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Universidad Simn BolvarDepartamento de MatemticasPuras y AplicadasVerano 2011
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3er. Parcial de Matemticas VII
TABLA DE TRANSFORMADAS DE FOURIER; a 2 R; c > 0 y ; 2 C(La expresin 1(c;c)(x) indica la funcin que vale 1 para c < x < c y 0 en otro caso)
f(x) f^(!)
f(x a) eia! f^(!)eiaxf(x) f^(! a)f(cx) 1c f^(
!c )
f(n)gen(x) (i!)nf^(!)
xnf(x) inf^(n)gen(!)
ecx2 1p
4ce!
2/4c
1c2+x2
12ce
cj!j
ecjxj c(c2+!2)sen cx
x121(c;c)(!)
1(c;c)(x) sen c!!1 (!)
(x) 12f(x)g(x) f^ g^(!)(f g)(x) 2f^(!)g^(!)
f^(!) = 12
Z 11
f(x)ei!x dx
f(x) =
Z 11
f^(!)ei!x d!F (f(x) + g(x)) = f^(!) + g^(!)
(f; g) =
Z 11
f(x)g(x)dxZ 11
f(x)g(x)dx = 2
Z 11
f^(!)g^(!) d!
1. (5 ptos.) Resuelva el siguiente problemaaux + buy = 0 ; x 2 R; y > 0u(x; 0) = f(x) ; x 2 R
donde f 2 L1(R) y a y b son constantes distintas de cero.
2. (10 ptos.) Muestre queZ 11
sen(x)x3 2x2 + 2x dx =
2(1 + e).
Sugerencia: Note que x2 2x+ 2 = (x 1)2 + 1.3. (10 ptos.) Calcule las siguientes transformadas de Fourier
F [f ], donde f(x) = cos(2x)2 + x2
Fs [xex]4. (15 ptos.) Encuentre la funcin acotada U(x; y) en R = f(x; y) 2 R2 : x > 0; 0 < y < 1g tal
que Uxx + Uyy = 0 en R con
8>:Ux(0; y) = 0 ; 0 < y < 1
Uy(x; 0) = 0 ; x > 0
U(x; 1) = 1[0;1](x) ; x > 0: