Post on 04-Sep-2020
FÍSICA
• VECTORES
• Presentación basada sobre archivos libres de: • Mag. Optaciano, L. Vásquez García y J. Junquera.
1
INTRODUCCIÓN • El análisis vectorial es una parte esencial de la
matemática, útil para físicos, matemáticos, ingenieros, técnicos…
• Constituye una herramienta concisa y clara para presentar las ecuaciones de los modelos matemáticos de las situaciones físicas.
• Proporciona además una ayuda inestimable en la formación de “imágenes mentales” de algunos conceptos físicos.
p. 1 ap. 2
TIPOS DE MAGNITUDES FÍSICAS 1. ESCALARES: Magnitudes que para expresarse
necesitan de un número real y su correspondiente unidad. Ejm.: la masa, el tiempo, la temperatura…
2. VECTORIALES: Aquéllas que para expresarse necesitan de un número o magnitud, una dirección y un sentido. Ejm.: la velocidad, el desplazamiento, la fuerza…
3. TENSORIALES: Aquéllas que para expresarse necesitan de un conjunto de números que cambian según leyes específicas (”tensorialmente”) al elegir otro sistema de referencia (múltiples direcciones y sentidos). Ejem.: índice de refracción en materiales birrefringentes.
Nota: escalares y vectores son tipos de tensores, de sendos rangos 0 y 1. p. 1 ap.
3
CONCEPTO DE VECTOR • Ente matemático cuya determinación exige el
conocimiento de tres elementos: un módulo, una dirección y un sentido.
• Gráficamente, un vector se representa por un segmento de recta orientado.
OP! "!!
A!"
p. 2 ap. 4
O: origen del vector P: extremo del vector
Elementos de un vector 1. Dirección:
Gráficamente viene representada por la recta soporte o de acción; en el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos:
ver pp. 2 y 11 tema 5
Elementos de un vector 2. Sentido: Es el elemento que indica la orientación
del vector. Gráficamente viene representado por la cabeza de flecha.
3. Magnitud o módulo: Representa el valor
numérico de la magnitud física a la cual se asocia. Gráficamente viene representado por la longitud del segmento de recta
p.1 ap. 6
Clases de vectores e igualdad 1. Vectores libres: Aquéllos que no tienen una
posición fija en el espacio: se consideran pues como iguales o equivalentes un número infinito de vectores que tienen la misma magnitud y sentido, y direcciones paralelas.
2. Vectores deslizantes: Aquéllos que tienen asociada una y sólo una recta a lo largo de la cual actúan: su recta “soporte” o “de acción”. Se considerarán iguales entre sí cuando, compartiendo recta de acción, tengan también iguales magnitud y sentido.
3. Vectores fijos: Aquellos que tienen asociados una única recta de acción y un único punto de aplicación sobre ella: cada vector es igual sólo a sí mismo.
ver p. 2 tema 7
Álgebra de vectores libres • Operaciones de suma, resta, multiplicación de
vectores: es necesario definir: 1. Vectores iguales o equivalentes: aquéllos que
tienen sus tres elementos idénticos.
2. Vector opuesto a uno dado: aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto.
p. 2 ap. 8
Suma de vectores libres
Regla del paralelogramo
• Gráficamente:
Regla del triángulo
pp. 8-9 ap. 9
Álgebra vectorial: suma vectorial • Considere dos vectores A y B como se muestra:
• El vector suma R se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo.
• La magnitud de la resultante, R, se determina mediante: • Y para su dirección:
!R =
!A2+!B2+ 2!A!B cosθ
!R
sen(π −θ )=
!A
senβ=
!Bsenα
Muur
pp. 8-9 ap. (teorema del seno) 10
Algebra vectorial: resta vectorial • Considere dos vectores A y B como se muestra:
• El vector suma D=A+(-B) se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo.
• La magnitud del vector diferencia D , D, es:
• Y su dirección:
!D =
!A2+!B2+ 2!A!B cos(π −θ ) =
!A2+!B2− 2!A!B cos(θ )
!D
sen(θ )=
!A
senβ=
!Bsenαpp. 8-9 ap.
11
Propiedades del álgebra vectorial 1. Conmutatividad:
2. Asociatividad:
p. 9 ap. 12
Multiplicación de un escalar por un vector • Consideremos la multiplicación de un escalar c por un
vector . El producto es un nuevo vector . La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del vector .
-Si c > 0 el vector producto tiene la misma dirección y sentido de . -Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto al de :
c!A
ver pp. 9-10 tema 13
!A
!A
!A
!A
Propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector
1) Ley asociativa para la multiplicación: -Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe:
2) Ley distributiva para la adición vectorial: -Si c es un escalar, cuando éste se multiplica por la suma de dos vectores se tiene:
p. 10 ap. 14
Propiedades de la multiplicación de escalares por un vector
3. Ley distributiva para la suma escalar: -Si b y c son dos escalares, para el producto de su suma por el vector se tiene:
ver p. 10 tema
!A
15
Suma de varios vectores
• Para sumar varios vectores se utiliza la ley del del polígono, que consiste en la aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo o del triángulo. Es decir:
p. 9 ap. 16
VECTORES UNITARIOS
• Un vector unitario según una dirección y sentido dados tiene un módulo igual a la unidad.
• Se define como el cociente entre cualquier vector dado, con esos sentido y dirección, y el módulo correspondiente, es decir:
• Es un vector colineal con el vector original:
eA =!A!A
!A=!A eA
p. 10 ap. 17
e
VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES • A cada uno de los ejes coordenado se le asigna
un vector unitario:
• Cada uno de estos vectores unitarios tiene un módulo unidad y sus direcciones son perpendiculares entre sí:
i , j, k
i = j = k =1
p. 11 ap.
(sistema de ejes dextrógiro)
18
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL • Cualquier vector puede descomponerse en infinitas
componentes: el único requisito es que la suma de esta componentes nos dé e l vector or ig ina l . La descomposición puede ser en un plano o en el espacio.
1. Descomposición en dos direcciones perpendiculares en el plano:
pp. 11-13 ap.
)θ
19
!A=!Ax +!Ay!
A= Axi + Ay j!A= Acosθ i + Asenθ j!A= A(cosθ i + senθ j)
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. Descomposición en dos direcciones perpendiculares en
el plano: !A=!Ax +!Ay!
A= Axi + Ay j!A= Acosθ i + Asenθ j!A= A(cosθ i + senθ j)
!A= AeAeA = (cosθ i + senθ j)
!A = Ax
2 + Ay2
tgθ = AyAx
pp. 11-13 ap. 20
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 2. Descomposición en dos direcciones no perpendiculares
en el plano: -Para realizarla se trazan rectas paralelas a las originales que pasen por el extremo del vector formándose un paralelogramo cuyos lados son las componentes: !A=!Aa−a +
!Ab−b
21
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3. En el espacio: Cualquier vector puede
descomponerse en tres componentes:
p. 11 ap.
β
α
γ
cosα = AxA
cosβ = AyA
cosγ = AzA
o
22
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3. En el espacio.
!A=!Ax +!Ay +!Az
!A= Axi + Ay j + Azk!A= Acosαi + Acosβ j + Acosγ k!A= A(cosαi + cosβ j + cosγ k)!A= AeA
eA = (cosα i + cosβ j + cosγ k)
!A2= Ax
2 + Ay2 + Az
2
cosα =AxA
cosβ =AyA
cosγ =AzA
p. 12 ap. 23
VECTOR POSICIÓN
!r =OP! "!!
= xi + yj + zk
p. 11 ap. 24
VECTOR POSICIÓN RELATIVO
Δ!rQP =QP
! "!!= rP!"!− rQ!"!= (x1 − x2 )i + (y1 − y2 ) j + (z1 − z2 )k
p. 11 ap. 25
PRODUCTO ESCALAR • El producto escalar o producto punto de dos
vectores A y B se denota por y se expresa “A multiplicado escalarmente por B”; se define como el producto de los módulos de los vectores A y B el coseno del ángulo que forman:
p. 14 ap. 26
Propiedades del producto escalar 1. El producto escalar es conmutativo: 2. El producto escalar es distributivo:
3. Producto de un escalar por el producto escalar:
4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector:
p. 14 ap. 27
Propiedades del producto escalar 4. Producto escalar de dos vectores unitarios:
5. Producto escalar de dos vectores:
6. Si el producto escalar de dos vectores es nulo, entonces dichos vectores son perpendiculares
!A ⋅!B = 0 y
!A≠ 0 y B
!"≠ 0⇒
!A⊥!B
p. 15 ap.
28
PRODUCTO ESCALAR Y PROYECCIONES • Geométricamente: obsérvense las figuras:
29
VECTOR PROYECCIÓN
p. 14 ap. 30
Proy !Ae = (
!A ⋅ e) e = (Acosθ ) e
PRODUCTO VECTORIAL • El producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y
B, es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores, cuya magnitud es igual al producto de sus módulos multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante la regla de la mano derecha:
p. 16 ap. 31
REGLA DE LA MANO DERECHA • Primera forma: orientar el dedo índice de la mano derecha
según el primer vector y el dedo corazón según el segundo vector; el dedo pulgar extendido indica el sentido del vector producto vectorial de ambos.
• Segunda forma (“sacacorchos”): orientar los dedos de la mano derecha dándoles el sentido de rotación del primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido indica el sentido del vector producto vectorial.
p. 16 ap. 32
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 1. El producto vectorial no es conmutativo: 2. El producto vectorial es distributivo respecto a la suma: 3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial: 4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios:
c(!A×!B) = c
!A×!B =!A× c
!B
pp. 16-17 ap. 33
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es:
6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del
paralelogramo que conforman los vectores A y B: 7. Si el producto vectorial es nulo, entonces los dos vectores
son paralelos:
!Ax!B =
i j kAx Ay AzBx By Bz
= i (AyBz − AzBy )− j(AxBz − AzBx )+ k(AxBy − AyBx )
Área =!Ax!B = A(Bsenθ ) = Ah
!A×!B = 0 y
!A≠ 0 y B
!"≠ 0⇒
!A "!B
p. 17 ap.
=h
34
Triple producto escalar
-El resultado es un vector.
-Precaución:
-Ejemplo:
pp. 18-20 ap. 35
Triple producto vectorial • Se define como el producto vectorial de un vector
por el producto vectorial de otros dos:
-El resultado es un vector.
• El triple producto escalar cumple la fórmula de Lagrange:
-Precaución:
→ →
p. 20 ap. 36
Productos triples: producto mixto de vectores
• Se define como el producto escalar de un vector por el producto vectorial de otros dos:
-el resultado es un escalar. • Si los tres vectores vienen dados en coordenadas
cartesianas se calcula:
p. 19 ap. 37
Propiedades del producto mixto de vectores • Propiedad geométrica: el volumen del paralelepípedo
definido por estos tres vectores es igual al módulo del vector que genera su producto mixto:
• Nota: en la notación, los paréntesis son superfluos, puesto que no puede darse un producto triple “del producto vectorial entre un vector y el producto escalar entre otros dos”:
p. 20 ap. 38
• Propiedad:
!a ⋅ (!b × !c) ≡ !a ⋅
!b × !c
V = | !a ⋅!b × !c |
!a × (!b ⋅ !c)( !a ⋅
!b)× !c
!a ⋅ (!b × !c) =
!b ⋅ (!c × !a) = !c ⋅ ( !a ×
!b)
----------------------------------------------------------------------------------------
Reglas de la multiplicación usando productos escalares y vectoriales
p. 21 ap. 39
• MOMENTOS
40
Momento de un vector
p. 21 ap.
• El momento de un vector F aplicado en un punto P con respecto de otro punto O viene dado por el producto vectorial del vector por el vector F: OP
! "!!
-donde es el vector posición de P (vector que va desde O hasta P).
r!=OP" !""
• El momento es, por tanto, un vector perpendicular al plano determinado por el vector F y el punto O. 41
!MO (
!F ,P) =OP
" !""× F"!= r!× F"!
Momento de un vector
p. 22 ap.
• El momento de un vector aplicado en un punto P con respecto de otro punto O no cambia si se desplaza el vector a lo largo de su recta de acción: !
MO (!F ,P ') =OP '
! "!!!× F!"=!r '×!F
= (OP! "!!
+ PP '! "!!)× F!"=OP! "!!
× F!"=!r ×!F
-El momento es, por tanto, un vector perpendicular al plano determinado por el vector F y el punto O.
-ya que los vectores y son paralelos. P 'P! "!!!
F!"
F!"
42
Resultante de un sistema de vectores • Supongamos un conjunto de
vectores vi , aplicados en sendos puntos Pi :
-Definimos la resultante de ese sistema de vectores como:
-Definimos el momento resultante del sistema respecto a un punto O como la suma de todos los momentos, de todos los vectores, respecto a O:
p. 23 ap.
x
y
z
O
M! "!
O = M! "!
i ,O
i=1
n
∑ = OPi! "!!
i=1
n
∑ × vi!"
43
!R =
!vi
i=1
n
∑ =!vxi
i=1
n
∑⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ i +
!vyi
i=1
n
∑⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ j +
!vzi
i=1
n
∑⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ k
!vi ;!vi aplicado en Pi ; i =1,…n
Resultante de un sistema de vectores • Supongamos un conjunto de
vectores vi , aplicados en sendos puntos Pi :
-Definimos la resultante de ese sistema de vectores como:
-El momento resultante del sistema respecto al punto A es:
p. 23 ap.
x
y
z
O
M! "!
A = M! "!
i ,A
i=1
n
∑ = APi! "!!
i=1
n
∑ × vi!"
44
!R =
!vi
i=1
n
∑ =!vxi
i=1
n
∑⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ i +
!vyi
i=1
n
∑⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ j +
!vzi
i=1
n
∑⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ k
!vi , i =1,…n
Campo de momentos y teorema fundamental
x
y
z
O
• Teorema: el momento resultante respecto a O es el momento resultante respecto de A más el momento de la resultante del sistema, aplicada en A, respecto de O.
-El momento resultante genera un campo vectorial: asociamos a cada punto A en el espacio un vector: el momento resultante con respecto a ese punto.
p. 23 ap.
• Propiedad: si la resultante de un sistema de vectores es nula, entonces el momento resultante es independiente del punto con respecto al que se toma. 45
!MA = AP
" !""i
i=1
n
∑ ×!vi = (AO
" !""+OP" !""
i )i=1
n
∑ ×!vi = (−OA
" !""+OP" !""
i )i=1
n
∑ ×!vi
= OPi" !""
×!vi + (−OA
" !""×!vi )( )
i=1
n
∑ =!MO −OA
" !""×
!vii=1
n
∑⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=!MO −OA
" !""×!R
Ø CAMPO ESCALAR:
→ Campo de temperaturas, campo de presión, campo de densidades, etc.
)()( rrf!!
φ=
Definición de campo Ø Se dice que en una región del espacio existe un campo cuando a cada punto de esa región se le puede asignar un valor único de una determinada magnitud física.
)(),,( rfzyxr!!
→
Ø CAMPO VECTORIAL:
→ Campo gravitatorio, campo eléctrico, campo magnético, campo de velocidades, etc.
)()( rArf!!!
=
Definición de campo
⎩⎨⎧
=→)()(
)(),,(rAr
rfzyxr !!
!!! φ
Ø CAMPO
-En general, el valor de la magnitud física puede depender de y . tr!
),( tr!
φ
-En coordenadas cartesianas:
),( trA!!
),,,( tzyxφ ),,,( tzyxA!
• CAMPO ESTACIONARIO:
• CAMPO UNIFORME:
)(r!
φ )(rA!!
)(tφ )(tA!
⎩⎨⎧
=→)()(
)(),,(rAr
rfzyxr !!
!!! φREPRESENTACIÓN GRÁFICA
DE LOS CAMPOS
-Ejemplos: en un espacio de 2 dimensiones: líneas equiescalares o isolíneas (no se cortan): 1. Campo de presión atmosférica
(isobaras equiespaciadas)
2. Campo de alturas sobre el nivel del mar (curvas de nivel
equiespaciadas):
• Campos escalares: Superficies equiescalares: lugar geométrico de los puntos del espacio en los que toma un determinado valor.
φ
Campos vectoriales en tres dimensiones
http://www.ciencia.net/VerArticulo/matematicas/Campos-Vectoriales?idArticulo=7
• A cada punto del espacio se le asocia un vector 3D:
-Notación: o ; un ejemplo:
Sistema de vectores concurrentes
• Un sistema de vectores concurrentes es aquel para el cual existe un punto en común para todas las rectas de acción de los vectores componentes:
x
y
z
O
p. 24 ap. 50
Teorema de Varignon para un sistema de vectores concurrentes
x
y
z
O
• El momento resultante de un sistema de vectores concurrentes o suma de los momentos de los vectores (respecto a cualquier punto A)
es igual al momento (respecto de A) de la resultante aplicada en el punto de concurrencia P:
p. 24 ap. 51
!MA = AP
! "!!i
i=1
n
∑ ×!vi = (AP
! "!!+ PP! "!!
i )i=1
n
∑ ×!vi
= AP! "!!
i=1
n
∑ ×!vi + PPi
! "!!
i=1
n
∑ ×!vi
= AP! "!!
×!vi
i=1
n
∑⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟+0
= AP! "!!
×!R =!MA(!R,P)
• Advertencia: el teorema de Varignon no se cumple para un sistema de vectores no concurrentes.
-Ejemplo: un par de fuerzas: -La resultante de las fuerzas se anula:
¡pero el momento de las fuerzas no tiene por qué anularse!:
52
P1
P2
!MP =
!MP (!v1,P1)+
!MP (!v2 ,P2 )
= PP1! "!!
× v1!"+ PP2! "!!
× v2!"!≠ 0
v1
v2
|v1|=|v2|=v
• Representación vectorial de un área
53
Representación vectorial de un área • Dada una superficie suave, la
definición del vector diferencial de superficie es sencilla:
-donde es el área del “elemento de superficie”
y es el versor normal a la superficie en el punto en que se encuentra el diferencial.
-O, para ser más precisos, es el vector normal al plano tangente a dicha superficie en dicho punto.
d!S = dS ndS
n
p. 27 ap. 54
n
ndS
Representación vectorial de un área • Si la superficie tiene una extensión finita , la definición
del vector superficie es:
• Que en el caso sencillo de una superficie plana, cuando es constante (el plano tangente en todos los puntos es el que contiene a ), produce:
!S = d
S∫!S
S
p. 27 ap.
!S = d
!S
S∫ = dS
S∫ n = Sn
S
55
n
Representación vectorial de un área • Si tenemos una superficie alabeada, esto es, que
no puede ser contenida en un plano, el cálculo anterior ya no es posible.
• El vector normal depende entonces de la posición y, por tanto, debe ser también integrado, lo hace que la dirección del vector resultante no sea conocida a priori, y que su módulo no sea igual al área de la superficie.
• El sentido de cada vector “infinitesimal” de área se toma convencionalmente hacia el exterior para superficies cerradas o con concavidad.
n
p. 27 ap.
d!S
56
Representación vectorial de un área
Superficie plana
Superficie alabeada
p. 27 ap. 57
• Derivadas e integrales de funciones vectoriales
58
Derivada de un vector
-Ejemplo: puede ser la posición de un objeto y
puede ser el tiempo: Instante Posición
t t’
p. 28 ap.
• Sea una función vectorial que depende de un escalar t :
!A(t)
-Objetivo: calcular la razón de cambio de como función de . !A(t) t
t!A
59
!r (t)!r (t ')
Derivada de un vector
Δt = t '− t• En el intervalo de tiempo
un objeto se ha movido desde hasta ⇒ Ha experimentado un desplazamiento :
!A(t)
!A(t ')
Δ!A=!A(t ')−
!A(t)
60
Δ!A
- Cuanto más pequeño sea , más parecidos serán
y , y más pequeño será el desplazamiento .
tΔ
!A(t ')!
A(t)• Definición de derivada de un vector :
-dividir entre
y tomar el límite cuando :
Δ!A
tΔ
0tΔ →
d!Adt
= limΔt→0
Δ!AΔt
= limΔt→0
!A(t ')−
!A(t)
Δt
= limΔt→0
!A(t ')Δt
− limΔt→0
!A(t)Δt
p. 28 ap.
61
Derivada de un vector
Δ!A
Derivada de un vector: componentes de la derivada de un vector • La derivada puede contemplarse como una diferencia de vectores:
¡Sólo si la dirección a lo largo de la que se calcula la componente se mantiene fija con el tiempo! (es la misma en t y t’)
ver p. 29 tema
62
Δ!AΔt
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟x
=ΔAxΔt
Δ!AΔt
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟y
=ΔAyΔt
Δ!AΔt
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟z
=ΔAzΔt
d!Adt
= limΔt→0
Δ!AΔt
= limΔt→0
!A(t ')−
!A(t)
Δt
= limΔt→0
Ai (t ')− Ai (t)Δti=x ,y ,z
∑ ni
Interpretación geométrica de la derivada
63
-La recta tangente a una curva en un punto A es la que coincide con la curva en ese punto y posee la misma derivada, es decir, el mismo “grado de variación” o pendiente, dado por ese valor común de la derivada en el punto A de tangencia.
-si es la posición , su
derivada es la velocidad, , un
vector con dirección tangente a la
trayectoria , sentido el de y
magnitud o módulo, la celeridad, que depende de lo rápido que el móvil recorra la trayectoria.
Derivada de un vector
Cuanto más pequeño sea , más parecidos serán y
más pequeño será el desplazamiento
Definición de derivada: divide entre y tomar el límite cuando
Si es la posición, su derivada es la velocidad:
Dirección: tangente a la trayectoria
Magnitud: depende de lo rápido que recorra la trayectoria
• Ejemplo de derivada de un vector :
d!rdt= lim
Δt→0
Δ!rΔt
= limΔt→0
!r (t ')− !r (t)Δt
= limΔt→0
!r (t ')Δt
− limΔt→0
!r (t)Δt
=!v(t)
!r (t)
p. 28 ap.
64
Derivada de un vector
!A(t) !v(t)
!r (t)
Derivada de un vector: componentes de la derivada del vector posición
-Ejemplo, si , tomando límite :
¡Sólo si la dirección a lo largo de la que se calcula la componente se mantiene fija con el tiempo!
p. 29 ap. 65
Δ!rΔt
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟x
=ΔxΔt
Δ!rΔt
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟y
=ΔyΔt
Δ!rΔt
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟z
=ΔzΔt
Δt→ 0
vx = limΔt→0ΔxΔt
=dxdt
vy =dydt
vz =dzdt
!A(t) ≡ !r (t)
Derivada de un vector
¡Cuidado al dibujar posición y velocidad
en la misma gráfica!:
¡Los dos vectores no se pueden sumar!
Y… ¡cuidado con las escalas!
Derivada de un vector
Cuanto más pequeño sea , más parecidos serán y
más pequeño será el desplazamiento
Definición de derivada: divide entre y tomar el límite cuando
Si es la posición, su derivada es la velocidad:
Dirección: tangente a la trayectoria
Magnitud: depende de lo rápido que recorra la trayectoria
66
Integral de un vector que depende de una variable escalar
-El resultado es un vector.
p. 29 ap. 67
Integral de un vector: la integral de línea
!F-Como datos de partida, necesito conocer lo que vale el campo
a lo largo de la curva s entre a y z .
• Sea un campo vectorial , y queremos calcular la integral a lo largo de una curva s desde un punto a hasta un punto z :
!F
-Nota: ¡aquí ds simboliza elemento de línea sobre la trayectoria del móvil! ¡s NO representa superficie: [s]=L !
68
!F ⋅d!s
a
z∫[s]= L
-El resultado es un escalar.
Integral de un vector: la integral de línea
• Caso sencillo: el campo vectorial es constante y el camino s a lo lago del que hay que integrar es una línea recta:
-Resultado: la distancia a lo largo de la línea recta multiplicada por la componente del vector en esa dirección (indicada por , que es constante): !
F ⋅d!sa
z
∫ = F cosθ (z − a)
)θ
!F
69
!F ⋅d
a
z∫ !s =
!F ⋅ d!s
a
z∫ =
!F ⋅ !s
d !s = ds n[s]= L
n!F
Integral de un vector: la integral de línea
→ Caso general: se descompone la integral dividiendo la trayectoria s entre a y z en pequeños segmentos:
-La integral a lo largo de s es la suma de las integrales a lo largo de cada uno de los segmentos
• En cada uno de los pequeños segmentos, la el vector puede considerarse aproximadamente como constante. 70
!F
[s]= L
Integral de un vector: la integral de línea
→ El resultado es un escalar.
→ Caso general: se descompone la integral dividiendo la trayectoria S entre a y z en pequeños segmentos, cuyas direcciones vienen dadas por sendos vectores unitarios :
71
!F ⋅d
a
z∫ !s =
N→∞lim
!Fi
i=1
N
∑ ⋅Δ!si =
N→∞lim
!Fi
i=1
N
∑ ⋅Δ (sini )
[s]= L
d !s = ds n
n
Integral de superficie de un campo vectorial: el flujo
-El resultado es un escalar.
-Se define la integral de flujo como:
• Sea una función vectorial que depende de la posición;
sea un vector unitario perpendicular a una superficie S: n
!F
!F ⋅
S∫ d
!S =
!F ⋅ n dS
S∫ 72
[S]= L2
d!S = dS n
73
Teorema de Poisson
74
ProyA!"e# = (A!"⋅e#) e# = (Acosθ ) e#
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