Post on 25-Jun-2015
ECUACIÓN DE
BESSEL Juan Camilo Sacanamboy
APLICACIONES
• Propagación de ondas.
• Potenciales estáticos.
• Conducción del calor en objetos cilíndricos.
• Difusión de una red.
• Procesamiento de señales.
INTRODUCCIÓN
• Ecuación de Bessel de orden v
• Cuando se resuelve la ecuación se supone
que 𝑣 ≥ 0
SOLUCIÓN
x=0 es un punto no singular regular de la ecuación de Bessel, se sabe que
existe al menos una solución de la forma y = 𝑐𝑛𝑥𝑛+𝑟∞
𝑛=0 (T. Frobenius)
• Ecuación indicial: 𝑟2 − 𝑣2 = 0
o Raíces indiciales: 𝑟1 = 𝑣 y 𝑟2 = −𝑣
SOLUCIÓN
• 𝑟1 = v
Entonces,
SOLUCIÓN
• La elección c1 = 0 implica que c3=c5=c7=...=0, por lo que para k=0,2,4,...
se encuentra, después de establecer k+2=2n, n=1,2,3,..., que
• Con esto se tiene que,
SOLUCIÓN
En la práctica se acostumbra a elegir a 𝑐0 como
Reescribiendo,
FUNCIONES DE BESSEL DE
PRIMERA CLASE
• Si se usan los coeficientes 𝑐2𝑛 apenas obtenidos y r = v, una solución de
la ecuación es y = 𝑐2𝑛 𝑥2𝑛+𝑣∞
𝑛=0
Funciones de
Bessel de primera clase
de orden v
SOLUCIÓN GENERAL
• v = 0 : ambas soluciones son la misma (Problema!)
• v > 0 y 𝑟1 − 𝑟2 = 𝑣 − −𝑣 = 2𝑣 no es un entero positivo o Caso I-Sección 6.2: 𝐽𝑣 𝑥 y 𝐽−𝑣 𝑥 son li
𝑦 = 𝑐1𝐽𝑣 𝑥 + 𝑐2𝐽−𝑣 𝑥 . (Bien!)
• v > 0 y 𝑟1 − 𝑟2 = 𝑣 − −𝑣 = 2𝑣 es un entero positivo o Dos posibilidades
v=m=entero positivo: 𝐽−𝑚(𝑥)y 𝐽𝑚(𝑥) no son li (Propiedad (i) )
(Problema!)
v es la mitad de un entero positivo impar: 𝐽−𝑣(𝑥)y 𝐽𝑣(𝑥) son li (Bien!)
• La solución general en (0,∞) es
𝒚 = 𝒄𝟏𝑱𝒗 𝒙 + 𝒄𝟐𝑱−𝒗(𝒙), 𝒗 ≠ 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐.
ECUACIÓN DE BESSEL DE
SEGUNDA CLASE
• Para cualquier valor de v la solución general
en 0,∞ se puede escribir como:
• 𝒚 = 𝒄𝟏𝑱𝒗 𝒙 + 𝒄𝟐𝒀𝒗(𝒙), donde
𝑌𝑣 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑣𝜋 𝐽𝑣 𝑥 −𝐽−𝑣(𝑥)
𝑠𝑒𝑛𝑣𝜋
Función de Bessel de segunda clase de orden v
ED RESOLUBLES EN TÉRMINOS
DE BESSEL
• Algunas veces es posible convertir a una ED
de Bessel con un cambio de variable
o 𝒙𝟐𝒚′′ + 𝒙𝒚′ + ∝𝟐 𝒙𝟐 − 𝒗𝟐 𝒚 = 𝟎 : Ecuación
paramétrica de Bessel de orden v
o 𝒙𝟐𝒚′′ + 𝒙𝒚′ + 𝒙𝟐 + 𝒗𝟐 𝒚 = 𝟎 : Ecuación modificada
de Bessel de orden v
o 𝒚′′ + 𝟏−𝟐𝒂
𝒙 𝒚′ + 𝒃𝟐𝒄𝟐𝒙𝟐𝒄−𝟐 +
𝒂𝟐−𝒑𝟐𝒄𝟐
𝒙𝟐𝒚 = 𝟎, 𝒑 ≥ 𝟎:
Ecuación especial
ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE
BESSEL DE ORDEN V
• Problemas con valores en la frontera relacionados con ED parciales
(coordenadas cilíndricas)
𝒙𝟐𝒚′′ + 𝒙𝒚′ + ∝𝟐 𝒙𝟐 − 𝒗𝟐 𝒚 = 𝟎
𝑡 =∝ 𝑥, ∝> 0
Forma Bessel
Solución:
ECUACIÓN MODIFICADA DE
BESSEL DE ORDEN V
• 𝒙𝟐𝒚′′ + 𝒙𝒚′ + 𝒙𝟐 + 𝒗𝟐 𝒚 = 𝟎 𝑡 = 𝑖𝑥 , 𝑖2 = −1
Reemplazando,
Forma de Bessel
Solución para todo v
Donde, 𝐼𝑣 𝑥 𝑦 𝐾𝑣 𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖
ECUACIÓN ESPECIAL
• 𝒚′′ + 𝟏−𝟐𝒂𝒙 𝒚′ + 𝒃𝟐𝒄𝟐𝒙𝟐𝒄−𝟐 +
𝒂𝟐−𝒑𝟐𝒄𝟐
𝒙𝟐𝒚 = 𝟎,
𝒑 ≥ 𝟎:
Muchas ED se ajustan a su forma mediante
elecciones apropiadas de los parámetros
Solución: 𝒚 = 𝒙𝒂[𝒄𝟏𝑱𝒑 𝒃𝒙𝒄 + 𝒄𝟐𝒀𝒑(𝒃𝒙
𝒄)
TABLA
• Bessel General:
• Bessel Paramétrica
, 𝑡 =∝ 𝑥 ∝≥ 0
• Bessel modificada: