Curso de

Electromagnetismo

I

Universidad Autonoma MetropolitanaDr. Jose Eduardo Torres

Clase

# 1: Electrostatica

•

Ley de Coulomb

•

Intensidad de Campo Electrico

•

E para

distribuciones

de carga lineal.

E→⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Lecturas

•

Seccion 4.3 (texto), paginas: 111-119

•

Ejercicios: 4.1 pag. 107, 4.2 pag. 109 y 4.4 pag 119.

Ley de Coulomb:

1 22

kQ QFR

=

• Q = carga

•

R = distancia

•

k = constante de proporcionalidad

Forma vectorial

O

Q1Q2

F12

F21

1r→

2r→

Varias Cargas Puntuales

••

•

•

•

Q1 Q2

Q3Q4

Q5

X

Intensidad de Campo Electrico

•

Conceptos e ideas:

0limQFEQ→=

Ejercicio 4.3

•

Diagrama para x > abs(y)

Tips

•

Segunda de Newton F = ma•

Ecs. Mov. Uniformemente Acelerado:

2

( )1( )2

o

o o

v t at v

x t at v t x

= +

= + +

Clase

# 2

•

Objetivo: campos electricos para dist. carga lineal superficial y volumetrica.

•

Solucion al ejercicio 4.3

Estudio y lecturas asignadas

•

Seccion 4.4, 4.5 y 4.6 del libro de texto•

Ejercicio 4.7 y 4.9

•

Graficar en MATLAB el campo E para la dist. De carga lineal finita e infinita

E para Dist. De Carga

•

Dist. de carga lineal, superficial y vol.•

Ley de Coulomb es para cargas puntuales

•

Carga puntual = diferencial de carga (dQ)•

Aplicando las ideas del calculo integral se suman las contribuciones dQ para obtener E

Definiciones Previas

•

Densidad de carga lineal:

Qρ =

Densidad de Carga

Superficial

•

Se define como:

ss

QA

ρ =

Densidad de Carga Volumetrica

•

Se define como:

vQV

ρ =

E para dist de carga lineales

y

x

z

(0,0,z) T

A

B

dl

ρ

R

(x,y,z)2α1αα

zdE

dEρ

dE α

Ecuaciones:

•

Resolver la integral:

2

14

lR

o

dlE uR

ρπ ε

= ∫

Resolviendo la integral:

•

De la figura anterior tenemos:

2 2

( , , ) ( 0 , 0 , ) ( , , )

( )

( )z

r

d l d z

R x y z z x y z z

R u z z u

R z z

RuR

ρρ

ρ

′=

′ ′= − = −

′= + −

′= + −

=

Tambien observamos:

•

De la fig. anterior:

2

2

c o s

secc o s

ta n

se c

sec

R

R

z O T R se n O T

d zdd z d

ρ α

ρ ρ αα

α ρ α

ρ αα

ρ α α

=

= =

′ = − = −

′= −

′ = −

Substituyendo en la integral:

•

Tenemos:

( )( )

22 2

cos1 sec4 sec

zl

o

u sen uE dρα αρ ρ α α

π ε ρ α

+=− ∫

Para unaarga lineal finita:

•

La carga esta dist en z de A a B:

( ) ( )2 1 2 11 cos cos

4l

zo

E sen sen u uρρ α α α απ ε ρ

⎡ ⎤= − − + −⎣ ⎦

Finalmente

para

carga linealmente

infinita:

•

El campo electrico esta dado por:

12

l

o

E u ρρπ ε ρ

=

Recordatorio:

•

Graficar E para la dist. De carga lineal finita e infinita.

E caso infinito

Carga superficial

h R

φ

P(0,0,h)

sρ

1

2

Logica

•

De las

ideas del calculo integral:

2

14 R

o

S

dQdE uR

E dE

π ε=

= ∫

Relaciones utiles:

•

De la figura anterior:

2 2

z

R

s s

R u hu

R h

RuR

dQ dS d d

ρρ

ρ

ρ ρ ρ φ ρ

= − +

= +

=

= =

Por lo tanto:

•

La diferencial dE esta dada por:

( )( ) ( )3/ 22 2

14

S z

o

d d u hudE

h

ρρ ρ φ ρ ρ

π ε ρ

⎡ ⎤− +⎣ ⎦=+

Para una lamina infinita:

•

Tenemos:

2S

zo

E dE uρε

= =∫

Observaciones:

•

E es una constante•

E tiene la misma direccion y sentido que el vector unitario en z.

•

E no depende de la distancia h al plano xy

Actividad:

•

Dibuje el campo E para el caso anterior:

Carga Volumetricaz

vρ

y

x

R

φ

θr′

zdEdEα

Aplicamos la misma logica:

•

La diferencial de E esta dada por:

2

14

vR

o

dE dvuR

E dE

ρπ ε

=

= ∫

De la figura anterior:

•

El vector unitario en R se escribe como:

cosR zu u sen uρα α= +

Por la simetria de la figura:

•

Tenemos que las contribuciones del campo electrico E en las direcciones x y y, se anulan.

•

Por lo tanto:

2

1 cos4

vz z

o

dvE E dER

ρ απ ε

= = =∫ ∫

De la figura se deducen:

•

La diferencia de volumen es:

2dv r sen dr d dθ θ φ′ ′ ′ ′ ′=

Relaciones utiles

•

Ley del coseno:

2 2 2 2 cosc a b ab γ= + −

c

abγ

Aplicando la

ley coseno

•

Tenemos:

2 2 2

2 2 2

2 cos2 cos

R z r zrr z R zR

θ

α

′ ′ ′= + −

′ = + −

La inegral de E se expresa:

•

Usando R y r’:

2 2 2

2 2 2

cos2

cos2

z R rzR

z r Rzr

α

θ

′+ −=

′+ −′ =′

Derivando la ultima ecuacion:

•

Respecto de teta prima:

RdRsen dzr

θ θ′ ′ =′

Substituyendo en la integral:

Se obtiene:

2

14 z

o

QE uzπ ε

=

Clase #3

•

Objetivos: E debido a carga volumetrica, densidad de campo electrico y ley de Gauss

•

Estudiar sec. 4.4 y 4.5 del libro de texto.

Densidad de Flujo Electrico

•

Definicion:

oD Eε=• D es indepediente

del medio de propagacion

Flujo Electrico:

•

Definimos flujo electrico como:

D dSΨ = •∫

Ley de Gauss

•

El flujo electrico atraves

de una superficie cerrada = a la carga encerrada x dicha superficie:

vS

d D dS Q dvρΨ = Ψ = • = =∫ ∫ ∫

Usando el teorema de la Div.

•

Tenemos:

vS

D dS Ddv• = ∇•∫ ∫

Ley de Maxwell

•

Comparando con la ec. de la laminilla de la ley de Gauss, tenemos

la primera ec. De

Maxwell:

v Dρ = ∇•

Observaciones:

•

La ley de Gauss y la ec. de Maxwell son basicamente lo mismo (integral y puntual)

•

Ley de Gauss es una formoluacion alterna de la ley de Coulomb.

•

Al aplicar el teorema de la div a la ley de Coulomb resulta en la ley de Gauss.

•

La ley de Gauss aparta un medio simple para hallar E para distintas dist. de Q

Aplicaciones de la ley de Gauss

•

Carga puntual:

Q

rP

y

D

x

z

Aplicando la ley de Gauss

•

Observamos que:

r rD D u=

Entonces tenemos:

•

Que

D esta dada por:

2

2

4

:r r r rQ D dS D u dS D dS D r

donde dS r sen d d

π

θ θ φ

= • = • = =

=

∫ ∫ ∫

D para carga puntual:

•

Despejando D de la ultima ec.:

24 rQD u

rπ=

Carga Lineal Infinita

x

z

y

DP

l

lρ

Aplicando la ley de Gauss_ _ :

:

2

:2

:

2

l

l

En este caso D D u

Entonces

l Q D dS D dS D l

dondedS lDespejando

D u

ρ ρ

ρ ρ

ρ

ρ π

π ρ

ρπ ρ

=

= = • = =

=

=

∫ ∫

Lamina Infinita

de Carga

Sρ

x

y

z

D

D

P

Aplicando la Ley de Gauss

sup i::nf

::

:( )

:

2

:2

z z

S S

S z

Sz

Sz

o

Observamos D D uEntonces

dS Q D dS D dS dS

AhoraA D A A

Despejando

D u

Equivalentemente E u

ρ

ρ

ρ

ρε

=

⎡ ⎤= = • = +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

= +

=

=

∫ ∫ ∫ ∫

Clase #4

•

Objetivos: aplicacion de la ley de Gauss para esfera copn carga uniforme, potencial electrico (V) y, relacion entre V y E.

•

Estudio: Leer secciones 4.7 y 4.8•

Ejercicios: 4.8 pag. 131, 4.9 pag 132 y 4.10 pag. 136

Esfera con Carga Uniforme

r

α

(b)

r

α(a)

Caso (a)2 2

0 0 0

3

2 2

0 0

2

32

)0

43

,

4_ : :

443 3

r

enc v v v r

enc v

r r

r

enc

r v v r

a r

Q dv dv r sen drd d

Q r

y

D dS D dS D r sen d d

D rDado que Q

r rD r D u

π π

φ θ

π π

φ θ

α

ρ ρ ρ θ θ φ

ρ π

θ θ φ

π

ππ ρ ρ

= = =

= =

≤ ≤

= = =

=

Ψ = • = =

Ψ =Ψ =

= ⇒ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Caso b) r¥α2 2

0 0 0

3

2

2 3

43

,

4

443

enc v v v r

enc v

r

r v

Q dv dv r sen drd d

Q

y

D dS D r

Q D r

π π α

φ θρ ρ ρ θ θ φ

ρ π α

π

π α ρ π

= = == = =

=

Ψ = • =

Ψ = ⇒ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

Potencial Electrico

O

A

B

dl

rAr

Br

E

Trabajo:

:

B

A

Coulomb F QE

dW F dl QE dl

W dW Q E dl

=

= − • = − •

= = − •∫ ∫

Energia Potencia / Carga:/ :

_ _ :

B

A

B

AB A

W Q

W Q E dl

Dif de potencialWV E dlQ

= − •

= = − •

∫

∫

Observaciones:

•

A es el pto inicial y B el pto final•

Si Vab < 0 hay perdida de Energia potencial

•

Si Vab > 0 hay ganacia de Energia potencial•

Vab es indep. De la trayectoria

•

Vab [Joules/Coulomb] = [Volt]

Potencial Electrico (carga puntual)

2

2

4_ _ _ :

4

1 14

B

A

ro

r

AB r rro

ABo B A

AB B A

QE ur

V esta dado porQV u dru

r

QVr r

V V V

ε π

ε π

ε π

=

= − •

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦= −

∫

Tomando la ref en ¶

1

4:

( )4_ _ :

1( )4

o

o

nk

ko k

QVr

vectorialmenteQV rr r

Varias Qs puntualesQV r

r r

ε π

ε π

ε π =

=

=′−

=−∑

V para dist. de carga:_ :

( )1( )4

_ sup :( )1( )

4_ :

( )1( )4

l

o l

S

o S

v

o v

Q linealr dlV r

r rQ

r dSV rr r

Q volr dvV r

r r

ρε π

ρε π

ρε π

′ ′=

′−

′ ′=

′−

′ ′=

′−

∫

∫

∫

Relacion entre E y V

A

B

E

Potencial en un “loop”

0BA BAV V E dl+ = • =∫

Aplicando Stokes:

( ) 0

:

0

E dl E dS

Equivalentemente

E

• = ∇× • =

∇× =

∫ ∫

(Ec. Maxwell)

Relacion entre E y V:

:

:

,

,

x y z

x

y

z

V E dl

dV E dl E dx E dy E dz

V V Vtambien dV dx dy dzx y z

comparandoVExVEyVEz

E V

= − •

∴⇒ = − • = − − −

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

∂= −

∂∂

= −∂∂

= −∂

∴ = −∇

∫

Dipolo Electrico (DE)

•

Formado x 2 Q’s de igual magnitud y signo contrario separadas por una dist. reducida.

+Q

-Q

d

P

1r2rr

θ

x

y

z

cosd θ

2 1

1 2 1 2

22 1 1 2

2

2

1 14 4

: cos , :cos

4

:

:

4

o o

o

z

r

o

r rQ QVr r r r

Si r d r r d y r r rQ dV

r

Definamos p Qd

donde d dup uV

r

ε π ε π

θθ

ε π

ε π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇒ − ⇒

=

=

=•

⇒ =

Si el centro del dipolo no pasa por el origen:

( )3( )

4: _ _ _

o

p r rV r

r rdonde r vect pos orig dipolo

ε π

′• −=

′−

′ =

Campo Electrico del dipolo

•

Se aplica la Ec.:

( )3

1

2cos4

:

r

ro

V VE V u udr r

pE u sen ur

donde p p

θ

θ

θ

θ θε π

∂ ∂⎡ ⎤= −∇ = − +⎢ ⎥∂⎣ ⎦

= +

=

Lineas de Flujo Electrico (LFE)

•

LFE: linea imaginaria cuya direccion en cualquier punto es igual a la direccion de E

•

LFEs son perpendiculares a las superficies equipotenciales.

•

Sup. Equipotencial:

0V∇ =

0V∇ =

Linea de flujo

Superficie equipotencial

Densidad de Energia en Campos Electrostaticos

1Q

2Q

3Q

1P

2P

3P∞

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

1 2 3

2 21 3 31 32

3 2 1

2 23 1 12 13

1 12 13 2 21 23 3 31 32

1 1 2 2 3 3

0_ :

0:

212

E

E

E

E

E

E

W W W WW Q V Q V Vpero tambienW W W WW Q V Q V VSumandoW Q V V Q V V Q V V

W QV Q V Q V

= + +

= + + +

= + +

= + + +

= + + + + +

= + +

Generalizando a n cargas:

1

12

n

E k kk

W Q V=

= ∑

Para cargas no puntuales:

( )

121212:12

E l

E S

E v

v

E

W Vdl

W VdS

W Vdv

como D

W D Vdv

ρ

ρ

ρ

ρ

=

=

=

= ∇•

= ∇•

∫

∫

∫

∫

Utilizando la identidad:( )

( ) ( )

( ) ( )

:1 12 2

_ _ :1 12 2

Ev

ES v

A V VA A V

tenemos

W VD dv D V dv

Aplicando teo div

W VD dS D V dv

∇• = ∇• − •∇

= ∇• − •∇

= • − •∇

∫ ∫

∫ ∫

La primera

integral tiende a cero al crecer la superficie

( ) ( )

2

1 12 2

:

: :12

Ev v

o

E o

W D V dv D E dv

como E V

Tambien D E

W E dv

ε

ε

= − •∇ = •

= −∇

=

=

∫ ∫

∫

Densidad de Energia Electrostatica:

221 1

2 2 2E

E oo

E E

dW Dw D E Edv

W w dv

εε

= = • = =

= ∫

Campos Electricos en Materiales

•

Objetivo: Corrientes de conveccion y de conduccion y conductores.

•

Lecturas y problemas asignados: seccion 5.3 y 5.4, ejercicios: 5.1 pag. 168, 5.2 pag. 169, 5.3 pag. 170 y 5.4 pag. 170

Corriente

•

Corriente

es

la Q por unidad de tiempo: I=dQ/dt

•

Densidade de corriente (J):

n

S

IJS

I J S

I J dS

Δ=Δ

Δ = •Δ

= •∫

Tipos de Densidad de Corriente:

•

J de conveccion, conduccion y de desplazamiento.

•

Notemos que I es el flujo de J atraves de S•

I de conveccion: no implica conductores y, no obedece la ley de Ohm.

•

I de conveccion: I en aisladores

lΔ

u

SΔvρ

v v yQ lI S Sut t

ρ ρΔ ΔΔ = = Δ = Δ

Δ Δ

La J en un punto es la I a traves de un area unitaria normal

•

En general:

vJ uρ=

Corriente de Conduccion

•

Requiere de un conductor: e libres

2

: int _ _, _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ :

v v

F eEmu eE

donde ervalo prom colisionesy u vel de deriva

eu Em

Si hay n electrones por unidad de volnene J u E E

mJ E

ττ

τ

τρ ρ σ

σ

= −

= −

==

= −

= − ⇒ = = =

=

Conductores:

--

----

+

+

+

++++++

eE

eE

eE

iE

iE

eE

eE

eE

0

0v

E

ρ =

=

-

-

-

0 , 0 , 0v a bE Vρ= = =

-

-

+-

Vl

I

E

0E ≠ xque E es diferente de 0 en el conductor???

x

y

0

l l

y y yo

V E dy E dy E l

VV El El

= − − = =

⇒ = ⇒ =

∫ ∫

: sec _

:

_ _ : 1/

c

c

IJS

donde S cion transversal

pero J EI VES l

V lRI S

lRS

donde la resistividad

σσσ

σρ

ρ σ

=

=

=

= =

⇒

= =

⇒ =

=

En el caso general:

_ _ _ _ lim _ :

_ :

0 _ _ 0

E dl E dlVRI J dS E dS

El signo negativo fue e inado de

V E dl

debido a

E dl para I

σ

• •= = =

• •

= − •

• < >

∫ ∫∫ ∫

∫

∫

Ley de Joule

•

La potencia P [W] es la rapidez de cambio de la energia [J] o fuerza por velocidad:

2

2

_ _ _ :

_ _ _ sec _ _ :

v v

P

L S

dvE u E udv

P E Jdv

La densidad de potenciadPw E J Edv

Para conductores de cion transversal uniformedv dSdl

P Edl JdS VI

P I R

ρ ρ

σ

• = •

= •

= = • =

=

= =

=

∫ ∫∫

∫ ∫

Polarizacion en Dielectricos

•

Al aplicar E a un dielectrico: la Q+ se desplaza en la direccion de

E

•

La Q-

se deplaza en la direccion de –E•

Se forma un diplo electrico

•

El dielectrico sigue siendo neutral pues la Q+ = Q-

++

++++

--

-

-

--

--

-

--

-

E

E

1 1 2 21

1

0

: _: _ _ _ _ _ :

...

_ _ :

lim

N

N N k kk

N

k kk

v

p Qd

donde d vect distPara N dipolos en un vol

Q d Q d Q d Q d

La polarizcion P

Q dP

v

=

=

Δ →

=

=Δ

+ + + =

=Δ

∑

∑

Observaciones

•

Un campo E crea dipolos en un dielectrico•

Los dipolos estan alineados en la direccion de E

•

Este tipo de dielectricos es no polar•

Los dipolos cesan de existir si

se remueve E

•

Otros materiales si poseen dipolos: orientados aleatoriamente en ausencia de E

Mas observaciones

•

Los materiales con dipolos permanentes se conocen como polares

•

Al aplicar E a un material polar se genera un torque que alinea los dipolos en la direccion de E

O(x,y,z)

RRu

dv′

( , , )x y z′ ′ ′

x

y

z

2

2

2 2 2 2

_ 4.80 :

4:

4:

( ) ( ) ( )

r

o

R

o

Dep uV

rtenemos

P u dvdVR

dondeR x x y y z z

ε π

ε π

•=

′•=

′ ′ ′= − + − + −

2

2

2

1 1 1 1

1

:

_ _ :

1: _ _

x y z

R

R

R

u u uR x R y R z R

RuR

asi

P u PR

Aplicando la identidad

fA f A A f

A f fA f A

con A P y f RP u P

R R

′ ′ ′⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞′∇ ∇⎜ ⎟⎝ ⎠

′∇ =

• ′= •∇

′ ′∇ • = ∇ • + •∇

′ ′•∇ = ∇ • − ∇ •

= =

′• ∇ •′= ∇ • −P

R

( )2

_ _ :

/

4:

14

_ _ _ _ :

4 4Re _ _ int_ _ :

o

ov

n

o oS v

s n

Susttituyendo en dV

P P RRdV dvR

Integrando

P PV dvR R

Aplicando teo de la divergencia

P u PV dS dvR R

cordando las de voltaje

P uρ

ε π

ε π

ε π ε π

ρ

′

′ ′

′ ′∇ • − ∇ •′=

⎡ ⎤′∇ •′ ′= ∇ • −⎢ ⎥⎣ ⎦

′ ′• −∇ •′ ′= +

′= •

∫

∫ ∫

v Pρρ = −∇•

[ ]_ _ sup :

_ _ _ :

_ :

0

b s

b vv S

total s v b bS v

Q latente

Q P dS dS

Q dentro de S

Q dv Pdv

Q total

Q dS dv Q Q

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

ρ

ρ ρ

+

= • =

− = = − ∇•

= + = − =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Si hay Q libre en el dielectrico:

( )

_ _ _ :

: _ _ _

:

:

:

t v v o o v

v

v

v o

v o

v

o

Densidad de Q total

E Edonde densidad de Q libre

pero P

E Pfactorizando

E P

Ddonde

D E P

ρ ρ

ρ

ρ ρ ρ ε ε ρ

ρ

ρ

ρ ε

ρ ε

ρ

ε

= + = ∇• = ∇• −

=

= −∇•

= ∇• −∇•

= ∇• +

= ∇•

= +

( )

_( _ cos_ _ ): _

1 _( _ _ )

_( _ _ ):

:

1

: _ _(

e o

e

o e o o e o r

o r

r eo

r

P E materiales isotropi y linealesdonde susceptibilidad electrica

D E E E E mat iso lin

D E mat iso lindondey

donde cte dielectrica permit

χ εχ

ε χ ε ε χ ε ε

εε ε ε

εε χε

ε

==

= + = + =

==

= + =

= _ )ividad rel

Observaciones:

•

La permitividad relativa es adimensional

•

La susceptibilidad electrica es adimensional

•

La resistencia dielectrica es la E max que un dielectrico puede soportar sin disrupcion (se conv. Enconductor)

Dielectricos lineales, isotropicos y homogeneos

•

Lineal si D varia linealmente con E•

Homogeneo si ε

no depende de (x,y,z)

•

Isotropico si E y D tienen la misma direccion

_ cos :

x xx xy xz x

y yx yy yz y

zx zy zz z

Materiales ansisotropi

D ED EDz E

ε ε εε ε εε ε ε

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Ec. de continuidad y tiempo de relajacion

_ _ :

: _ _ __ _ :

:

( ._ _ )

entfue

ent

v

ent vv

v v

v

v v

v

reduccion de QdQI J dSdt

donde Q Q dentro de SAplicando teo div

J dS Jdv

perodQ d dv dvdt dt t

Jdv dvt

J ec cont It

ρρ

ρ

ρ

−= • =

=

• = ∇•

− ∂= − = −

∂

∂∴⇒ ∇• = −

∂

∂⇒∇• = −

∂

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Observaciones:

•

La ecuacion de continuidad de corriente:•

Desarollada: de la conservacion de Q

•

Si la carga es estacionaria, la div de J = 0•

La Q que entra a un volumen es igual a la Q que sale de el.

•

Lo mismo que la ley de I’s de Kirchhoff

Re :

:

_ :

0( ._ )

v

v v

v v

v v

cordemos J E

ademas E

J Et

o bien

t

Ec dift

σρερ ρ σσ

ε

ρ ρ σε

ρ ρ σε

=

∇• =

∂∇• = ∇• = − =

∂

∂− =∂

∂+ =

∂

/

_ _ var :

int :

ln ln

: ln _ _ int

: /

r

v

v

v vo

vot T

v vo

r

Met sep

t

t

donde cte de

edonde T

ρ σρ ε

σρ ρερ

ρ ρε σ

−

∂= − ∂

= − +

=

==

En materiales conductores y/o dielectricos:

Observaciones:

•

La intro de Q al interior de un material provoca un decremento en la densidad de Q vol.

•

Tiempo de relajacion: tiempo que tarda una Q colocada en el interior de un material para descender un 36.8% (1/e) de su valor inicial.

Mas observaciones:

•

El tiempo

de relajacion es corto para conductores

•

La t de relajacion es larga para dielectricos

Condiciones en la Frontera

•

Dielectrico y dielectrico•

Conductor y dielectrico

•

Conductor y vacio

0

enc

t n

E dl

D dS Q

E E E

• =

• =

= +

∫∫

Frontera dielectrico-dielectrico

1E 1nE

1tE

2E2tE

2nE

a b

cd

wΔ

hΔ

1ε

2ε

1

2

1 1

2 2

1 1

2 2 2

1 1 2 2 2 1

1 2

_ :

02 2 2 2

: 0 :

o r

o r

it n

t n

t n n t n n

t t

E E E

E E E

Se aplica E dl

h h h hE w E E E w E E

Cuando h

E E

ε ε εε ε ε==

= +

= +

•

Δ Δ Δ Δ= Δ − − − Δ + +

Δ →

=

∫

La comp. tangencial de E es cont. de un lado a oto de la frontera

1 2

1 2

1 2

:

_ ._ _ _

t t

t t

Usando D E

D D

D D discont en la frontera

ε

ε ε

=

=

∴ ≠ ⇒ ∃

1D 1nD

1tD

2D2tD

2nD

hΔ

1ε

2ε

1

2

SΔ

1 2 2

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

:

_ : 0

2 22 2

_ _ _ _ _

:

_ _ ._ _ _

n n it t

n n S

n n S

n n

n

n n

n

Aplicando D dS

y haciendo hh hQ D S D S D r D r

Q D S D S SD DD D

D es cont en la frontera

Usando D E

E E

E es discont en la frontera

π π

ρρ

ε

ε ε

•

Δ →Δ Δ

Δ = Δ − Δ + +

Δ = Δ − Δ = Δ

− =

=∴

=

=

∴

∫

Observaciones:

•

Las condiciones de frontera se usan para•

Determinar E de un lado de la fontera dado E en el otro lado

•

Determinar la refraccion

de E

1tE1nE

1E1θ

2θ

2tE

2E2nE

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 2 2

1 2

1 2

1 1

2 2

:cos coscos cos

_ :tan tan

tantan

_ _ _ _

t t

n n

n n

r

r

E sen E E E senE sen E senAplicando E E

E D D EE E

Dividiendo ecs

ley de refraccion de E

θ θθ θ

ε εε θ ε θε θ ε θ

θ θε εθ εθ ε

= = ==

== = ==

=

=

Condiciones Dielectrico- Conductor

E nE

tE

a b

cd

wΔ

hΔ

1ε

2ε

1

2

Cond. E = 0

( )

: :

0 0( ) 0 02 2 2 2

: 00

n t n

t

Aplicando E dl

h h h hw E E w E

haciendo hE

•

Δ Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Δ + + − Δ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Δ →=

∫

D nD

tD

hΔ

1ε

2ε

1

2

SΔ

Cond. E = 0

( ):

0: 0 _ _ _

n

n S

n S

Aplicando D dS

Q D S Sdado E en el conductor

QDS

D

ρ

ρ

•

Δ = Δ − Δ

=Δ

= =Δ

=

∫

Observaciones:

•

E=0 en el conductor•

La densidad vol =0 en el conductor

•

La differencia de potencial = 0 en e conductor

•

E es externo al conductor y normal a la superficie de este

Condiciones conductor-vacio

0t o t

n o n s

D ED E

εε ρ

= =

= =

Problemas de Electrostatica con Valor en la frontera

( )

( )

( )

2

2

:

_

: 0

0 _

v

v

v

v

D E

E VSutituyendo

V

V Ec Poisson

Cuando

V Ec Laplace

ε ρ

ε ρ

ρερ

∇• = ∇• =

= −∇

∇• −∇ =

∇ = −

=

∇ =

Operador Laplaciano

2 2 22

2 2 2

V V VVx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

Teorema de Unicidad

•

Lasolucion de la ecuacion de Laplace para un conjunto dado de condiciones en la

frontera es unica.•

La comprobacion del teorema se realiza por contradiccion.

( )

( )

21

22

1 2

2 1

2 2 22 1

2

0

0: ( _ _ )

_ _ :0

0_ _ :

:_ _ _ :

:

d

d

d

v S

d d

d d d d d d

V

Vcon V V en la fronteraV V VAplicando el laplaciano

V V VV fronteraAplicando teo div

Adv A dS

con A V Vy usando la identidad

A V V V V V Vcomo V

∇ =

∇ ==

= −

∇ = ∇ −∇ =

=

∇• = •

= ∇

∇• = ∇• ∇ = ∇ +∇ •∇

∫ ∫

0

_ _ :

d

d d

d d d dv S

A V VAplicando teo div

V V dv V V dS

=

∇• = ∇ •∇

∇ •∇ = ∇ •∫ ∫

( )

1 2

2

1 2 1 2

1 2

: _ _ _ _

0

0

0 _ _: 0 _ _

_ _ _ _

d dv

dv

d d

d

como V y V son solucion

V V dv

V dv

V V constate en Volcomo V V V V V en cualquier parte

V y V son identicas

∇ •∇ =

∇ =

⇒∇ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

∴

∫

∫

Problemas con Valor en la Frontera:

•

Se describe a dichos problemas mediante:•

Ecuacion diferencial

•

La region de solucion•

Las condiciones en la frontera

Procedimiento

•

Para solucionar la ec. De Poisson o Laplace: integracion directa (una variable), sino usar separacion de variables.

•

Aplicar las condiciones en la frontera•

Al obtener el potencial V, calcular E y

D

•

La Q inducida en un conductor se calcula como la integral de la densidad superficial de Q

:s

s n

Q dS

donde D

ρ

ρ

=

=∫

Resistencia y Capacitancia

E dlVRI E dSσ

•= =

•∫∫

Conductores de Seccion Transversal No Uniforme

• El calculo de la resistencia es un problema con valor en la frontera. Procedimiento:

1)

Elegir sist. de coordenadas2)

Vo = dif. De potencial en las terminales del conductor.

3)

Resolver la ec. De Laplace. Se obtiene V=y E. De ahi se calcula I como el flujo de J

4)

Calcular R como Vo/I

Calculo de la Capacitancia

•

Un capacitor consta de 2 o mas conductores con Q’s iguales pero de signos contrarios.

-Q +Q+

+

+

+

+

+

- --

--

-

V

E

2

1 21

_ _ _ _ _

V V V E dl

D dS E dSQCV E dl E dl

Supresion del signo menos magnitud de V

ε

= − = − •

• •= = =

• •

→

∫

∫ ∫∫ ∫

Metodos para Obtener C

1)

Se presupone Q y se calcula V (ley de Gauss)

2)

Se presupone V y se `calcula Q (ec. De Laplace)

Primer Metodo (fijar

Q)

1)

Elegir sist. De coordenadas2)

Se asume que las placas conductoras portan +Q y –Q

3)

Determinar E (ley de Culomb

o de Gauss). Hallar el valor absoluto

de V.

4)

C = Q/V

Conductor de Placas Paralelas

E

1

2

+Q

-Q 0

dε

( )2

01

: _ dim __ _ _ _ _ _ _ :

S

Sx x

d

x x

QS

Para d las del capacitory en el caso de un cap ideal

QE u uS

Q QdV E dl u dxuS S

Q SCV d

ρ

ρε ε

ε εε

=

<<

= − = −

⎡ ⎤∴ = − • = − − • =⎢ ⎥⎣ ⎦

⇒ = =

∫ ∫

Medicion de la constante dielectrica

•

Se utiliza un capacitor de placas paralelas•

Se mide la capacitancia con un dielectrico y con el vacio.

: _ _

ro

o

CC

donde C cap con vacio

ε =

=

Energia Almacenada por un Capacitor:

22

2 2

2 2 2

2 2

22

1 12 21 1 12 2 2

:1 1 12 2 2

E

E

E

QW E dv S dxS

Q Q d QW SdS S C

oQW CV QVC

εε

ε ε

= = =

= = =

= = =

∫ ∫

Capacitor Coaxial

_ _ (sup_ _ )2

2

2

ln2

2

ln

b

a

Q E dS

ley de gauss cilindica a bQ E L

QE uL

QV E dl u d uL

Q bVL a

Q LC bVa

ρ

ρ

ρ ρ

ε

ρε π ρ

ε π ρ

ρε π ρ

π επ ε

= •

< <=

=

⎡ ⎤= − • = − •⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

= =

∫

∫ ∫

Capacitor Esferico

a

b

-

-

-

--

-+

+

++

2

2

1

22

_ :

4

:

4

4

1 14

41 1

r

r

a

r rb

ley Gauss

Q E dS E r

despejandoQE ur

QV E dl u drur

QVa b

QCV

a b

ε ε π

ε π

π ε

π επ ε

= • =

=

⎡ ⎤= − • = − •⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

= =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫ ∫

Metodo de Imagenes

•

Como hallar V, E, D y densidad sup de Q debidas a Q en presencia

de conductores

•

No utiliza

la ec. de poisson o de Laplace•

Supone que existe una superficie conductora equipotencial

•

No es aplicable a cualquier problema de electrostatica pero simplifica problemas complejos

Teoria de la Imagenes

• Una distribucion de Q sobre un plano conductor perfecto e infinito conectado a tierra puede reemplazarse con:

1)

La dist. de Q2)

La imagen de la dist. de Q

3)

Una sup equipotencial que sustituye al plano conductor

Condiciones de Aplicacion:

1)

Las Q’s y sus imagenes se situan en la region conductora.

2) Las Q’s y sus imagenes se situan de tal forma que V=0 o cte. en la superficie conductora

(cond

frontera).

Q puntual sobre un plano conductor a tierra

z

Qh

0

V=0+Q

-Q

z P(x,y,z)

2r

1r

1 23 3

1 2

1

2

3/ 22 2 2 2 2 2

4 4( , , ) (0,0, ) ( , , )( , , ) (0,0, ) ( , , )

_ _ ' _ _ :

( ) ( )4 ( ) ( )

o o

x y z x y z

o

Qr QrE E Er r

r x y z h x y z hr x y z h x y z h

Sustituyendo las r s en E

xu yu z h u xu yu z h uQEx y z h x y z h

ε π ε π

ε π π

+ −= + = +

= − = −= − − = +

+ + − + + += −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + + +⎣ ⎦ ⎣3/ 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦⎣ ⎦

1 2

1 12 2 2 2 2 22 2

0

2 2 2

4 4

1 14 ( ) ( )

_ _ _ :

32 2

o o

o

s n o n z

s

V E dl

V V VQ QV

r r

QVx y z h x y z h

la densidad de QD E

Qhx y h

ε π ε π

ε π

ρ ε

ρπ

+ −

=

= − •

= +−

= +

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

= =

−=

⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

∫

Q inducida

en el plano:

2 2 2 32 2i s

QhdxdyQ dS Qx y h

ρπ

−= = = −

⎡ ⎤+ +⎣ ⎦∫ ∫∫

Q lineal sobre un plano conductor a tierra

1 21 2

1

2

2 2 2 2

4 4( , , ) (0, , ) ( ,0, )( , , ) (0, , ) ( ,0, )

_ _ ' _ _ :

( ) ( )2 ( ) ( )

L L

o o

x z x zL

o

E E E u u

x y z y h x z hx y z y h x z h

Sustituyendo las r s en E

xu z h u xu z h uEx z h x z h

ρ ρρ ρ

π ε ρ π ε ρρρ

ρε π

+ −−

= + = +

= − = −= − − = +

⎡ ⎤+ − + +⎢ ⎥= −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

1 2

1

21/ 22 2

1/ 22 2

0

2 2

ln ln2 2

ln2

( )ln

2 ( )

_ _ _ :

L L

o o

L

o

L

o

s n o z z

Ls

V E dl

V V V

V

V

x z hV

x z h

la densidad de QD E

hx h

ρ ρρ ρε π ε πρ ρε π ρ

ρε π

ρ ε

ρρπ

+ −

=

= − •

= +−

= −

=

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦= −⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

= =

−=

⎡ ⎤+⎣ ⎦

∫

Q inducida

x longitud

en el plano conductor:

2 2L

i s Lh dxdx

x hρρ ρ ρπ

= = − = −+∫ ∫