1

FUNCI ON CUADRÁTI CA

2

( )f x a x b x c 2

FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es una función f de la forma:

Donde a, b, c son números reales y a≠0

En particular, si se toma a=1, b=0, c=0

( )f x x 2

Función cuadrática simple

Representación gráfica

x f(x)

- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5

- 2

- 1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

-1/2

0 01/2 1/4

1/41 1-1 12 4-2 4

f

3

-3 3

-3

3

x

f(x) Dominio:

Rango: ,0

La gráfica es simétrica con respecto al eje y Función par

0x

Vértice ( 0, 0 ), punto más bajo o más alto de la parábola

Análisis de la gráfica de 2)( xxf

Ecuación del eje de simetría

Función cuadrática simple

4

-3 3

-3

3

x

f(x)

Continuación análisis de la gráfica de 2)( xxf

La parábola abre hacia arriba (cóncava hacia

arriba) Creciente: 0x

Decreciente: 0x

Función cuadrática simple

5

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

6

Sus gráficas y características son:

x

yy = x^2y = 2x^2y = 3x^2

Sea 3,2,1a

Los parámetros de 2)( xxf , no cambian

para ,3,2a

Si 1a , la parábola se contrae con respecto al eje y . A medida que a crece, los brazos de la parábola se acercan al eje y .

Función cuadrática simpleContracción Vertical

( ) ( )f x a f x 1

7

Sus gráficas y características son:

Sea 31

211 ,,a

x

yy = x^2y = 1/2x^2y = 1/3x^2

Las demás características se conservan

Si 10 a , la gráfica se dilata con respecto al eje y. A medida que a disminuye, la gráfica se

aleja del eje y

Función cuadrática simpleDilatación Vertical

( ) ( )f x a f x 1

8

-3 3

-3

3

x

f(x)

Sea 1a : La gráfica es una parábola que abre hacia abajo

(cóncava hacia abajo)

Función cuadrática simpleReflexión sobre el eje x:( ) ( )f x a f x 1

Dominio:

Rango: 0,

La gráfica es simétrica con respecto al eje y

Ecuación del eje de simetría: 0x

Punto máximo ( 0, 0 )

Creciente: 0,

Decreciente: ,0

Vértice ( 0, 0 )

9

Sea 12 ,h Si h = 2, el vértice de la parábola se traslada 2 unidades a la derecha.

Ecuación eje simetría: x= 2 Intersección x ( 2, 0 ) Intersección y ( 0, 4 ) Creciente: (2,∞) Decreciente: (-∞, 2)

Vértice (2,0)Vértice (-1,0)

Si h = -1, el vértice se traslada 1unidad a la izquierda. Ecuación eje simetría: x= -1 Intersección x (-1, 0 ) Intersección y ( 0, 1 ) Creciente: (-1,∞) Decreciente: (-∞, -1)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Función cuadrática simpleTraslación horizontal:

)()( hxfxf 1

10

Sea 4,2,0 k

-3 3

-3

3

x

f(x)y = x^2y = x^2+2y = x^2-4

Se observa que para k=2, el vértice de la parábola se traslada dos unidades hacia arriba.

Vértice (0, 2)

Vértice (0, -4)

Rango:

,2

Rango: ,4

2

4

Para k =- 4, el vértice de la parábola se traslada 4 unidades hacia abajoEl rango y el punto mínimo cambian

Función cuadrática simpleTraslación Vertical: kxfxf )()(1

11

La f unción cuadrática cbxaxxf 2)( , se puede expresar en la f orma estándar ó canónica completando cuadrados.

Forma estándar ó canónica

Función Cuadrática Otras expresiones para la función cuadrática

cxabxaxf

2)( cbxaxxf 2)(

ca

ba

bxabxaxf

222

22)(

12

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Resumiendo:A partir de la transformación de la función simple:

2xxf )(

se obtienen parábolas de la forma:

khxaxf 21 )(

En donde:

Vértice:

),( khV

Dominio: (-∞, ∞)Rango: Si

a<0 k,

a>0 ,k

Desplazamiento horizontal: hDesplazamiento vertical: kContracción o dilatación vertical: a

13

Función Cuadrática

812 21 )()( xxf

81,2 kyha

-8 -4 4 8

-8

-4

4

8

x

f(x)

y = x^2

-8 -4 4 8

-8

-4

4

8

x

f(x)

y = x^2y = (x-1)^2

2xxf )(2

1 1)()( xxf

Se traslada )( xf una unidad a la derecha

Ejemplo 1:Trazar la funcióna partir de la función

2xxf )(

14

Función Cuadrática 812 2

1 )()( xxf

-8 -4 4 8

-8

-4

4

8

x

f(x)

y = 2(x-1)^2

y = 2(x-1)^2-8

-8 -4 4 8

-8

-4

4

8

x

f(x)

y = 2(x-1)^2y = (x-1)^2

22 12 )()( xxf 812 2

3 )()( xxf

Se contrae )(2 xf dos unidades

Se traslada )(3 xf ocho unidades hacia abajo

Ejemplo 1:continuación

15

Función Cuadrática

Análisis de la gráfica de

-8 -4 4 8

-8

-4

4

8

x

y Dominio:

Rango: ,8

Eje de simetríaVértice (1, -8)

Ecuación eje de simetría: 1xPunto mínimo: (1, -8)Creciente: ( 1, ∞ )Decreciente: ( -∞, 1 )

h k

Ejemplo 1:continuación

16

Función Cuadrática

Análisis de la gráfica de

-8 -4 4 8

-8

-4

4

8

x

y Intersección y

A(0, -6)

68)10(2)0( 2 f

Intersecciones x

08)1(20)( 2 xxf

414)1( 2 xx

13 xóx

B(-1,0) C(3,0)

(0,-6)

(-1, 0) y (3, 0)

Ejemplo 1:continuación

17

Función Cuadrática

Análisis de la gráfica de

-8 -4 4 8

-8

-4

4

8

x

y Para qué valores x, 0)( xf

),3()1,(

Para qué valores x, 0)( xf

)3,1(

Ejemplo 1:continuación

18

Función Cuadrática

Determine la ecuación de la parábola cuya gráfica es:

Vértice (2,3) Intersecto eje y (0, -5) Ecuación eje de simetría

2x

khxaxf 2)()(

Con esta información se encuentra el valor de a

3)20(5 2 a

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6-5-4-3-2-1

12345

x

y

2 a

3)2(2)( 2 xxf

Ejemplo 2:

19

Función Cuadrática es otra expresión algebraica de

una ecuación cuadrática-Parábola_

cbxaxxf 2)(

Cuadrando el binomio, podemos expresar la función dada de la forma:

khxaxf 2)(cbxaxxf 2)(

acx

abxaxf 2)(

ac

ab

abx

abxaxf

222

22)(

ac

ab

abxaxf 42

22)(

42

22 bcabxaxf )(

khxaxf 2)(

abh

abh

2

2

42bck

Vértice:

42

2bca

b ,

20

- Vértice = ),(2

,2

kha

bfab

- Eje de simetría: la recta habx

2

- Si 0a , el valor máximo es kabf

2

- Si 0a , el valor mínimo es kabf

2

Resumiendo: Función Cuadrática

x

y

x

y

Dada la función:

cbxaxxf 2)(

x

y

21

Función Cuadrática

Bosquejar la gráfica de la función 582)( 2 xxxf

5,8,2 cyba

Como 0a , la parábola abre hacia arriba y tiene un mínimo.

222

82

a

b

35)2(8)2(22

2

abf

3,2 V Ecuación eje de simetría: 2x

Ejemplo 3:

22

Función Cuadrática

La intersección con el eje y es el valor de f en 0x y las intersecciones con el eje x si las hay ocurren en 02 cbxax

0582 2 xx

Intersección con ele eje y: 5)0( f

Las soluciones de la ecuación son :

23.x , 80.x (Fórmula cuadrática)

Ejemplo 3: (continuación)

Intersecciones con el eje x :

582)( 2 xxxf

Se hace f (x) = 0, esto es:

23

Función Cuadrática

Con la información anterior se puede realizar un bosquejo de la gráfica

5)0( f

Cortes en el eje x : 8023 .,.

x

y

Ecuación eje simetría

2x

Ejemplo 3: (continuación) 582)( 2 xxxf

24

Ejemplo 4:El costo promedio por unidad (en dólares) al producir x unidades de cierto artículo es 5012)( 2 xxxC Cuántas unidades deberán producirse para minimizar el costo promedio? Cuál es ese costo mínimo por unidad? SoluciónComo 0a la parábola abre hacia arriba, presenta un mínimo en su vértice. En la ecuación: 5012)( 2 xxxC

5012,1 cyba

)

2(,

2),(

abf

abVkhV

25

Deberán producirse 6 unidades del artículo para que el costo mínimo promedio por unidad sea de

US$14

Ejemplo 4 (continuación) 5012)( 2 xxxC

3 6 9 12 15

6

12

18

24

x

y

62

)12(2

a

bh

)2

(a

bfk

1450)6(126)6( 2 f

)14,6(V

( 6, 14 )

26

Función Cuadrática

Producto de factores lineales

Los ceros de la función cuadrática, llamados tambiénraíces son los valores de “x” cuya imagen tienen valorcero. Como es cuadrática tiene a lo sumo dos ceros. Si los denominamos x1 y x2 , podemos utilizarlos para expresar la función como producto de factores lineales.

)()()( 21 xxxxaxf

27

Ceros de la función cuadráticaSe dijo que la función cuadrática tenía a lo sumo dos ceros. Estos ceros son de la forma (x, 0), por lo tanto se calculan haciendo a f (x) igual a cero.Las soluciones de la ecuación 2 0, 0ax bx c a están dadas por la fórmula cuadrática:

2 42

b b acxa

La cantidad 2 4b ac es conocida como el discriminante de la ecuación cuadrática . Este valor nos indica el número de soluciones de la ecuación. Cortes con el eje y

Si 2 4 0b ac , existen dos cortes en el eje x

Si 2 4 0b ac , existe un corte con el eje x Si 2 4 0b ac , no corta el eje x

28

SOLUCIÓN GRÁFICA DE INECUACIONES

Pasos para resolver inecuaciones gráfi camente:

• Se consideran el lado derecho y el lado izquierdo de la inecuación como f unciones.

• Se grafica cada una de las f unciones

• Se determina la solución analizando directamente en la gráfica.

29

Ejemplo 5:

Encontrar gráficamente el conjunto solución de:3

211)2( 22 xxx

Solucióny 3

21)( 2 xxxg Sea 1)2()( 2 xxf

f (x) es una parábola cóncava hacia arriba con vértice en ( -2, -1 )

g (x) es una parábola cóncava hacia abajo con intersecto con el eje y (0, 3)

vamos a resolver f (x) > g(x)

30

Ejemplo 5: (continuación)

-3 3

-3

3

x

ySu representación gráfica es:

Se observa que las dos gráficas se cortan en los puntos:

(-2, -1) y ( 0, 3). -2

También vemos que f (x) > g (x)en los siguientes intervalos:

),0()2,(

Por lo tanto, 1)2( 2x 321 2 xx en los intervalos

),0()2,(

(-2, -1)

(0, 3)

31

Un latonero dispone de una lámina rectangular de aluminio de 16 pulgadas de ancho y debe construir una canal doblando dos lados 90° hacia arriba. Cuántas pulgadas deberán doblarse para que la canal tenga la mayor área transversal y con ello permita el mayor flujo de agua?La siguiente figura representa la situación:

x = cantidad de pulgadas dobladas

A(x) = área transversal en función de la cantidad doblada

)()( xxxA 216

x

16 -2xx

90°

La capacidad de flujo será máxima cuando el área transversal del

rectángulo sea máxima.xxxA 162 2 )(

Ejemplo 5:

32

abf

abV 22 ,

Revisemos la función:Parábola

El área máxima se encuentra en el vértice.

x

16 -2xx

90°

xxxA 162 2 )(

1 2 3 4 5 6 7 8 9-5

5

10

15

20

25

30

l

A(l)

2216

maxx 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9-5

5

10

15

20

25

30

l

A(l)

x=4, es el doblés que hace que la sección transversal sea la mayor.

41642 2 )()( maxxA 32

4

84

90°

El área máxima son 32 pul²

Ejemplo 5:(continuación)

33

Ejemplo 6Se lanza un proyectil . La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación xxy 42 2

1 . A un Km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación 662 xy . Halle el punto de la montaña donde se producirá el impacto

34

Ejemplo 6: (Continuación)

El impacto ocurrirá en el punto de intersección de la gráfica de xxy 42 2 y la gráfica de 66 xy

Al igualar las dos ecuaciones se tiene: 6642 2 xxx

0622 2 xx 032 xx

Al resolver la ecuación cuadrática se obtiene:

312131 .x ó 322

131 .x

Se descarta este valor ; no tiene sentido una distancia negativa.

35

Ejemplo 6: (Continuación)

El valor para x lo sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de y (altura del impacto)

xxy 42 2 66 xy

).,.( 8131

Interpretación:

31.x 816316 .. y

El proyectil recorrió una distancia horizontal aproximada de 1.3 kilómetros e impactó en la montaña a una altura

aproximada de 1.8 kilómetros.

36

FUNCI ON RAI Z CUADRADA

37

Función Raíz Cuadrada Análisis de la gráfica de xxf )(

Dominio: ,0

Rango: ,0

Es creciente en todo sudominio

No es función par ni funciónimpar, porque los elementos de su dominio no satisfacen ninguna

de las dos definicionesIntersecto x: (0,0)Intersecto y: (0,0)

3 6 9 12

-6

-3

3

6

x

y

y = root(2,x)

38

Transformación de funciones Generalidade

s:Si se tiene una función f ,

la función: ( ) ( )g x a f bx c d

Expresada como transformación de f(x):

( ) cg x a f b x d

b

Se tiene:Dilatación, contracción horizontal y reflexión con eje y=Desplazamiento horizontal:

Desplazamiento vertical:

b

Dilatación, contracción vertical y reflexión sobre el eje x=

a

d

c/b

39

Función Raíz Cuadrada

Bosquejar y analizar la gráfica de 432)( xxf Ejemplo 7:

-3 3

-3

3

x

yy = root(2,x)

Pasos a seguir:

-3 3

-3

3

x

y

y = root(2,x)

y = root(2,(x+3))

xxf )(1

3)(2 xxf

Se traslada )(1 xf tres unidades a la izquierda

40

Función Raíz Cuadrada

Ejemplo 7: (continuación): 432)( xxf

-3 3

-3

3

x

y

y = root(2,(x+3))y = 2*root(2,(x+3))

-3 3

-3

3

x

y

y = 2*root(2,(x+3))

y = 2*root(2,(x+3))-4

)(3 xfSe multiplican las ordenadas de )(2 xf por dos.

Se traslada )(3 xf cuatro unidades hacia abajo.

)(4 xf

41

Función Raíz Cuadrada

Ejemplo 7: (continuación): 432)( xxf

-3 3

-3

3

x

yy = 2*root(2,(x+3))-4 Dominio: ,3

Rango: ,4

Creciente en todo su dominio

Intersección x: (1,0) Intersección y: ( , . )0 0 5