Cónicas, Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

Barcelona, febrero de 2017

Alumno:Víctor Zaragoza.

Defina, enuncie teoremas, propiedades y de un ejemplo de cada una de las Secciones cónicas:

La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.α = βLa parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

PARÁBOLA

https://www.youtube.com/watch?v=N8WhvRJbGC8

ELIPSE La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.α < β <90ºLa elipse es una curva cerrada.

https://www.youtube.com/watch?v=5YODCnndvMM

HIPÉRBOLA La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.α > βLa hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.

https://www.youtube.com/watch?v=zMDjlUlArqI

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.La construcción mediante el cordel no es tan sencilla como la anterior, pero puede materializarse como indica la figura:

Hallar el vértice, el foco y la directriz de la parábola, y trazar su gráfica.

a) y2 = 4x

4a=4a= 4/4a=1

De acuerdo con lo anterior, las coordenadas del foco son f (1,0)

Ecuación de la directrizx= -ax= -1 o también x+1=0

V(0.0)

Y

X1F

b) (x+3)2 = -2(y-2)

vértice, h=-3 K=2V(-3,2)

Directriz

-4p= -2P= 2/4 = 1/2

Y-k +p=0Y= k –pY= 2-1/2Y= 3/2

foco

F = ( -3, 2 – 3/2)F= (-3, 1/2)

Y

X-3

2V

F 1/2

Hallar la ecuación y la gráfica de la parábola con; Vértice: (2,3); foco (1,3)

vértice H= 2 K=3V(2,3)

Foco f(h+p, k)

Y

X

P= -1

(y – k) 2 =  4p(x – h)

(y – 3) 2 =  -4.(x – 2) 2

3

1vf

CURVAS PLANAS

Sea   la ecuación de una curva. Observe que el dominio es el conjunto:   

Como   y   

entonces la recta con ecuación   es una asíntota vertical de la gráfica de la curva. 

Gráficamente: 

CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

https://www.youtube.com/watch?v=_G1jpYDjTAg

EJEMPLO DE TRAZADO DE UNA CURVA

ELIMINACIÓN DEL PARÁMETRO

Dada una curva en su representación paramétrica , a veces, resulta conveniente expresarla en su forma rectangular o polar, para esto, será necesario eliminar el parámetro t . Desafortunadamente no existe un método único para eliminar el parámetro t y tendremos que aplicar alguno de los vistos en álgebra o aplicar identidades trigonométricas que hagan posible su eliminación.

EJEMPLOS DE ELIMINACIÓN DEL PARÁMETROEliminar el parámetro t de las siguientes ecuaciones:  x = t -2  y  y = t2  - 4 Solución: Despejando a t de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, tenemos: 

la cual representa a una parábola con vértice en (-2,-4) y eje focal paralelo al eje X.

https://www.youtube.com/watch?v=Rqc64bYR82g

EJEMPLO DEL EMPLEO DE LA TRIGONOMETRÍA PARA ELIMINAR UN PARÁMETRO

EJEMPLO DE AJUSTAR EL DOMINIO DESPUÉS DE LA ELIMINACIÓN DEL PARÁMETRO.

EJEMPLO DEL CALCULO LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS PARA UNA GRÁFICA DADA.

DEFINICIÓN DE UNA CURVA SUAVE

48.204.211.134/polilibros/Portal/Polilibros/P_externos/TecMant-V7/Geom-Anali-Voc-7/PORTAL/UMD/ANACAP10/Unidad10_3.htm

BIBLIOGRAFÍA

http://fcm.ens.uabc.mx/~chelo/analisis%20vectorial/nucleos/capitulo1/l6b.htm

http://www.vitutor.com/geo/coni/hActividades.html