Post on 18-Apr-2020
De esta forma se han definido dos funciones de reales en
reales que asocian a cada número real x (medida del ángulo en
radianes), una, el número Cosx y otra el número Senx; por
tanto estas funciones g(x)=Senx y f(x)=Cosx tendrán como
dominio todo R y como recorrido el intervalo [-1,1].
Asi por ejemplo de la figura 3.58 se puede concluir: Y
Grados Radianes Senx Cosx
0o 0 0 1 90° TI/2 1 0
180° it 0 - 1 270° 3k/2 -1 0 360° 2k 0 1
Existe otra forma de definir el seno y el coseno de un ángulo
x, que consiste en considerar cualquier triángulo rectángulo
con uno de sus ángulos agudos x y llamar Senx- Cat0to opuesto a x cozx- cateto adyacente a x
hipotenusa y hipotenusa ' definición que coincide con la que se dió inicialmente, pues
323
de la figura 3.59, considerando las circunferencias
concéntricas en el origen y radios 1 y r (reí, dado) y el
triángulo con ángulo agudo x; por semejanza de triángulos se
tiene: v
• X
Fig 3.59 Siendo :
CA^Cateto adyacente a x en el triángulo OAB
CO=Cateto opuesto.
I r CP Qopx" CO " Catet-° opuesto l " Cfca* r hipotenusa
j T x r CA „ CA cateto adyacente — m — • S«B*= = —; —
1 Senx , v r hipotenusa
Ejemplo
Las funciones trigonométricas de 45°, 30°, 60° se pueden
calcular por medio de los triángulos representado en las
figuras 3.60
324
1
Sen4? sen60°-& Sen30°-±
Cos45° COB60COB3(f--& fó 2 2 2 Con el fin de representar gráficamente estas funciones Senx,
Cosx se considerarán primero algunas propiedades que
caracterizarán sus gráficas.
Inicialmente, de la figura 3.61 se puede concluir que:
Y
325
Sen(-x)=-b=-Sen(x) .
Este tipo de simetrias no solamente se cumplen para las
funciones Senx y Cosx, sino para muchas otras funciones y
reciben el nombre de:
Función par. Si f(-x)=f(x) Vx€Df.
Función Impar. Si f(-x)=-f(x) VxeDr.
La característica principal de las funciones pares es que si
el punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función, entonces
el punto (-x,y) también debe pertenecer; es decir; la curva
es simétrica respecto al eje y. En caso de las funciones
impares, si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la
función, el punto (-x,-y) también pertenece, lo que se puede
expresar diciendo que la gráfica de la función es simétrica
respecto al origen.
Ejemplo 1
f(x)=x2; g(x)=|x|; h(x)=x son funciones pares, ya que:
f(-x)=(-x)2=x2=f(x)
g(-x)=|-x|=|x|=g(x)
h(-x)=c=h(x)
observe en la figura 3.62 su simetría respecto al eje y.
326
g(x) - |x i
h(x) -c
L
c
Fig 3.62 i
Ejemplo 2
f(x)=x; g(x)=x3 son funciones impares
pues f(-x)=-x=-f(x) y
g(-x)=(-x)3=-x3=-g(x).
Observe en la figura 3.63 su simetría respecto al origen.
y=x
X
F i g 3 . 6 3
Por otra parte, observando las figuras 3.64 Y Y
•X 4
ANGULO X ANGULO X+2H 3 2 7
ANGULO X H R
Se puede apreciar que las coordenadas del punto de corte de
la circunferencia unitaria con el lado final de los ángulos
x, X+2TC, X+4TI y en general x+2nnJ neN son las mismas, lo cual
implica que:
Senx=Sen(x+2iO = Sen(x+4Ti)= . . . =Sen(x+2mt) y
C O S X = C O S ( X+2T O = C O S ( X+4T C)= . . . =Cos(x+2nn;) con n€Z .
Todas las funciones que tienen una característica similar a
esta se conocen con el nombre de funciones periódicas, más
concretamente:
Una función f(x) se dice que es Periódica, si existe un
número real T>0, tal que f(x+T)=f(x) VxeDr. Además cualquier *
número T que satisfaga esta condición se le llama Período de
f y al menor de estos valores de T>0, se le llama periodo
fundamental de f(x).
La gráfica de una función periódica con periodo T>0 se
caracteriza porque la parte de ella que aparece en cualquier
intervalo de longitud T, por ejemplo (a,a+T) se repite en el
siguiente intervalo de longitud T, es decir, en (a+T,a+2T) y
en el siguiente (a+2T, a+3T) y así sucesivamente.
328
Ejemplo 1
La función y = Senx tiene como periodo 2n, 4it, 6ir, . . . , 2nrc, neN
y como periodo fundamental 2n. Por tanto la parte de la
gráfica correspondiente al intevalo [0,2tt:] se repite en los
intervalos [2n,4n;], [4rt,6n:], etc y en los intervalos [~2it,0],
[-4it, -2 t t] , etc .
Con esta característica, y teniendo en cuenta además que es
una función impar, que su dominio es 1 y su recorrido [-1,1]
y hallando valores en forma similar como se hizo en ejemplos
anteriores, se puede trazar su gráfica (Fig 3.65)
Y
Ejemplo 2
En forma análoga, la función y=Cosx resulta ser periódica con
periodo 2rc, 4it,...,2nn con n€N y con periodo fundamental 2n y
su gráfico se puede apreciar en la figura 3.66. (Observe por
su simetría, que esta función es par).
329
F i g 3 . 6 6
Ejemplo 3
f(x)= < 1 si x€[2n,2n+1]
-1 si x€[2n-1,2nJ n€Z
Es una función periódica con periodo T=2. (Fig 3.67) t Y
- 2 -»X
Fig 3 . 6 7
A partir de las funciones Senx y Cosx se definirán otras
cuatro funciones trigonométricas de gran interés, las cuáles
se presentarán junto con algunas características
fundamentales que se deducen de las propiedades dadas para
las funciones seno y coseno y con sus gráficas, se espera que
el lector demuestre estas características y justifique sus
gráf icas.
330
Función Tangente
f(x] - Tanx- JíÉE* Cosx
^ - « - f r f 1 ) * - m z )
Rf-R
Función impar.
Función periódica de periodo fundamental n.
Complete la siguiente tabla y con ello justifique su ¿ráfica
(Fig 3.68)
x 0 ±n/4 ± n/6 ±n/3 ±t t/2 ±3u/4 ±3n/2 ± ±2tc
Tanx
| 1 i >-
i i
- V ! - i i /* V' A* y
Fig
y m tan x Función Cotangente
£ (x) -Cotx--£2«* Senx
Df-R-{mi | neZ)
RfmR
Función impar.
331
Función periódica de periodo fundamental T=u.
Complete la siguiente tabla y con ella justifique su gráfica
(Fig 3.70)
x 0 ± n/6 ± t t/4 ±n/3 ±tt/2 ±3tx/4 ±3u/2 + ±2tc
Cotx
y = cota: Í V 1 i
II l\ 1 \ 1 \ 1 \
1 1
k %
\ 0 X 2 \ i IT 3ir\ 1 2 \ 1 \ \ 1 \ 1 \l \l \l
b CM
Fig 3.70
Función Secante
f (x) *Secx~-Cosx
nez}
Rf-{-<», -i] crii,*«)
Función par
Función periódica de periódo fundamental T=2n.
Complete la tabla siguiente y con ella justifique la figura
3.71
332
X 0 ± V 6 ±u/4 ±n/2 ±3n/4 ±n .... ±2it
Secx
y — sec x
Función cosecante
1 f (x) "Cscx--Senx
Df=R-{nn | neZ)
Función impar.
función periódica de periodo fundamental T=2TC .
Complete la siguiente tabla y con ello justifique su gráfica
(Fig 3.72)
X 0 ±N/6 ±TT/4 ±n/3 ±n/2 ±2n
Cscx
333
V = csc X
F i g 3 . 7 2
334
EJERCICIOS
1. Hallar el valor de todas las funciones trigonométricas en
los siguientes ángulos:
±150°, ±600°, ±300V, ±540°, ±450°, ±900°, ±810°
/ ± 10 t t/3 ; ±7it; ±20n/3; ±10 t t; ±45rt; #16*: (radianes).
2. Usando calculadora, encontrar el valor de:
Sen200; Sen200°; Senl; Senl°, Cos3; Cos3°; Cos(-3450);
Sen(8750); Sec(2120°); Sec(2120); Tan(350); Cot(±2520).
3. A partir de sus definiciones determine el signo de todas
las funciones trigonométricas en los diferentes
cuadrantes.
4. Recuerde que de las definiciones de las funciones seno y
coseno se dedujo que para la figura 3.71.
Fig 3.71
335
COBX- y Senx- — r r
Demuestre resultados análogos para las demás funciónes
trigonométricas.
Demostrar:
a) La suma y producto de funciones pares es par
b) La suma de funciones impares es impar
c) El producto de funciones impares es par
d) Si f(x) es una función impar entonces |f(x)| es par
e) Si g(x) es una función cualquiera, definida para todo
xel, entonces h(x) ~ e s par y
f(x) " g ( x ) ~f{~x) es impar.
f) Encontrar todas las funciones que son pares e. impares a
la vez.
g) Escribir las funciones siguientes como la suma de una
función par y una impar.
i) x+1
ü ) 2 3 + x
iii) e~x
5. Demostrar que las funciones f(x)=CosMx y g(x)=SenMx, 2 % tienen periodo T * — — . ti
336
6. Trazar el gráfico de las funciones:
a ) f (x) *Sen2x
b) g(x) -sen(-Z)
c) hlx)-COB(lx)
d) q(x)-Cos(^í)
e) g(x)-Tan(-Z)
f) g(x)~sec(^-)
8. Cuál es el periodo fundamental para las funciones:
a) f(x)=Tan(áx)?
b) g(x)=Cot(bx)?
c) q(x)=Sec(bx)?
337
3.3.12.3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
De la definición de las funciones Senx y Cosx, puesto que
el punto (Cosx,Senx) está sobre la circunferencia unitaria
x 2+y 2=1, debe satisfacer esta ecuación; resultado que
representa la identidad fundamental:
X . Sen2x+Cos2x=1.
Entendiendo por identidad trigonométrica una igualdad entre
expresiones trigonométricas que se cumple para todo ángulo
(en grados o en radianes).
A partir de esta identidad, dividiendo entre Sen2x y Cos2x,
se obtienen las siguientes dos identidades:
Cot 2x+l=Csc 2x
Y. l+Tan2x=Sec2x
En las figuras 3.72 se puede apreciar que:
y Y
338
El triángulo OAB es semejante al triángulo OPQ, pues es
simplemente una rotación de éste, por tanto:
d(P,Q)=d(A,B) -
[d(P,Q)]2=[d(A,B)]2 -
(Cosx-Cosy)2+(Senx-Seny)2=[Cos(x-y)-l]2+[Sen(x-y)-0]2
Cos2x-2CosxCosy+Cos2y+Sen2x-2SenxSeny+Sen2y=
Cos2(x-y)-2Cos(x-y) + l+Sen2(x-y) «*
2-2CosxCosy-2SenxSeny=2-2Cos(x-y) -
Cos(x-y)=CosxCosy+SenxSeny y asi:
Cos(x-y)=CosxCosy+SenxSeny.
A partir de esta identidad se pueden demostrar las siguientes
identidades de uso frecuente:
5. Cos(x-Tt/2 )=Senx.
Demostración (Ejercicio)
6. Sen(x-Ti/2) = -Cosx .
En efecto:
Sen{ x — " C o s i x——- ) (Propiedad 5 tomando x - - en 2 2 2 2
lugar de x) = Cos(x-n) = CosxCosn+SenxSenn - -Cosx
X- Sen(x.-y ) = SenxCosy-CosxSeny.
339
De la propiedad 5 se sabe:
Seni x - y ) = C o s ( x - y ~ — ) Luego 2
Seni x - y ) = C o s ( ( x - y ) — - ) = C o s ( ( x - ~ )- y ) 2 2
= Cos(x—-)Cosy+Sen( x - - )Seny 2 2
= SenxCosy-CosxCosy
Cos(x+y)=CosxCosy-SenxSeny.
En efecto:
Cos(x+y)=Cos(x-(-y))=CosxCos(-y)+SenxSen(-y) =
CosxCosy-SenxSeny.
Cos2x=Cos2x-Sen2x.
Demostración (Ejercicio)
10. Sen2x=2SenxCosx.
Demostración (Ejercicio)
En efecto: 1 +COB2X_ 1+ (CoaPx-Serfx) _ (1 -Sen*x) +Cos*x _ CO82X+COB>X
2 2 * 2 " 2
340
Demostración (Ejercicio)
13. Coa* (±) - 1+Cosx 2 2
Demostración (Ejercicio)
14. S e r f i ^ ) * 1 - ^ 8 * « Cá Demostración (Ejercicio)
15. CosxCoay--^(Coa (x+y) +cos (x-y)>.
En efecto:
\ Coa (x+y) + Coa (x-y) =
(CosxCoay-SenxSeny) (CosxCosy+SenxSejjy) = « A
(CosxSeny-SenxSeny+ CosxCosy* SenxSeny) -CoaxCoay
1>6 SenxCosy= — (Sen (x+y) +Sen (x-y)) 4M Demostración (Ejercicio).
í?. SenxSeny= <Cos (x-y) -Cos (x+y))
Demostración (Ejercicio).
18. Senx+Seny-2Sen (^ÍZ) Coa ( - ) 2 2 En efecto:
341
Sen(A+B) +Sen(A-B) -2SenACOBB .Prop 16. Sea x=A+B, y=A-B,
entonces "A y -B , y así.
Senx+Seny=2Sen ( ) Coa ( ) 2 2
19. Senx-Seny-2 Coa ( ) Sen ( )
Demostración (Ejercicio)
20. C0SX+C0Sy-2 COS ( ) COS ( )
Demostración (Ejercicio)
21. COBX- Cosy-2Sen ( ) Sen ( ) . « «
Demostración (Ejercicio)
22. TanU+y) - . l - TanxTany
En ef eot8toU+y) - „ SenxCoBy*CoaxSeny, Cos (x>y) CosxCoBy-SenxSeny
SenxCoay+ CosxSeny CosxCosy Tanx+Tany
1_ SenxSeny ~ 1 - TanxTany COBxCoay
23 Tan(x-y) -1+TanxTany
Demostración (Ejercicio)
24. C o t i x + y ) - 0 ^ 0 ? ; 1 Coty+Cotx
Demostración (Ejercicio)
342
25. Tan2x^ 2TaDX
l-Tatfx Denostración (Ejercicio)
26. Cot2x- Cot2-?f"1 . 2Cotx
Denostración (Ejercicio)
Usando las identidades anteriores es posible demostrar otras
menos conocidas.
27. Tanx+Tany-COBXCOBy
En efecto: rarac-i-rany- SeDX + Seny _ SenxCoay+ CoaxSeny _ Sen(x+y)
Cosx Cosy CosxCoBy CoaxCoay
28. Tanx- Tany- SeD
CoaxCoay
Demostración (Ejercicio)
29. Cotx±Coty- SJ*n SenxSeny
Demostración (Ejercicio)
30. Sen3x=3Senx-4Seriix .
En efecto:
Sen3x=Sen(x+2x)
=SenxCos2x+CosxSen2x
=Senx(Cos2x-Sen2x)+2CosxCosxSenx
=Senx(l-2Sen2x)+2Senx(1-Sen2x)
=Senx-2Sen3x+2Senx-2Sen3x
343
=3Senx-4Sen3x.
31. Si x+y+z = n:, demostrar:
Senx+ Seny+Senz - 4 COB ( ) Coa () Coa (—) 2 2 2
En efecto:
Senx+Seny+Senz
=Senx+Seny+Sen(n-(x+y))
=Senx+Seny+Sen(x+y)
=Senx+Seny+SenxCosy+CosxSeny
=Senx(1+Cosy)+Seny(1+Cosx)
y x = Senx(2Cos2 -)+Seny(2Cos2 -) =
2 2
y x = 2SenxCos2 — + 2SenyCos2 —)
2 2
X X y y y X = 4Sen — Cos — Cos 2 - +4Sen - Cos — Cos 2 -
2 2 2 2 2 2
X y X y y X = 4Cos — Cos — ( Sen — Cos — + Sen — Cos -)
2 2 2 2 2 2
X y X y = 4Cos — Cos — Sen( — f — )
2 2 2 2
X y TI x+y = 4Cos — Cos — Cos( — - (
2 2 2 2
X y z = 4Cos — Cos — Cos -.
2 2 2
344
32. Cos 4x-Sen 4x=2Cos 2x-1.
En efecto:
Cos 4x-Sen 4x=(Cos 2x-Sen 2x)(Cos 2x+Sen 2x)
=Cos 2x-Sen 2x=Cos 2x-(l-Cos 2x)
=2Cos2x-1
345
EJERCICIOS
1. Deducir identidades para las funciones trigonométricas en
forma analítica y geométrica de los ángulos: 90°±x;
180°±x, 270 °±x, 360°±x.
2. Verificar las siguientes igualdades:
a) Si Tanx--|- , Tajny--j , x,y ángulos agudos, entonces
Tan(x+y)-l. .
b) Tanl5°=2-f5
c) Si Serve*-, 0<x<-£ entonces Sen2x--^J5
d) Si , entonces 0<x<90°; C0S2x—-8
2 Tan (JL e) Tac ( 4 ) = 8 l-Tan2— 16
f) Si Tan-^-2 entonces
h) Sen4 (f + Sen5 (f
i) Sen7$° -Senl 5o - jg
j ) Tan75? -Tanl?
346
k) Senl5 - (¿3+1) 4
l) senú(f COS3G0(Sen7(f +Senl0a) M
3. Demuestre las siguientes identidades:
a) Sen'X+jen2*-Tan3x COB4x+COS2X
Tani b Senx-Seny 2
Senx+Seny = ran^ 2
C) !+COB2X+COB4X+C086X"4COBXCOB2XCOB3X
D) 2CBCX--*¥X-+.1 + CO0X
e)
1+Cosx Sertx
Secx-Cacx Tanx-1 Secx+Cacx Tanx+1
f ) C o s 2 x S e n ( 2 - COB2X-2 COB4X+COB6X) 32
CoBX+Senx _ Tan2x+Sec2x Cosx-Senx
h) Sen2x+Sen2y+Sen2z-4 SenxSenySenz
•i i i i ) Cos 4X- 4-+-=• Cos2x+ -=- cos *x 8 2 8 j ) sen (x+y) Co BY-COB (x+y) SenySenx
k ) Cos 2xSen 2x- — (1-COB4X) 8
1 +Senx + Coax m2Secx Coax 1+Senx
347
) Sen2x+2Senx+l _ 1+Senx COB2X 1-Senx
n) TanxSenx+Coax-Secx
o) m2+Tan2x Tan2x
4. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son identidades?
A) VI~COB 2XM-Senx
b) Vi -Sen2X«*COBX
o) . S9nxi -Tan* yJl-Sen2x
d) JI-COB2X- | Senx \
348
3.3.12.4 FUNCIONES INVERSAS
Para el estudio que se hará de funciones trigonométricas
inversas y en general de funciones inversas, es necesario
inicialmente distinguir un tipo particular de funciones: Las
llamadas funciones inyectivas. Entre las funciones, hay
algunas en las cuales, para dos o más valores d® x en su
dominio, se le asocia un mismo valor de su recorrido, por
ejemplo para f(x)=x2, a los números 3, -3 se les asocia por
medio de f el mismo número (9), y existen otras para las
cuales valores diferentes de x en el dominio de f, siempre
tienen imágenes diferentes, estas últimas funciones se llaman
funciones inyectivas o 1 a 1, y su gráfica para el caso de
reales en reales se caracteriza porque cualquier recta
horizontal que la corte, lo hace en un solo punto.
Resumiendo:
Def inición
Una función f se dice inyectiva si para todo xi,x2€Df, xi*x2
se tiene que f(xi)*f ( x 2 ) .
Ejemplo
Las funciones f(x)=|x|; g(x)=x2; h(x)=Senx no son inyectivas;
justificar esta afirmación, por medio de sus gráficas.
349
Las funciones f(x) = 2x+l; g(x)=4; h(x)=Tanx con V
l(x) = X 2 s i x>0
x s i x<0
Son funciones inyectivas (trace sus gráficas y justifique
este resultado).
Suponga que se tiene la ecuación f(x)=b y que se pretende
despejar x. Observe que si existe una función g, tal que
g(f(x))=x VxeDr y tal que b esté en el dominio de g, entonces
al aplicar esta función a la ecuación, se obtiene:
g(f(x))=g(b), es decir, x=g(b), logrando así, despejar x.
Dos interrogantes surgen al analizar este problema. ¿Qué se
d e b e exigir a f para que exista esta función g?. Dada f, cómo
se construye esta función g?.
Para resolver el primer interrogante, observe que si la
función f no fuese inyectiva, entonces existirián por lo
menos dos valores xi, X2€Dr con su misma imagen, llamémola c,
entonces f(xi)=c y f ( x 2)=c. Si existiera la función g con la
propiedad descrita atrás, es decir, g(f(x))=x para todo xeDf,
entonces xi=g(f(xi ) )=g(c) y x 2=g(f ( x 2))=g(c), lo que
significaría que c por medio de g tendría dos imágenes
350
diferentes xi y X2, por tanto g no sería una función. Esto
implica que necesariamente para que exista la función g, se
debe exigir que f sea una función inyectiva.
Para responder el segundo interrogante, observe primero que
puesto que g se va a calcular a los dos lados de la ecuación
f(x)=b, entonces g debe estar definida en el recorrido de f,
pues beRr, por tanto D*=Rr. Ahora; ¿Qué es g(b>?. Puesto que
b€Rr y f es inyectiva, existe un único a para el cual f(a)=b,
y ese "a" precisamente define a g(b): g(b)=a. En la figura
^•73 Sé ilustra este resultado mediante un diagrama:
f g '
d • r > d
Dr Re=D*
Fig 3.73
f(a)=q; g(q)=a; f(g(q) ) = f(a)=q; g(f(a))=g(q)=a
f(b)=h; g(h)=b; f(g(h))=f(b)=h; g(f(b))=g(h)=b
f(c)=p; g(p)=c; f(g(p))=f(c)=p; g(f(c))=g(p)=c
f(d)=r; g(r)=d; f(g(r))=f(d)=r; g(f(d))=g(r)=d
A la función g construida de esta forma se le llama la
Función inversa de f y se nota por f _ 1. Más exactamente:
351
Def inición
Dada una función inyectiva f, se llama La inversa de f, a una función notada f - 1 con De-i"Rf y Rf-i"Df , tal que
Ejemplo 1
Sea f(x)=3x; como f es inyectiva (Ejercicio), entonces existe
f - 1(x) y ésta satisface que:
x=f(f-i(x))=3f"i(x), y de aqui se tiene que, f"i(x)=x/3 (Fig
3.74).
Observe que si se hubiése dado la ecuación f(x)=6, es decir,
3x=6 y se aplicara a ambos lados de ésta la función f - 1, se
tendría í"1 (3x) »í"1 (6) ; entonces f"1 (3x)--^-í"1 ( 6 ) y
así 3x=2, lo que ilustra, como se dijo anteriormente, que la
función f _ 1(x) sirve para despejar x en una ecuación de la
f - 1 ( f ( x ) ) - x Vx«£)f y / ( f -1 ( x ) ) - x VxsD¿-i .
forma v ̂ rh
X 3
352
De la figura 3.74 se puede observar que las gráficas de las
funciones f(x)=3x y de su inversa (-X) • — son simétricas
respecto a la recta y-x, relación que siempre se da entre las
gráficas de una función y de su inversa
Ejemplo 2
Sea f(x)-x2 con x>0, como f es inyectiva (Ejercicio), existe
f H x ) , por tanto:
x-f(f"l(x))-LF M x ) ] 2 entonces f_1(x)=+v/x (puesto que
Rc-imDf" [0, +«•) , se descarta el signo - ). Sus gráficas se pueden apreciar en la figura 3.75
Ejemplo 3
Sea f(x)~-x2 1 con x?: 1. Asi. Df- {-<», -1] -Rti . Como f es inyectiva (Ejercicio), existe f- x(x) tal que x-f(f"1(x)) = [f-1(x)]2-l entonces [f (*) ] 2«x+l y asi
f~1(x)=-y/x+í ; donde el signo - aparece debido a que
353
R£-i-Dt- (-••, -1] , o sea que f _ 1(x) siempre es negativa. Además, aunque dentro de los números reales f - 1 tiene sentido
para x+l>0, es decir para x>-l, no se toma [-1,+°°) como su dominio, puesto que D£-t debe ser igual a Rr y éste es igual a [0,+w) ya que la x esta restringida a (-«,-!]. Asi: Df-i-R£~ [0, +") (Fig 3.76)
V 4.'1
f(x) =x2-l 3.
2.
1.
-6. - 4 - 2
-4.
F i g 3.76
354
EJERCICIOS
1. Para las funciones siguientes:
i) f(x)-V*
ii) f(x)-x3
i i i ) / ( x ) -2x+5
iv) f{x)~yfx^A , si x< -2
V) f(x) «x2-4 , si x<0
a) Determinar si son o no inyectivas
b) Halle la inversa cuando exista y verifique que
( f . f - i ) ( x ) = ( f - i . f ) ( x ) = x . c) Encuentre sus dominios y recorridos
d) Trace sus gráficas
2. Las relaciones siguientes no son inyectivas. Restringiendo
sus dominios encuentre funciones inyectivas. Halle sus
inversas en estos dominios y trace sus gráficas:
a) y2=x2
b) x2-y2~ 4
c) X» | y |
355
e) y2=x-l
f) \y \ «x 2-l
3. Justificar el cuadro siguiente y llenar los espacios en
blanco.
Función Restricción Recorrido Don Recorrido Inversa
Don de f de f de £ - 1 de £ - 1
f <x) «X a [!,••) [«,••) [!,+•> [0,+») f -1 <X) mjx
f (x) -X 2 (-•,«] [>,••) (-•,0] f'1 ( x ) — V x
f(x) - V i - X a [0,1] [0,1] Jf-1 ( x ) - V l - x 2
f{x) «+/1-X2 [-1,0] [0,1] f " l ( x ) - V i - X a
J f ( x ) — A -1 + x
[0,+-) [0,1] f - M x ) - . A - 1 >| X
f (x) - 2 x + l 2
f ( x ) - ( x + l )2 t-l,*»> f
_ 1- V x - l
f (x) -X 9
f (x) »X6
Jf (x) -3X-2 1ÍXÍ10
356
3.3.12.5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Inversa de Senx
Como es conocido, la función y=Senx no es inyectiva, por
tanto no tiene sentido hablar de su función inversa, sin
embargo, puesto que en la práctica es frecuente tener que
despejar x en ecuaciones de la forma Senx=b, se hace
necesario definir una inversa para el Senx, no definida para
todo x€R, sino solamente para una porción en la cual esta
función sea inyectiva. De todas las porciones en donde esto
se tiene, se acostumbra a tomar Xfti——,^^ (Fig 3.77).
y
F i g 3 . 7 7
De la definición de inversa se tiene que la función Senx pon
tiene inversa g(x), con
357
y y tal que g(Senx)=x y
Sen(g(x))=x. A esta función g(x) se llama Arco Seno de x y
se nota por:
g(x)=ArcSenx ó g(x)=Sen-1x; es decir, y=ArcSenx * x=Seny, por
tanto Sen(ArcSenx)=x para x€[-l,l] y ArcSen(Senx)=x para
Teniendo en cuenta la simetría respecto a la recta y=x de una
í ene que función y su inversa, de la figura 3.77 se o 78)
y^ArcSenx está representada gráficamente por (Fié
Ejemplos
} f'Hx) =ArcSen (x)
Fig 3 . 7 8
1. A r 5 e n - ^ - ~ , porque 2 4 4 2
2. ArcSen(-l) — ~ , porque Sen(-j-) --1
3. ArcSen (Sen) -4 4
358
4. ArcSen(Sen2%) -ArcSen(Seno) -O , es decir, AxcSen(Sen2%)
r ~X II i
es el número en el intervalo para el cual el
seno toma el mismo valor que el Sen2n , osea "0".
5. ArcSen(Sen) -AicSen(Sen(-5-)) «-5.
6. Sen (ArcSen-^-) -sen (-?•)-2 4 2
7. 5en(Arc5en(-|)) — \ áL A
8. Sen(ArcSen4) no existe, 4<[-l,l].
En forma análoga, puesto que las funciones Cosx, Tanx, Cotx,
Secx y Cscx no son inyectivas, tampoco se puede pensar en una
inversa de cada una de ellas, pero en una forma similar a
como se hizo con la función y=Senx se puede tomar una porción
de ellas (Restricción del dominio) de tal forma que estas
funciones asi restringidas sean inyectivas y por tanto tengan
sus respectivas inversas en estos nuevos dominios.
A continuación se mostrarán las gráficas de las funciones
trigonométricas restringidas y sus inversas correspondientes.
359
Inversa de Cosx
Sea f(x)=Cosx con x€[0,it]. Puesto que Rr=[-l,l] entonces se
define f-1(x)=ArcCosx=Cos_1x como la función, con Df-i-[-l,l] y J?jf-t-[0,n] , que satisface: y=ArcCosx *x=Cosy (Fig 3.79) / i
V V
X, _1(x) =ArcCos(x)
i -1 0 ,
/ /
i
-r/2, /
/ s
/ /
/ /
/
( - Fig 3.79
De la definición se puede concluir que Cos(ArcCosx)=x con
x€[-l,l] y que ArcCos(Cosx)=x con X€[0,tc].
i:
Inversa de Tanx
Si f(x)"Tanx con , entonces ( » ) > U A « « Rr=E, por tanto se define f _ 1(x)=ArcTanx=Tan - 1x como la función, con Df-t-R y
' > t a l q u e :
y=ArcTanx ~ x=Tany (Fig 3.80)
360
f'Hx) "ArcTan(x)
-r/2
Fig 3.80
De la definición se concluye que Tan(ArcTanx)=x si x€l y
ArcTan(Tanx)=x si ** l-jf" •§" J •
Inversa de Cotx
Sea F(x)=Cotx con X€(0,TC), entonces Dr=(0,u) y Rr=I, por
tanto se define f- 1(x)=ArcCotx=Cot- 1x cono la función, con D¿-i-R y (0, *) , tal que:
y=ArcCotx x=Coty (Fig 3.81).
De ésta definición se concluye que Cot(ArcCotx)=x x€l y
ArcCot(Cotx)=x con X€(0,TI)
Fig 3.81
361
Inversa Secx
Sea f(x)=Secx con x«[0f — ) CJÍ-^-,«] , entonces
Df-[0,— y , por tanto se
def ine.
f - 1(x)=ArcSecx=Sec- 1x, como la función, con
Df-tm(-*>, -1] C7[l# +«) y Re-t-lo.-j)U(, que satisface
y=ArcSecx •• x=Secy (Fig 3.82) De esta definición se deduce
que ArcSec(Secx)=x si X9 [ 0 , - £ - ) , k ] y que Sec( ArcSecx)=x
S i XG(-oo,-l]U[l,+oo)
\ > -r-/
f i g 3.82 Inversa de Cscx
Sea f(x)=Cscx con xe [ — , 0) C7(0, -5-] , entonces
I>f-[^-,0)C7(0,-|] y *,-(-«•,-1](T[1,+«) , por tanto se
define f- 1(x)=ArcCscx=Csc - 1x, como
362
y=ArcCscx x=Cscy con
R £_ i m[^2. l0) U(0,A) (Fig 3.83)
De la definición anterior se concluye que ArcCsc(Cscx)=x con
x»[~—, 0) 17(0, — ] y que con Csc(ArcCscx)=x con
xe(-»# -i] U[1,
••v
w/2
»/2
f~Hx) =ArcCsc(x)
o i
Fig 3.83 Ejemplos
1. ArcCoa(-l)-n Porque Cosn--l
2. ArcTan(-l) Porque Tan(-^-) =-1 4 4
3. Coa (AzcCoa^kr) - 4 -3 3
4. Tan (AxcTan—) -— 3 3
5. Cot (ArcCot—) • — 3 3
6. Sec(ArcSec-) no tiene sentido, pues * ( - « , - 1 ]
363
7. ArcCoa (Coa-—-) - ^ 4 4
8. ArcTan(Tan^-) -ArcTan(Tan(~)) 4 4 4
9. ArcCac (--^JL 4 10. Calcular el valor de:
a) Coa (ArcSen) 5
3 3 Sea x=ArcSen(—) entonces Senx=-1 , con x en el
primer cuadrante (Fig 3.84)
4
Fig 3.84
Luego de la figura se tiene que:
3 4 Coax=Coa (ArcSen-^-) = ~
b) Sen (ArcCoa ( ) )
Sea x-ArcCoa (——) entonces Coax*-^- con x en el
segundo cuadrante (Fig 3.85)
364
Fig 3.85
y de la figura se tiene que:
Senx-Sen (ArcCoa (~)) • 3 3
c) Tan (Arasen (-—•)) 4
Sea x - A r c S e n ( ) , entonces 5«nx»-~-4 4 cuarto cuadrante (Fig 3.86).
V
con x en el
De la figura se tiene que Tanx-Tan (AraSen ) — ~ 4
11. Hallar el valor de Coa(ArcTan— -ArcSen-^j-) . 8 26
365
1 5 1 5 Sea x»ArcTan{ ) Entonces Tanx-— y sea 8 8
7 7 yArcSen-—, Entonces Seny~~ (Fig 3.87) 25
Por tanto: F i g 3 . 0 6
7
24
Coa(ArcTan— -ArcSen-—) -Cos(x-y) -cosxcosy+SenxSeny 8 25
8 t 24 + 15 t 7 _ 257 17 25 17 2 5 425
366
EJERCICIOS
1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos?
ArcTan(,/5) 3
ArcSec(-SS) 4
ArcCsc(-2) = 6
Aresen (Tan ( ) ) - JJL 4 2
Arceos (Tan ( ) ) =n 4
ArcCOt - — 6
Aresen ( ) -AicSen (A) 2 2 12
ArcCoa(0)+ Ar eran(-1)=ArcTan(l)
2ArcTan () =Ar cTajj (—) 2 3
ArcTan (-i.) +ArcTan (A) +ArcTan (A) - JE. 2 5 8 4
ArcTan(Cot<230°)-40°
Sea (2Aresen (—)) -3 9
ArcSen(Coa(-105°)) =-15°
Coa (ArcTan < ) + ArcSen (—)) = 3 13 65
367
p) Tan{2ArcSen(-i) + Arceos(^)) — 5 13 204
q) /LrcSen(Sen(^-))~^*-2 2 r ) Sen (ArcSen (4)) »4
2. Demuestre las siguinetes identidades, las cuales son
necesarias para el cálculo de ArcCotx, ArcSecx y ArcCosx
por medio de calculadoras manuales:
a) ArcCotx-ArcTag—^
b) ArcCo tx- — -ArcTanx 2
c) ArcSecx-ArcCos— x
d) ArcCscx=ArcSen—
368
3.3.12.6 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una expresión como Sen2x+Cos2x=1, puesto que es una identidad
se satisface para todo valor de x. Pero en general para
expresiones como por ejemplo Senx=l ó Sen2x+Cosx='í, habra
valores de x que la satisfacen y otros que no. Hallar en
estas expresiones los valores de x que la satisfacen, es lo
que se conoce como resolver la ecuación trigonométrica o
hallar su conjunto solución.
Ejenplo 1
Hallar la solución de la ecuación Senx=b.
Inicialmente se considera que, aplicando a los dos lados de
esta ecuación la función ArcSenx, se tiene:
ArcSen(Senx)=ArcSenb entonces x=ArcSenb.
Pero recordando qu e y^ArcSenx es la inversa de Senx, pero
solamente cuando , entonces este valor de x M
hallado, x=ArcSenb, pertenece a este intervalo. Pero es claro
que considerando toda la función Senx y debido a su
periocidad, este no es el único valor de x que satisface la
ecuación Senx=b, sino que existen infinitos (Fig 3.89) los
cuales están dados por:
369
2nn + ArcSenb
2rm+(n:-ArcSenb )
2niï+ArcSenb
(2n+l )rc-ArcSenb si neZ
Como se visualiza en las gráficas de las figuras 3.89
y it-Sen'1 (Jb)
Fig 3.89
Con analisis similares al anterior se pueden hallar las
soluciones de las ecuaciones Cosx=a; Tanx=a, Secx=a, Cotx=a y
Cscx=a así:
Ejemplo 2
Solucionar Cosx=a.
370
Si x€[0,Tt]; ArcCos(Cosx)=ArcCos(a), entonces x=ArcCos(a), y
la solución de Cosx=a (Fig 3.90), si x€R está dada por:
x = 2nTi+Cos-i(a)
con neZ 2nn-Cos-!(a)
Como se visualiza en los gráficos de la figura 3.90
Fig 3.90
Ejemplo 3
Solucionar Tanx=a.
371
Si ; ArcTan(Tanx)=ArcTan(a); entonces
x=ArcTan(a), y la solución de Tanx=a, para x en todo su
dominio está dada por: x=nrc+ArcTan(a) n€Z (Fig 3.91)
En forma análoga se pueden solucionar ecuaciones similares
con las otras funciones trigonométricas (Ejercicio).
Ejemplo 4
Hallar la solución de la ecuación 4CosxSenx+2Senx-2Cosx-1=0
en [0, 2rc] .
4CosxSenx+2Senx-2Cosx-l=2Senx(2Cosx+l)-(2Cosx+l)=
(2Cosx+l)(2Senx-l)=0 si y sólo si 2Cosx+l=0 ó 2Senx-l=0.
Si 2Cosx+ 1=0 C o s x = - ̂ , y puesto que ArcCos( ) = 120° , 9 ir entonces x=120° ó x=360°-120°=240°, es decir, 6
372
Si 2Senx-1=0 - S e n x ^ - x = 30° ó x=120°, es decir, ó
y así la solución de la ecuación en [0,2 tc] es: i n 5n 2n 4K
{±+2nn 6
^ +2nn, +2nn) Con mZ .
Ejenplo 5
Hallar el conjunto solución de la ecuación Coa*x-SenAx=1 .
Co3*x-Sen*x= (Coa2x+Sen2x) (Coa2x-Sen2x) = 1 Coa2x-Sen2x=1
Ejenplo 6
Solucionar Senx=,/3Cosx-l •
Si elevamos al cuadrado los dos lados de la ecuación se tiene
que :
Sen2x- 3 Coa2 x- 2 y/3Coax+l •* l-Cos2x=3Co32x-2}/5Co8x+l
4C032X-2^C08X"0 - 2C09x(2C0ax-t/3) «0 COBX"0 ó
Co82x" i -» 2x=2mt yi°>nit Con nez .
2Coax-^3=0
i) Si COBX-0 - X= n 3n 5 n ¿i) Si 2CO9X-V5-0 2 ' 2 ' 2
373
Cosx-^- _» nn ó x=^-+2mt . 2 6 6
Puesto que los dos miembros de la ecuación original fueron
elevados al cuadrado, en este conjunto solución pueden
aparecer soluciones "extrañas", por tanto es necesario
verificar en la ecuación original cuáles de los elementos de
este conjunto son efectivamente soluciones de la ecuación
inicial. Reemplazando allí, se puede observar que para 11 5ti 9n 13ff ~2 ' ~2~' ~2~'—2— ' ' ' " y Para , con n€Z, no
satisfacen la ecuación, por lo tanto la solución de la ecuación está dada por +2rm, +2n% . Con 1*2} .
6 2
Ejemplo 7
Solucionar la ecuación Tan4x-Cot6x .
Cot6x=Tan(—-6x) (Ejercicio) Entonces
Tan (4jc) =Tan -6x) y así: 4x=-5--6 x+nn ,neZ entonces
l O x — l ^ í l l J L
luego x= ( ) n, neZ u \J
Ejemplo 8
Solucionar la ecuación J2sen2x+Cosx-0
374
S i i/2(1-COS2X) + C O S X - 0 ^2CO32X-COBX-j2-0 "*
Cosx- . = ó = 2̂ /2 2 fl & ^ '
2 Ahora si Cosx=——=i/2 t como entonces en este caso no v2
hay solución, y si Cosx=^p - x=±^-+2mt. Con MZ . y 2 *
375
EJERCICIOS
I. Hallar el conjunto solución de las ecuaciones:
1. Sen3x=-^~ 2
2. Sen3x=0
3. Tan2x—fS
4. Cot (2x-l) =-—
y/3
5. 2Sen22x-l=0
6. 3Senx=2Cos2x 7. Sen2x=Cos2x
8 . Sen2xC03x+ Co32xSenx*> 0
9. Sen5x-Sen3x-Senx=Q
10 • Coax-f5Senx=l
11. 2 Co8x=l-Senx
12. SenxCoax'Q
13. Secx-l*Tanx
14. 2 Tanx-Sonx-Tanx•o
15. Sen4x-2Sen3x-l=2Senx-Cos2x
16. 6 Tanx+12 Co tx=5v^3 Secx
17. (1-Sen4x) (1 + Tan2x) =
376
Tanx-1 1 8' raux+1 1
19. Senix+Cosix= — 8
20. Cosx=4
Analizar los cuadros siguientes paso a paso, e
ilustrarlos con ejemplos (En todos los casos n€Z) a)
senx = b
b< -1 b = - 1 - 1 < b < 1 b = 1 b > 1
senx = b to hay soluciones
x = ~ + 2n1T Are senb + 2nTT
y 7T -Are senb., nTT
j + 2ntí No hay soluciones
b)
cosx=b
b < - 1 b = -1 - 1 < b < 1 b = 1 b > 1
cosx=b No hay solución (2n+1 ) TT ArcCosb + 2n1T y
2nTT - Are Cosb 2n?T No hay solución
c)
_ 00 < b < + OO
Tan x = b x = ArcTanb + nlT
377