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Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme Curso: Ecuaciones Diferenciales
RESUMEN SOLUCIÓN EN SERIE
DE POTENCIAS
1.- SERIES DE POTENCIAS
Una serie de potencias en un punto x0 es una expresión de la forma:
0
0 )(n
n
n xxa (*)
1.1.- TEOREMA 1: CONVERGENCIA DE SERIES DE POTENCIAS
Para determinar el radio de convergencia R, un método que a menudo resulta fácil es el criterio del cuociente:
LRL
a
a
n
n
n
1lim 1
Observación: Si n
n
n a
a 1lim
no existe, se deben
emplear
otros métodos para calcular R, ejemplo el criterio de la raíz.
(i) Si L>0 R>0 y la serie (*) converge absolutamente
para Rxx 0
Es decir se cumple:
0
0 )()(n
n
n xxaxf RxxRx 00
Entonces f(x) es infinitamente diferenciable
RxxRx 00 y podemos obtener sus
derivadas derivando término a término en la serie de potencias.
Además, el radio de convergencia de esta nueva serie de potencias es también R.
También se tiene:
cn
xxadxxf
n
n
n
0
1
0
1
)()(
RxxRx 00
(ii) Si L>0 R y la serie (*) converge
absolutamente x
(iii) Si 0 RL y la serie (*) sólo converge
absolutamente x
2.- PUNTOS ORDINARIOS Y PUNTOS SINGULARES
Para la ecuación del tipo:
0)(')('')( 012 yxayxayxa (1)
Escrita en su forma normal:
0)(')('' yxQyxPy (2)
Se dice que x0 es un punto ordinario de la ecuación (2) si P(x) y Q(x) son analíticas en x0
Un punto que no es ordinario es un punto singular
PUNTOS SINGULARES REGULARES E IRREGULARES
Regular ( ) ( )
( ) ( )
Irregular No regular
Si x0 es un punto singular regular de (1), se calcula la ecuación indicial:
0)1( 00 QrPrr
Donde:
)()( 00
0
xPxxP límxx
)()( 2
00
0
xQxxQ límxx
*Las raíces de la ecuación indicial se llaman exponentes
o índices de la singularidad x0
3.- SOLUCIÓN EN TORNO A UN PUNTO ORDINARIO
Si x0 es un punto ordinario de (1), entonces se tiene 2 soliciones analíticas L.I de la forma:
0
0 )(n
n
n xxa
En ocasiones se utiliza el cambio de coordenadas:
0
0 )(n
n
ntatxxt
4.- MÉTODO DE FROBENIUS
Si x=x0 es un punto singular regular de la ecuación (1), existe al menos una solución en serie de la forma:
0
0
0
00 )()()()(n
rn
n
n
n
n
r xxcxxcxxx
Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme Curso: Ecuaciones Diferenciales
CASOS DE LAS RAÍCES INDICIALES
o Suponemos r1>r2 raíces reales
(1) r1 r2 y r1 r2 Z :
1
22
1
11
)(1)(
)(1)(
2
1
k
k
k
r
k
k
k
r
xrcxx
xrcxx
(2) r1=r2:
1
112
1
11
)´()()ln()(
)(1)(
1
1
k
k
k
r
k
k
k
r
xrcxxxx
xrcxx
(3) r1 r2 y r1 r2 Z :
1
212
1
11
)´()()ln()(
)(1)(
2
1
k
k
k
r
k
k
k
r
xrcxxxcx
xrcxx
*la constante c puede ser cero
o Si se tiene raíces complejas del tipo ir :
1
2
1
1
'1)ln()(
1)lncos()(
k
k
k
k
k
k
xcxsenxx
xcxxx
5.- PROPIEDADES FACTORIALES
DOBLE FACTORIAL
!2
)!2(
)12(!2
)!12()12(.........531!)!12(
!2
)!12()12(.........531!)!12(
!2!)!2(
k
k
nk
kkk
k
kkk
kk
kk
k
k
6.- TRANSFORMADA DE LAPLACE