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Unidad 1
Mtra. Ortega cruz María Luisa Edith Plantel: CONALEP – Chipilo Periodo escolar: Febrero - Julio 2015 Módulo: Tratamiento de Datos y Azar
Elaborado: 16 de febrero 2015
Propósito
Interpreta resultados de datos calculados mediante la distribución de frecuencias determinando las medidas de tendencia central y de dispersión para resolver problemas de la vida cotidiana
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Resultado de aprendizaje 1.2
Calcula las medidas de tendencia central y de dispersión de un conjunto de datos mediante fórmulas estadísticas
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Justificación
1. El presente material es una aplicación del manejo de formulas mediante una tabla de frecuencias vistos con anterioridad
2. Esta dirigido a jóvenes y adultos que requieran ver la aplicación de las formulas para medidas de tendencia central y dispersión para datos agrupados (es decir ordenados en pequeños paquetes)
3. Mediante un ejercicio relacionado con la vida cotidiana, se mostrara como aplicar las mediadas de tendencia central y de dispersión para alcanzar el resultado de aprendizaje esperado
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
EJERCICIO
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
En un grupo de 250 estudiantes, el director de la escuela requiere saber cuales son las medidas de tendencia central y de dispersión para mostrar la estadística al supervisor de la zona y así solicitar mayor apoyo para el mejoramiento de la misma.
Media aritmética Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es
𝑥 = 𝑀𝑐𝑓𝑎𝑛𝑖−1
𝑛
Simbología: Mc = marca de clase fa = frecuencia de clase Mcfai= producto de la marca y frecuencia de clase n = total de datos = suma de Mcfa
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Ejemplo Se tiene la edad de un grupo de estudiantes
Clase fa
5 – 10 11
10 – 15 23
15 – 20 61
20 – 25 60
25 – 30 45
30 – 35 20
35 – 40 15
40 – 45 15
n = 250
Mc
7.5
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
Marca de
clase
Mc*fa
82.5
287.5
1067.5
1350
1237.5
650
562.5
637.5
5875
Multiplicación De f y x
=
𝒙 = 𝟓𝟖𝟕𝟓
𝟐𝟓𝟎 = 23.5 años
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Media geométrica
𝑀𝐺 = 𝑀𝑐𝑓𝑎
𝑛
𝑖=1
𝑛
La media geométrica es la raíz n-ésima del producto de la marca de clase por la frecuencia absoluta de la clase, es decir:
Mc = marca de la clase Fa = frecuencia de la clase
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Ejemplo
Clase fa
5 – 10 11
10 – 15 23
15 – 20 61
20 – 25 60
25 – 30 45
30 – 35 20
35 – 40 15
40 – 45 15
n = 250
Mc
7.5
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
Mc*fa
82.5
287.5
1067.5
1350
1237.5
650
562.5
637.5
9.85x1021
𝑴𝑮 = 𝑴𝒄𝒇𝒂
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
MG = (𝟖𝟐. 𝟓) 𝟐𝟖𝟕. 𝟓 … (𝟑𝟔𝟕. 𝟓)𝟐𝟓𝟎
𝑴𝑮 = 𝟗. 𝟖𝟓𝟗𝟒𝒙𝟏𝟎𝟐𝟏𝟐𝟓𝟎
𝑴𝑮 = 𝟏. 𝟐𝟐𝟒
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Mediana
Me = Linf + 𝑛
2 −𝑓𝑎𝑎−1
𝑓𝑎A
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Linf = limite inferior de la clase donde se encuentra la mediana 𝑛
2 = es la semisuma de las frecuencias absolutas
aa-1 = es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana A = amplitud de la clase a = frecuencia de la clase
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Ejemplo
Clase a
5 – 10 11
10 – 15 23
15 – 20 61
20 – 25 60
25 – 30 45
30 – 35 20
35 – 40 15
40 – 45 15
n = 250
aa
11
34
95
155
200
220
235
250
Me = Linf + 𝒏
𝟐 −𝒇𝒂𝒂−𝟏
𝒇𝒂𝐀
𝟐𝟓𝟎
𝟐 = 125
Me = 20 + 𝟏𝟐𝟓 −𝟗𝟓
𝟔𝟎 5
Me = 22.5 años
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Moda
Valor que ocurra con mas frecuencia
Mo = 𝑳𝒊𝒏𝒇 +𝒇𝒂𝒂−𝟏
𝒇𝒂𝒂−𝟏+𝒇𝒂𝒂+𝟏A
Linf = limite inferior de la clase con mayor frecuencia absoluta
aa-1= frecuencia de la clase modal anterior
aa+1 = frecuencia de la clase modal posterior
A = amplitud de la clase
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Ejemplo
Clase a
5 – 10 11
10 – 15 23
15 – 20 61
20 – 25 60
25 – 30 45
30 – 35 20
35 – 40 15
40 – 45 15
n = 250
aa
11
34
95
155
200
220
235
250
Mo = 𝑳𝒊𝒏𝒇 +𝒇𝒂𝒂−𝟏
𝒇𝒂𝒂−𝟏+𝒇𝒂𝒂+𝟏A
Mo = 15 +(𝟑𝟒
𝟑𝟒+𝟏𝟓𝟓 ) 5
Mo = 15.89 años
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Cuartiles
Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales:
𝑸𝒌= 𝑳𝒊𝒏𝒇 + 𝒌∗𝒏
𝟒 − 𝒇𝒂𝒂−𝟏
𝒇𝒂A
Faa-1 = frecuencia absoluta acumulada anterior k = numero de cuartil deseado n = tamaño de la muestra Fa frecuencia absoluta Linf = limite inferior A = amplitud de la clase
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Deciles
Son los nueve valores que dividen a la serie en diez partes iguales
𝑫𝒌= 𝑳𝒊𝒏𝒇 + 𝒌∗𝒏
𝟏𝟎 − 𝒇𝒂𝒂−𝟏
𝒇𝒂A
Faa-1 = frecuencia absoluta acumulada anterior k = numero de decil deseado n = tamaño de la muestra Fa frecuencia absoluta Linf = limite inferior A = amplitud de la clase
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Percentiles
Faa-1 = frecuencia absoluta acumulada anterior k = numero de percentil deseado n = tamaño de la muestra Fa frecuencia absoluta Linf = limite inferior A = amplitud de la clase
𝑷𝒌= 𝑳𝒊𝒏𝒇 + 𝒌∗𝒏
𝟏𝟎𝟎 − 𝒇𝒂𝒂−𝟏
𝒇𝒂A
Son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Desviación media
𝑫𝒎 = 𝑴𝒄 − 𝒙 ∗ 𝒇𝒂𝒏𝒊=𝟏
𝒏
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Varianza
𝝈𝟐 = 𝑴𝒄 − 𝒙
𝟐 ∗ 𝒇𝒂𝒏𝒊=𝟏
𝒏
Desviación media o típica
𝝈 = 𝝈𝟐𝟐
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Ejemplo
X= 23.5
Clase fa faa Mc 𝑴𝒄 − 𝒙
𝑴𝒄 − 𝒙 2
𝑴𝒄 − 𝒙 2𝒇𝒂
5 - 10 11 11 7.5 16 256 2816
10 – 15 23 34 12.5 11 121 2760
15 – 20 61 95 17.5 6 36 2196
20 – 25 60 155 22.5 1 1 60
25 – 30 45 200 27.5 4 16 720
30 – 35 20 220 32.5 9 81 1620
35 – 40 15 235 37.5 14 196 2940
40 – 45 15 250 42.5 19 361 5415
n = 250 18 527
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Ejemplo
𝑫𝒎 = 𝟏𝟕𝟏𝟎
𝟐𝟓𝟎
𝑴𝒄 − 𝒙 𝑴𝒄 − 𝒙 𝒇𝒂
16 176
11 253
6 366
1 60
4 180
9 180
14 210
19 285
1710
fa
11
23
61
60
45
20
15
15 𝐷𝑚 = 6.84
𝑫𝒎 = 𝑴𝒄 − 𝒙 ∗ 𝒇𝒂𝒏𝒊=𝟏
𝒏
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
𝑴𝒄 − 𝒙 2𝒇𝒂
2816
2760
2196
60
720
1620
2940
5415
= 18 527
𝝈𝟐= 𝟏𝟖𝟓𝟐𝟕
𝟐𝟓𝟎= 74.108
𝝈𝟐 = 𝑴𝒄 − 𝒙
𝟐 ∗ 𝒇𝒂𝒏𝒊=𝟏
𝒏
𝝈 = 𝝈𝟐𝟐
𝜎 = 74.1082
= 8.608
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
Referencias bibliográficas
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
1. Almaráz Hernández Graciela, 2013, “Estadística: Tratamiento de Datos y Azar”, Edit. Sefirot 2. Murray Spiegel, 2010, “Probabilidad y Estadística”, tercera Edición, México, McGraw-Hill Interamericana. 3. Gutiérrez Banegas Ana Laura, 2012, “Probabilidad y estadística: Enfoque por competencias”, Editorial: McGraw-Hill 4. Gamiz Casarrubias, Beatriz, 2008, “Probabilidad y estadística con practicas en Excel” Segunda Edición, México, Justin time press, S.A. de C.V.
Páginas WEB
Mtra. María Luisa E. Ortega Cruz
http://www.ditutor.com/estadistica/medidas_centralizacion.html
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/EstadisticaMediaMedianaModa.htm
http://www.eduteka.org/proyectos.php/1/3053
http://bioestadistica1.wordpress.com/2012/11/22/formulas-de-medidas-de-tendencia-central-y-medidas-de-dispersion/