Post on 16-Jul-2022
Diplomado en Ing. Mecánica
Función polinomial
La función:
se conoce como función polinomial de n–simo
grado.
También se hará referencia a P(x) como un
polinomio de grado n
Los números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman
coeficientes del polinomio y pueden ser reales o
complejos.
Definición
01
1
1 ...)( axaxaxaxP n
n
n
n
Las soluciones de la ecuación las llamamos
raíces de la función P. Si los coeficientes de
la función son reales y la raíz también,
tendríamos un cruce por el eje x de la gráfica
de la función.
El dominio de la función puede ser el conjunto
de los números reales o el conjunto de los
números complejos.
Los métodos numéricos son técnicas
mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma
que puedan resolverse usando
operaciones aritméticas.
Importancia de los Métodos
Numéricos
Una definición de análisis numérico
podría ser el estudio de los errores en
los cálculos;
error aquí no quiere decir, equivocación
u omisión, sino más bien una
discrepancia entre el valor exacto y el
calculado, que es consecuencia de la
manera con que se manejan los
números o fórmulas.
Análisis Numérico
– Cálculo de derivadas
– Integrales
– Ecuaciones diferenciales
– Operaciones con matrices
– Interpolaciones
– Ajuste de curvas
– Polinomios
– Los métodos numéricos se aplican en áreas
como:
– Ingeniería Industrial, Ingeniería Química,
Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica,
Ingeniería eléctrica, etc...
Los métodos numéricos pueden ser aplicados
para resolver procedimientos matemáticos en:
Teorema del Residuo:
El residuo de la división del
polinomio P(x) entre el binomio x
- c es P(c).
Es decir el residuo se obtiene
sustituyendo el valor de “c” en
el polinomio.
Ejemplo: Determine el residuo de la división de
P(x) = x3 - 3x2 + x + 5 entre x - 2.
De acuerdo con el teorema del residuo:
R = P(2) = (2)3 – 3(2)2 +(2) +5 = 8 – 12 +2 +5 =
3
Comprobando por división sintética:
2| 1 -3 1 5
2 -2 -2
------------------
1 -1 -1 | 3 Residuo
Teorema del Factor:
Si el residuo de la división del polinomio
P(x) entre el binomio x - c es 0, entonces
x – c es un factor de P(x).
Se busca el residuo, empleando el
teorema del residuo o la división
sintética, si su valor es 0, entonces el
binomio x – c es un factor de P(x).
Ejemplo: Determine si x + 1 es un factor del polinomio
P(x) = 2x3 + x2 + 3x + 4
Buscamos el residuo:
Por el teorema del residuo:
R = P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 +3(-1) +4 = -2 + 1 - 3 + 4
= 0 x + 1 es factor.
Por división sintética:
-1| 2 1 3 4
-2 1 -4
--------------------
2 -1 4 |0 Residuo x + 1 es factor
Ejercicio: Halle una ecuación polinómica de grado 3, con coeficientes
enteros, que tenga como raíces o soluciones a: -1, 3 y -2.
Seleccionamos una variable que puede se la x. Se cumple que x = -1,
x = 3, x = -2 son soluciones de la cuación.
Planteamos entonces x + 1 = 0 , x – 3 = 0 , x + 2 = 0 y escribimos la
ecuación en forma factorizada ( x + 1 ) ( x – 3 ) ( x + 2 ) = 0
resolvemos ( x2 – 2x – 3 ) ( x + 2 ) = 0
x3 + 2 x2 – 2 x2 – 4 x – 3x – 6 = 0
x3 – 7 x – 6 = 0 Ecuación pedida.
Si hay coeficientes fraccionarios, se multiplica toda la ecuación por el
mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones.
Si una raíz o solución es doble se pone el factor elevado al cuadrado.
Ejercicio: Resuelva la ecuación x3 – 4 x2 + x + 6 = 0 sabiendo que -1 es
una raíz o solución.
Efectuamos la división sintética de P(x) = x3 – 4 x2 + x + 6 entre x + 1
-1 | 1 - 4 1 6 Escribimos:
- 1 5 - 6 x3 – 4 x2 + x + 6 = ( x + 1 ) ( x2 – 5 x + 6 )
1 - 5 6 | 0 | = 0
( Dividendo = divisor x cociente + residuo )
entonces x2 – 5 x + 6 = 0 y resolvemos ya
sea factorizando o por la fórmula cuadrática.
En este caso factorizamos:
( x – 2 ) ( x - 3 ) = 0 ; x = 2 , x = 3.
Conjunto solución: S = { - 1, 2, 3 }
Ejemplo:
15624 234 xxxx 5x
4 2 –6 –5 1
4
20
22
110
104
520
515
2575
2576
5
2576551510422415624 23234 xxxxxxxx
Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir :