Gauss
sup i::nf
::
:( )
:
2
:2
z z
S S
S z
Sz
Sz
o
Observamos D D uEntonces
dS Q D dS D dS dS
AhoraA D A A
Despejando
D u
Equivalentemente E u
ρ
ρ
ρ
ρε
=
⎡ ⎤= = • = +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
= +
=
=
∫ ∫ ∫ ∫
Clase #4
•
Objetivos: aplicacion de la ley de Gauss para esfera copn carga uniforme, potencial electrico (V) y, relacion entre V y E.
•
Estudio: Leer secciones 4.7 y 4.8•
Ejercicios: 4.8 pag. 131, 4.9 pag 132 y 4.10 pag. 136
Esfera con Carga Uniforme
r
α
(b)
r
α(a)
Caso (a)2 2
0 0 0
3
2 2
0 0
2
32
)0
43
,
4_ : :
443 3
r
enc v v v r
enc v
r r
r
enc
r v v r
a r
Q dv dv r sen drd d
Q r
y
D dS D dS D r sen d d
D rDado que Q
r rD r D u
π π
φ θ
π π
φ θ
α
ρ ρ ρ θ θ φ
ρ π
θ θ φ
π
ππ ρ ρ
= = =
= =
≤ ≤
= = =
=
Ψ = • = =
Ψ =Ψ =
= ⇒ =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Caso b) r¥α2 2
0 0 0
3
2
2 3
43
,
4
443
enc v v v r
enc v
r
r v
Q dv dv r sen drd d
Q
y
D dS D r
Q D r
π π α
φ θρ ρ ρ θ θ φ
ρ π α
π
π α ρ π
= = == = =
=
Ψ = • =
Ψ = ⇒ =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
Potencial Electrico
O
A
B
dl
rAr
Br
E
Trabajo:
:
B
A
Coulomb F QE
dW F dl QE dl
W dW Q E dl
=
= − • = − •
= = − •∫ ∫
Energia Potencia / Carga:/ :
_ _ :
B
A
B
AB A
W Q
W Q E dl
Dif de potencialWV E dlQ
= − •
= = − •
∫
∫
Observaciones:
•
A es el pto inicial y B el pto final•
Si Vab < 0 hay perdida de Energia potencial
•
Si Vab > 0 hay ganacia de Energia potencial•
Vab es indep. De la trayectoria
•
Vab [Joules/Coulomb] = [Volt]
Potencial Electrico (carga puntual)
2
2
4_ _ _ :
4
1 14
B
A
ro
r
AB r rro
ABo B A
AB B A
QE ur
V esta dado porQV u dru
r
QVr r
V V V
ε π
ε π
ε π
=
= − •
⎡ ⎤= −⎢ ⎥
⎣ ⎦= −
∫
Tomando la ref en ¶
1
4:
( )4_ _ :
1( )4
o
o
nk
ko k
QVr
vectorialmenteQV rr r
Varias Qs puntualesQV r
r r
ε π
ε π
ε π =
=
=′−
=−∑
V para dist. de carga:_ :
( )1( )4
_ sup :( )1( )
4_ :
( )1( )4
l
o l
S
o S
v
o v
Q linealr dlV r
r rQ
r dSV rr r
Q volr dvV r
r r
ρε π
ρε π
ρε π
′ ′=
′−
′ ′=
′−
′ ′=
′−
∫
∫
∫
Relacion entre E y V
A
B
E
Potencial en un “loop”
0BA BAV V E dl+ = • =∫
Aplicando Stokes:
( ) 0
:
0
E dl E dS
Equivalentemente
E
• = ∇× • =
∇× =
∫ ∫
(Ec. Maxwell)
Relacion entre E y V:
:
:
,
,
x y z
x
y
z
V E dl
dV E dl E dx E dy E dz
V V Vtambien dV dx dy dzx y z
comparandoVExVEyVEz
E V
= − •
∴⇒ = − • = − − −
∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
∂= −
∂∂
= −∂∂
= −∂
∴ = −∇
∫
Dipolo Electrico (DE)
•
Formado x 2 Q’s de igual magnitud y signo contrario separadas por una dist. reducida.
+Q
-Q
d
P
1r2rr
θ
x
y
z
cosd θ
2 1
1 2 1 2
22 1 1 2
2
2
1 14 4
: cos , :cos
4
:
:
4
o o
o
z
r
o
r rQ QVr r r r
Si r d r r d y r r rQ dV
r
Definamos p Qd
donde d dup uV
r
ε π ε π
θθ
ε π
ε π
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇒ − ⇒
=
=
=•
⇒ =
Si el centro del dipolo no pasa por el origen:
( )3( )
4: _ _ _
o
p r rV r
r rdonde r vect pos orig dipolo
ε π
′• −=
′−
′ =
Campo Electrico del dipolo
•
Se aplica la Ec.:
( )3
1
2cos4
:
r
ro
V VE V u udr r
pE u sen ur
donde p p
θ
θ
θ
θ θε π
∂ ∂⎡ ⎤= −∇ = − +⎢ ⎥∂⎣ ⎦
= +
=
Lineas de Flujo Electrico (LFE)
•
LFE: linea imaginaria cuya direccion en cualquier punto es igual a la direccion de E
•
LFEs son perpendiculares a las superficies equipotenciales.
•
Sup. Equipotencial:
0V∇ =
0V∇ =
Linea de flujo
Superficie equipotencial
Densidad de Energia en Campos Electrostaticos
1Q
2Q
3Q
1P
2P
3P∞
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2 3
2 21 3 31 32
3 2 1
2 23 1 12 13
1 12 13 2 21 23 3 31 32
1 1 2 2 3 3
0_ :
0:
212
E
E
E
E
E
E
W W W WW Q V Q V Vpero tambienW W W WW Q V Q V VSumandoW Q V V Q V V Q V V
W QV Q V Q V
= + +
= + + +
= + +
= + + +
= + + + + +
= + +
Generalizando a n cargas:
1
12
n
E k kk
W Q V=
= ∑
Para cargas no puntuales:
( )
121212:12
E l
E S
E v
v
E
W Vdl
W VdS
W Vdv
como D
W D Vdv
ρ
ρ
ρ
ρ
=
=
=
= ∇•
= ∇•
∫
∫
∫
∫
Utilizando la identidad:( )
( ) ( )
( ) ( )
:1 12 2
_ _ :1 12 2
Ev
ES v
A V VA A V
tenemos
W VD dv D V dv
Aplicando teo div
W VD dS D V dv
∇• = ∇• − •∇
= ∇• − •∇
= • − •∇
∫ ∫
∫ ∫
La primera
integral tiende a cero al crecer la superficie
( ) ( )
2
1 12 2
:
: :12
Ev v
o
E o
W D V dv D E dv
como E V
Tambien D E
W E dv
ε
ε
= − •∇ = •
= −∇
=
=
∫ ∫
∫
Densidad de Energia Electrostatica:
221 1
2 2 2E
E oo
E E
dW Dw D E Edv
W w dv
εε
= = • = =
= ∫
Campos Electricos en Materiales
•
Objetivo: Corrientes de conveccion y de conduccion y conductores.
•
Lecturas y problemas asignados: seccion 5.3 y 5.4, ejercicios: 5.1 pag. 168, 5.2 pag. 169, 5.3 pag. 170 y 5.4 pag. 170
Corriente
•
Corriente
es
la Q por unidad de tiempo: I=dQ/dt
•
Densidade de corriente (J):
n
S
IJS
I J S
I J dS
Δ=Δ
Δ = •Δ
= •∫
Tipos de Densidad de Corriente:
•
J de conveccion, conduccion y de desplazamiento.
•
Notemos que I es el flujo de J atraves de S•
I de conveccion: no implica conductores y, no obedece la ley de Ohm.
•
I de conveccion: I en aisladores
lΔ
u
SΔvρ
v v yQ lI S Sut t
ρ ρΔ ΔΔ = = Δ = Δ
Δ Δ
La J en un punto es la I a traves de un area unitaria normal
•
En general:
vJ uρ=
Corriente de Conduccion
•
Requiere de un conductor: e libres
2
: int _ _, _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ :
v v
F eEmu eE
donde ervalo prom colisionesy u vel de deriva
eu Em
Si hay n electrones por unidad de volnene J u E E
mJ E
ττ
τ
τρ ρ σ
σ
= −
= −
==
= −
= − ⇒ = = =
=
Conductores:
--
----
+
+
+
++++++
eE
eE
eE
iE
iE
eE
eE
eE
0
0v
E
ρ =
=
-
-
-
0 , 0 , 0v a bE Vρ= = =
-
-
+-
Vl
I
E
0E ≠ xque E es diferente de 0 en el conductor???
x
y
0
l l
y y yo
V E dy E dy E l
VV El El
= − − = =
⇒ = ⇒ =
∫ ∫
: sec _
:
_ _ : 1/
c
c
IJS
donde S cion transversal
pero J EI VES l
V lRI S
lRS
donde la resistividad
σσσ
σρ
ρ σ
=
=
=
= =
⇒
= =
⇒ =
=
En el caso general:
_ _ _ _ lim _ :
_ :
0 _ _ 0
E dl E dlVRI J dS E dS
El signo negativo fue e inado de
V E dl
debido a
E dl para I
σ
• •= = =
• •
= − •
• < >
∫ ∫∫ ∫
∫
∫
Ley de Joule
•
La potencia P [W] es la rapidez de cambio de la energia [J] o fuerza por velocidad:
2
2
_ _ _ :
_ _ _ sec _ _ :
v v
P
L S
dvE u E udv
P E Jdv
La densidad de potenciadPw E J Edv
Para conductores de cion transversal uniformedv dSdl
P Edl JdS VI
P I R
ρ ρ
σ
• = •
= •
= = • =
=
= =
=
∫ ∫∫
∫ ∫
Polarizacion en Dielectricos
•
Al aplicar E a un dielectrico: la Q+ se desplaza en la direccion de
E
•
La Q-
se deplaza en la direccion de –E•
Se forma un diplo electrico
•
El dielectrico sigue siendo neutral pues la Q+ = Q-
++
++++
--
-
-
--
--
-
--
-
E
E
1 1 2 21
1
0
: _: _ _ _ _ _ :
...
_ _ :
lim
N
N N k kk
N
k kk
v
p Qd
donde d vect distPara N dipolos en un vol
Q d Q d Q d Q d
La polarizcion P
Q dP
v
=
=
Δ →
=
=Δ
+ + + =
=Δ
∑
∑
Observaciones
•
Un campo E crea dipolos en un dielectrico•
Los dipolos estan alineados en la direccion de E
•
Este tipo de dielectricos es no polar•
Los dipolos cesan de existir si
se remueve E
•
Otros materiales si poseen dipolos: orientados aleatoriamente en ausencia de E
Mas observaciones
•
Los materiales con dipolos permanentes se conocen como polares
•
Al aplicar E a un material polar se genera un torque que alinea los dipolos en la direccion de E
O(x,y,z)
RRu
dv′
( , , )x y z′ ′ ′
x
y
z
2
2
2 2 2 2
_ 4.80 :
4:
4:
( ) ( ) ( )
r
o
R
o
Dep uV
rtenemos
P u dvdVR
dondeR x x y y z z
ε π
ε π
•=
′•=
′ ′ ′= − + − + −
2
2
2
1 1 1 1
1
:
_ _ :
1: _ _
x y z
R
R
R
u u uR x R y R z R
RuR
asi
P u PR
Aplicando la identidad
fA f A A f
A f fA f A
con A P y f RP u P
R R
′ ′ ′⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞′∇ ∇⎜ ⎟⎝ ⎠
′∇ =
• ′= •∇
′ ′∇ • = ∇ • + •∇
′ ′•∇ = ∇ • − ∇ •
= =
′• ∇ •′= ∇ • −P
R
( )2
_ _ :
/
4:
14
_ _ _ _ :
4 4Re _ _ int_ _ :
o
ov
n
o oS v
s n
Susttituyendo en dV
P P RRdV dvR
Integrando
P PV dvR R
Aplicando teo de la divergencia
P u PV dS dvR R
cordando las de voltaje
P uρ
ε π
ε π
ε π ε π
ρ
′
′ ′
′ ′∇ • − ∇ •′=
⎡ ⎤′∇ •′ ′= ∇ • −⎢ ⎥⎣ ⎦
′ ′• −∇ •′ ′= +
′= •
∫
∫ ∫
v Pρρ = −∇•
[ ]_ _ sup :
_ _ _ :
_ :
0
b s
b vv S
total s v b bS v
Q latente
Q P dS dS
Q dentro de S
Q dv Pdv
Q total
Q dS dv Q Q
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
ρ
ρ ρ
+
= • =
− = = − ∇•
= + = − =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Si hay Q libre en el dielectrico:
( )
_ _ _ :
: _ _ _
:
:
:
t v v o o v
v
v
v o
v o
v
o
Densidad de Q total
E Edonde densidad de Q libre
pero P
E Pfactorizando
E P
Ddonde
D E P
ρ ρ
ρ
ρ ρ ρ ε ε ρ
ρ
ρ
ρ ε
ρ ε
ρ
ε
= + = ∇• = ∇• −
=
= −∇•
= ∇• −∇•
= ∇• +
= ∇•
= +
( )
_( _ cos_ _ ): _
1 _( _ _ )
_( _ _ ):
:
1
: _ _(
e o
e
o e o o e o r
o r
r eo
r
P E materiales isotropi y linealesdonde susceptibilidad electrica
D E E E E mat iso lin
D E mat iso lindondey
donde cte dielectrica permit
χ εχ
ε χ ε ε χ ε ε
εε ε ε
εε χε
ε
==
= + = + =
==
= + =
= _ )ividad rel
Observaciones:
•
La permitividad relativa es adimensional
•
La susceptibilidad electrica es adimensional
•
La resistencia dielectrica es la E max que un dielectrico puede soportar sin disrupcion (se conv. Enconductor)
Dielectricos lineales, isotropicos y homogeneos
•
Lineal si D varia linealmente con E•
Homogeneo si ε
no depende de (x,y,z)
•
Isotropico si E y D tienen la misma direccion
_ cos :
x xx xy xz x
y yx yy yz y
zx zy zz z
Materiales ansisotropi
D ED EDz E
ε ε εε ε εε ε ε
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Ec. de continuidad y tiempo de relajacion
_ _ :
: _ _ __ _ :
:
( ._ _ )
entfue
ent
v
ent vv
v v
v
v v
v
reduccion de QdQI J dSdt
donde Q Q dentro de SAplicando teo div
J dS Jdv
perodQ d dv dvdt dt t
Jdv dvt
J ec cont It
ρρ
ρ
ρ
−= • =
=
• = ∇•
− ∂= − = −
∂
∂∴⇒ ∇• = −
∂
∂⇒∇• = −
∂
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Observaciones:
•
La ecuacion de continuidad de corriente:•
Desarollada: de la conservacion de Q
•
Si la carga es estacionaria, la div de J = 0•
La Q que entra a un volumen es igual a la Q que sale de el.
•
Lo mismo que la ley de I’s de Kirchhoff
Re :
:
_ :
0( ._ )
v
v v
v v
v v
cordemos J E
ademas E
J Et
o bien
t
Ec dift
σρερ ρ σσ
ε
ρ ρ σε
ρ ρ σε
=
∇• =
∂∇• = ∇• = − =
∂
∂− =∂
∂+ =
∂
/
_ _ var :
int :
ln ln
: ln _ _ int
: /
r
v
v
v vo
vot T
v vo
r
Met sep
t
t
donde cte de
edonde T
ρ σρ ε
σρ ρερ
ρ ρε σ
−
∂= − ∂
= − +
=
==
En materiales conductores y/o dielectricos:
Observaciones:
•
La intro de Q al interior de un material provoca un decremento en la densidad de Q vol.
•
Tiempo de relajacion: tiempo que tarda una Q colocada en el interior de un material para descender un 36.8% (1/e) de su valor inicial.
Mas observaciones:
•
El tiempo
de relajacion es corto para conductores
•
La t de relajacion es larga para dielectricos
Condiciones en la Frontera
•
Dielectrico y dielectrico•
Conductor y dielectrico
•
Conductor y vacio
0
enc
t n
E dl
D dS Q
E E E
• =
• =
= +
∫∫
Frontera dielectrico-dielectrico
1E 1nE
1tE
2E2tE
2nE
a b
cd
wΔ
hΔ
1ε
2ε
1
2
1 1
2 2
1 1
2 2 2
1 1 2 2 2 1
1 2
_ :
02 2 2 2
: 0 :
o r
o r
it n
t n
t n n t n n
t t
E E E
E E E
Se aplica E dl
h h h hE w E E E w E E
Cuando h
E E
ε ε εε ε ε==
= +
= +
•
Δ Δ Δ Δ= Δ − − − Δ + +
Δ →
=
∫
La comp. tangencial de E es cont. de un lado a oto de la frontera
1 2
1 2
1 2
:
_ ._ _ _
t t
t t
Usando D E
D D
D D discont en la frontera
ε
ε ε
=
=
∴ ≠ ⇒ ∃
1D 1nD
1tD
2D2tD
2nD
hΔ
1ε
2ε
1
2
SΔ
1 2 2
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
:
_ : 0
2 22 2
_ _ _ _ _
:
_ _ ._ _ _
n n it t
n n S
n n S
n n
n
n n
n
Aplicando D dS
y haciendo hh hQ D S D S D r D r
Q D S D S SD DD D
D es cont en la frontera
Usando D E
E E
E es discont en la frontera
π π
ρρ
ε
ε ε
•
Δ →Δ Δ
Δ = Δ − Δ + +
Δ = Δ − Δ = Δ
− =
=∴
=
=
∴
∫
Observaciones:
•
Las condiciones de frontera se usan para•
Determinar E de un lado de la fontera dado E en el otro lado
•
Determinar la refraccion
de E
1tE1nE
1E1θ
2θ
2tE
2E2nE
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 2 2
1 2
1 2
1 1
2 2
:cos coscos cos
_ :tan tan
tantan
_ _ _ _
t t
n n
n n
r
r
E sen E E E senE sen E senAplicando E E
E D D EE E
Dividiendo ecs
ley de refraccion de E
θ θθ θ
ε εε θ ε θε θ ε θ
θ θε εθ εθ ε
= = ==
== = ==
=
=
Condiciones Dielectrico- Conductor
E nE
tE
a b
cd
wΔ
hΔ
1ε
2ε
1
2
Cond. E = 0
( )
: :
0 0( ) 0 02 2 2 2
: 00
n t n
t
Aplicando E dl
h h h hw E E w E
haciendo hE
•
Δ Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Δ + + − Δ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Δ →=
∫
D nD
tD
hΔ
1ε
2ε
1
2
SΔ
Cond. E = 0
( ):
0: 0 _ _ _
n
n S
n S
Aplicando D dS
Q D S Sdado E en el conductor
QDS
D
ρ
ρ
•
Δ = Δ − Δ
=Δ
= =Δ
=
∫
Observaciones:
•
E=0 en el conductor•
La densidad vol =0 en el conductor
•
La differencia de potencial = 0 en e conductor
•
E es externo al conductor y normal a la superficie de este
Condiciones conductor-vacio
0t o t
n o n s
D ED E
εε ρ
= =
= =
Problemas de Electrostatica con Valor en la frontera
( )
( )
( )
2
2
:
_
: 0
0 _
v
v
v
v
D E
E VSutituyendo
V
V Ec Poisson
Cuando
V Ec Laplace
ε ρ
ε ρ
ρερ
∇• = ∇• =
= −∇
∇• −∇ =
∇ = −
=
∇ =
Operador Laplaciano
2 2 22
2 2 2
V V VVx y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
Teorema de Unicidad
•
Lasolucion de la ecuacion de Laplace para un conjunto dado de condiciones en la
frontera es unica.•
La comprobacion del teorema se realiza por contradiccion.
( )
( )
21
22
1 2
2 1
2 2 22 1
2
0
0: ( _ _ )
_ _ :0
0_ _ :
:_ _ _ :
:
d
d
d
v S
d d
d d d d d d
V
Vcon V V en la fronteraV V VAplicando el laplaciano
V V VV fronteraAplicando teo div
Adv A dS
con A V Vy usando la identidad
A V V V V V Vcomo V
∇ =
∇ ==
= −
∇ = ∇ −∇ =
=
∇• = •
= ∇
∇• = ∇• ∇ = ∇ +∇ •∇
∫ ∫
0
_ _ :
d
d d
d d d dv S
A V VAplicando teo div
V V dv V V dS
=
∇• = ∇ •∇
∇ •∇ = ∇ •∫ ∫
( )
1 2
2
1 2 1 2
1 2
: _ _ _ _
0
0
0 _ _: 0 _ _
_ _ _ _
d dv
dv
d d
d
como V y V son solucion
V V dv
V dv
V V constate en Volcomo V V V V V en cualquier parte
V y V son identicas
∇ •∇ =
∇ =
⇒∇ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
∴
∫
∫
Problemas con Valor en la Frontera:
•
Se describe a dichos problemas mediante:•
Ecuacion diferencial
•
La region de solucion•
Las condiciones en la frontera
Procedimiento
•
Para solucionar la ec. De Poisson o Laplace: integracion directa (una variable), sino usar separacion de variables.
•
Aplicar las condiciones en la frontera•
Al obtener el potencial V, calcular E y
D
•
La Q inducida en un conductor se calcula como la integral de la densidad superficial de Q
:s
s n
Q dS
donde D
ρ
ρ
=
=∫
Resistencia y Capacitancia
E dlVRI E dSσ
•= =
•∫∫
Conductores de Seccion Transversal No Uniforme
• El calculo de la resistencia es un problema con valor en la frontera. Procedimiento:
1)
Elegir sist. de coordenadas2)
Vo = dif. De potencial en las terminales del conductor.
3)
Resolver la ec. De Laplace. Se obtiene V=y E. De ahi se calcula I como el flujo de J
4)
Calcular R como Vo/I
Calculo de la Capacitancia
•
Un capacitor consta de 2 o mas conductores con Q’s iguales pero de signos contrarios.
-Q +Q+
+
+
+
+
+
- --
--
-
V
E
2
1 21
_ _ _ _ _
V V V E dl
D dS E dSQCV E dl E dl
Supresion del signo menos magnitud de V
ε
= − = − •
• •= = =
• •
→
∫
∫ ∫∫ ∫
Metodos para Obtener C
1)
Se presupone Q y se calcula V (ley de Gauss)
2)
Se presupone V y se `calcula Q (ec. De Laplace)
Primer Metodo (fijar
Q)
1)
Elegir sist. De coordenadas2)
Se asume que las placas conductoras portan +Q y –Q
3)
Determinar E (ley de Culomb
o de Gauss). Hallar el valor absoluto
de V.
4)
C = Q/V
Conductor de Placas Paralelas
E
1
2
+Q
-Q 0
dε
( )2
01
: _ dim __ _ _ _ _ _ _ :
S
Sx x
d
x x
QS
Para d las del capacitory en el caso de un cap ideal
QE u uS
Q QdV E dl u dxuS S
Q SCV d
ρ
ρε ε
ε εε
=
<<
= − = −
⎡ ⎤∴ = − • = − − • =⎢ ⎥⎣ ⎦
⇒ = =
∫ ∫
Medicion de la constante dielectrica
•
Se utiliza un capacitor de placas paralelas•
Se mide la capacitancia con un dielectrico y con el vacio.
: _ _
ro
o
CC
donde C cap con vacio
ε =
=
Energia Almacenada por un Capacitor:
22
2 2
2 2 2
2 2
22
1 12 21 1 12 2 2
:1 1 12 2 2
E
E
E
QW E dv S dxS
Q Q d QW SdS S C
oQW CV QVC
εε
ε ε
= = =
= = =
= = =
∫ ∫
Capacitor Coaxial
_ _ (sup_ _ )2
2
2
ln2
2
ln
b
a
Q E dS
ley de gauss cilindica a bQ E L
QE uL
QV E dl u d uL
Q bVL a
Q LC bVa
ρ
ρ
ρ ρ
ε
ρε π ρ
ε π ρ
ρε π ρ
π επ ε
= •
< <=
=
⎡ ⎤= − • = − •⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
= =
∫
∫ ∫
Capacitor Esferico
a
b
-
-
-
--
-+
+
++
2
2
1
22
_ :
4
:
4
4
1 14
41 1
r
r
a
r rb
ley Gauss
Q E dS E r
despejandoQE ur
QV E dl u drur
QVa b
QCV
a b
ε ε π
ε π
π ε
π επ ε
= • =
=
⎡ ⎤= − • = − •⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
= =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫ ∫
Metodo de Imagenes
•
Como hallar V, E, D y densidad sup de Q debidas a Q en presencia
de conductores
•
No utiliza
la ec. de poisson o de Laplace•
Supone que existe una superficie conductora equipotencial
•
No es aplicable a cualquier problema de electrostatica pero simplifica problemas complejos
Teoria de la Imagenes
• Una distribucion de Q sobre un plano conductor perfecto e infinito conectado a tierra puede reemplazarse con:
1)
La dist. de Q2)
La imagen de la dist. de Q
3)
Una sup equipotencial que sustituye al plano conductor
Condiciones de Aplicacion:
1)
Las Q’s y sus imagenes se situan en la region conductora.
2) Las Q’s y sus imagenes se situan de tal forma que V=0 o cte. en la superficie conductora
(cond
frontera).
Q puntual sobre un plano conductor a tierra
z
Qh
0
V=0+Q
-Q
z P(x,y,z)
2r
1r
1 23 3
1 2
1
2
3/ 22 2 2 2 2 2
4 4( , , ) (0,0, ) ( , , )( , , ) (0,0, ) ( , , )
_ _ ' _ _ :
( ) ( )4 ( ) ( )
o o
x y z x y z
o
Qr QrE E Er r
r x y z h x y z hr x y z h x y z h
Sustituyendo las r s en E
xu yu z h u xu yu z h uQEx y z h x y z h
ε π ε π
ε π π
+ −= + = +
= − = −= − − = +
+ + − + + += −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + + +⎣ ⎦ ⎣3/ 2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
⎦⎣ ⎦
1 2
1 12 2 2 2 2 22 2
0
2 2 2
4 4
1 14 ( ) ( )
_ _ _ :
32 2
o o
o
s n o n z
s
V E dl
V V VQ QV
r r
QVx y z h x y z h
la densidad de QD E
Qhx y h
ε π ε π
ε π
ρ ε
ρπ
+ −
=
= − •
= +−
= +
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
= =
−=
⎡ ⎤+ +⎣ ⎦
∫
Q inducida
en el plano:
2 2 2 32 2i s
QhdxdyQ dS Qx y h
ρπ
−= = = −
⎡ ⎤+ +⎣ ⎦∫ ∫∫
Q lineal sobre un plano conductor a tierra
1 21 2
1
2
2 2 2 2
4 4( , , ) (0, , ) ( ,0, )( , , ) (0, , ) ( ,0, )
_ _ ' _ _ :
( ) ( )2 ( ) ( )
L L
o o
x z x zL
o
E E E u u
x y z y h x z hx y z y h x z h
Sustituyendo las r s en E
xu z h u xu z h uEx z h x z h
ρ ρρ ρ
π ε ρ π ε ρρρ
ρε π
+ −−
= + = +
= − = −= − − = +
⎡ ⎤+ − + +⎢ ⎥= −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
1 2
1
21/ 22 2
1/ 22 2
0
2 2
ln ln2 2
ln2
( )ln
2 ( )
_ _ _ :
L L
o o
L
o
L
o
s n o z z
Ls
V E dl
V V V
V
V
x z hV
x z h
la densidad de QD E
hx h
ρ ρρ ρε π ε πρ ρε π ρ
ρε π
ρ ε
ρρπ
+ −
=
= − •
= +−
= −
=
⎡ ⎤+ −⎣ ⎦= −⎡ ⎤+ +⎣ ⎦
= =
−=
⎡ ⎤+⎣ ⎦
∫
Q inducida
x longitud
en el plano conductor:
2 2L
i s Lh dxdx
x hρρ ρ ρπ
= = − = −+∫ ∫