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Profesor: Javier Trigoso T.
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INTRODUCCIÓN
Las relaciones entre las variables dependiente e
independiente de una función no siempre siguen una
forma de crecimiento lineal. Una modalidad común de
estas relaciones es la familia de las llamadas
funciones cuadráticas, cuya representación gráfica
es una parábola.
Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas
disciplinas como, por ejemplo, Física y Economía. Son útiles para describir
movimientos con aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y
costos de empresas, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la
experimentación.
Para dar un ejemplo, si un jugador de un equipo
de futbol patea una pelota, como se ve en la
figura, y si la resistencia del aire y otras fuerzas
externas son mínimas, entonces la trayectoria de
la pelota es una parábola.
DEFINICIÓN
Las funciones de la forma 2f(x) ax bx c , donde a, b y c
son números reales, con a ≠ 0, se llaman funciones cuadráticas.
La representación gráfica de las funciones 2f(x) ax
, a ≠ 0, es una parábola. Si a > 0, la parábola está
abierta hacia arriba; si a < 0, la parábola está abierta
hacia abajo. El número a indica la abertura de la
parábola; es más abierta cuanto menor sea a en valor
absoluto. En la figura se muestran las
representaciones gráficas de 2f(x) ax , con a = ±
0,5, ± 1, ± 2.
El dominio de cualquier función lineal es todo ℛ y son continuas en toda la recta
real.
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Su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas, es decir, es una función
par: f(x) = f(-x)
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Conocida la gráfica de la parábola 2f(x) ax , las gráficas de las parábolas del tipo 2f(x) ax c se obtienen trasladando verticalmente la parábola c unidades hacia
arriba si c > 0, y c unidades hacia abajo si c < 0. Por lo tanto su vértice es (0; c)
La representación gráfica de una función 2f(x) ax bx c ; a ≠ 0 es una parábola
con su vértice desplazado tanto
horizontalmente como verticalmente. Para
encontrar el vértice se puede utilizar la
técnica de completar cuadrados.
Así:
2 2
2 2
2
2 2
b cf(x) ax bx c a x x
a a
b b ca x
2a a4a
b 4ac ba x
2a 4a
Si llamamos b
h2a
y 24ac b
k4a
Obtenemos 2
f(x) a x h k , que es la
llamada forma estándar de la función cuadrática.
La gráfica de la función 2
f(x) a x h k , es una parábola con vértice
en V h;k . Si a > 0 se abre hacia arriba y si a < 0 se abre hacia abajo.
RAÍCES DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los
cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente
corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje X.
Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje X en:
a > 0
a < 0
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2 raíces 1 raíz ninguna raíz
EJEMPLOS:
01. Grafica y analiza la función 2f(x) (x 3) 4
Como el coeficiente principal es
positivo (> 0), esto nos indica que la
parábola se abre hacia arriba.
El vértice de la parábola es el
punto (-3; -4)
Los interceptos con los ejes son:
o X: (-5; 0) , (-1; 0)
o Y: (0; 5)
02. Grafica y analiza la función 2f(x) (x 3) 4
Como el coeficiente principal es
negativo (< 0), esto nos indica que
la parábola se abre hacia abajo.
El vértice de la parábola es el
punto (3; 4)
Los interceptos con los ejes son:
o X: (1; 0) , (5; 0)
o Y: (0; -5)
Vértice (-3;-4)
Vértice (3;4)
Según el signo del discriminante
podemos distinguir:
Δ > 0, la ecuación tiene dos
soluciones, por tanto la parábola cortara
al eje X en dos puntos: x1 y x2.
Δ = 0, la ecuación tiene una única
solución en x1, la parábola solo tiene un
punto en común con el eje X, el cual es
el vértice de la función donde las dos
ramas de la parábola confluyen.
Δ < 0, la ecuación no tiene solución
real, y la parábola no corta al eje X.
IMPORTANTE
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VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Si una función cuadrática tiene vértice (h; k), entonces la función tiene un valor
mínimo en el vértice si la parábola se abre hacia arriba y un valor máximo se abre hacia
abajo.
Sea f una función cuadrática con forma estándar 2f(x) a(x h) k . El valor
máximo o mínimo ocurre en x = h.
Si a > 0, entonces el valor
mínimo de f es f(h) = k
Si a < 0, entonces el valor
máximo de f es f(h) = k
… PARA LA CLASE
01. La gráfica de la función 2f(x) x 3 no pasa por el:
A. I y II cuadrante
B. I y III cuadrante
C. II y IV cuadrante
D. III y IV cuadrante
02. Halla el mayor de los coeficientes
de la función cuadrática f(x), si se sabe
que f(1) = 5, f(-1) = 3y f(0) = 3
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
03. Obtén las coordenadas del vértice
de la parábola 2f(x) 2x 12x 3 A. (3; 12) B. (3; -12)
C. (3;-15) D. (3; 15)
04. Halla el valor que genera el
mínimo valor de la función 2f(x) 3x 8x 3
A. -8/3 B. -4/3
C.4/3 D. 8/3
05. Si 1 es el mínimo valor de la
función 2f(x) x bx 5 , halla el valor
de b
A.± 4 B. -3; 4
C. -4; 3 D. ± 3
06. Dada la función cuadrática 2f(x) (x a) 6a . Halla el mínimo valor
de f(x), si 8a – 21 es la imagen de 2.
A. -30 B. -24
C. -18 D. -15
07. Una parábola corta el eje de
abscisas en x = –1 y en x = 3. La
ordenada del vértice es y = –4.
¿Cuál es la ecuación de esa parábola?
A. 2f(x) x 2x 3
B. 2f(x) x 2x 3
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C. 2f(x) x 2x 3 D. 2f(x) x 2x 3
08. Determina el valor de k para el
cual el punto máximo de la gráfica de 2f(x) 5x 3x 2k tiene el mismo
valor para las coordenadas X e Y
A. 3/20 B. -3/10
C. -9/20 D.-3/40
EL MODELO MATEMÁTICO Y LAS FUNCIONES Hemos observado que el vértice de una parábola representa en el plano cartesiano, un
punto máximo o mínimo de la curva, dependiendo del tipo de concavidad de la función
cuadrática correspondiente. Tomando en cuenta lo anterior y el fundamento teórico
que caracteriza a las funciones cuadráticas, veremos a continuación algunas
aplicaciones de la función cuadrática.
EJEMPLO 1
Los alumnos de un colegio quieren ir de excursión. Una
empresa de turismo les cobra S./70 por persona si van 40
alumnos y les rebaja S/.1 por persona por cada alumno
adicional. Además, acepta que viajen 65 alumnos como máximo
y no la organiza si viajan menos de 40. ¿Cuántos alumnos
deben ir de excursión para que la empresa de turismo realice
el mejor negocio?
Solución
Elaboramos una tabla para obtener una expresión que nos permita hallar el
precio total que cobra la empresa de turismo según la cantidad de alumnos que
van de excursión.
Cantidad total de alumnos Precio por alumno (S/.) Precio total (S/.)
Si van 40 alumnos: 40 70 40.70
Si va 1 alumno más: 40 + 1 70 – 1 (40 + 1).(70 – 1)
Si van 2 alumnos más: 40 + 2 70 – 2 (40 + 2).(70 – 2)
Si van 3 alumnos más: 40 + 3 70 – 3 (40 + 3).(70 – 3)
Si van x alumnos más: 40 + x 70 - x (40 + x).(70 – x)
Observamos que el precio total depende de la cantidad de alumnos x que vayan.
Resolvemos f(x) = (40 + x).(70 – x) y obtenemos 2f(x) x 30x 2800
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Como queremos averiguar el mayor precio total que puede cobrar la empresa
de turismo por la excursión, buscamos el máximo de la función.
Hallamos el vértice de la parábola: 2
2
2
2
f(x) x 30x 2800
f(x) (x 30x ) 2800
f(x) (x 30x 225) 2800 225
f(x) (x 15) 3025
El vértice es V(15; 3025), este es el punto
máximo de la función.
Interpretamos:
El mayor precio total (S/.3 025) se puede
cobrar cuando viajan 15 alumnos más.
Para que la empresa de turismo realice el mejor negocio, deberán ir de excursión
40 + 15 = 55 alumnos.
EJEMPLO 2
En el laboratorio productor de crías de trucha se requiere colocar canales
rectangulares de plástico para el aporte de agua de río a los tanques principales de
producción de juveniles. Se tiene una lámina larga, rectangular de PVC, de 12
pulgadas de ancho. Se doblan dos orillas hacia arriba para que queden
perpendiculares al fondo. ¿Cuántas pulgadas deben quedar hacia arriba para que el
canalón tenga capacidad máxima?
Solución
En la figura se ve el canalón. Si x representa el número de
pulgadas verticales, en cada lado, el ancho de la base del
canalón es 12 - 2x pulgadas. La capacidad será mayor
cuando el área de la sección transversal del rectángulo
cuyos lados son x y 12 - 2x, tenga su valor máximo. Si f(x)
representa esta área, se obtiene que:
2
2
f(x) x 12 2x
f(x) 12x 2x
f(x) 2x 12x
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Como f es función cuadrática, el valor máximo de f se obtiene en
b 12x 3 h 3
2a 2( 2)
Por lo tanto, se deben doblar hacia arriba 3 pulgadas de cada lado para alcanzar la
capacidad máxima.
Otra posibilidad para la solución es que la gráfica de la función f(x) = x(12 - 2x)
tiene abscisas en el origen x = 0 y x = 6. Por lo tanto, el promedio de ellas,
0 6x 3
2
es la abscisa del vértice de la parábola, y el valor que produce la capacidad máxima.
… PARA LA CLASE
09. Un rectángulo tiene 20 cm de
perímetro. Escribe la función que da el
área de ese rectángulo en función de
su base x.
A. 2A(x) x 10x B. 2A(x) 10x x
C. 2A(x) x 10 D. 2A(x) 10 x
10. En el problema anterior, ¿cuál es
el dominio de esa función?
A. (10; 0) B. (0; 8)
C. (0; 10) D. (0; 8)
11. Si la función ganancia de una
empresa de ventas está dada por 2G(x) 2x 60x 1500 , “x” en soles.
Encuentra la ganancia máxima.
A. 15 B. 1 500
C. 1 650 E.1 950
12. La utilidad que se
obtiene al producir y
vender maletas en
determinada empresa
está dada por: 2x
U(x) 40x10
,
donde x representa el número de
maletas y U(x) está dada en soles.
Halla la utilidad al vender 60 maletas.
A. S/.1 840 B. S/.1 960
C. S/.2 040 D. S/.2 060
13. En el problema anterior, si se
quiere obtener la máxima utilidad
posible, ¿cuántas maletas hay que
producir y vender?
A. 80 B. 100
C. 150 D. 200
14. Una pelota es lanzada
verticalmente hacia arriba desde lo
alto de un edificio. La altura que
alcanza viene dada por la fórmula 2h(t) 80 64t 16t (t en segundos y
h en metros). Halla la altura del
edificio.
A. 60 m B.80 m
C. 90 m D. 100 m
15. En el problema anterior, ¿En qué
instante alcanza su máxima altura?
A. 1 s B. 2 s
C. 3 s D. 4 s
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… PARA LA CASA
01. Si el punto P (2; m) pertenece a
la función cuadrática 2f(x) 2x 5x 1 .
Encuentra el valor de m.
A. 11 B.13
C. 15 D.17
02. La función 2f(x) ax bx a b
cumple f(0) = 12 y f(-1) = 14.
Calcula f(2)
A. 20 B. 30
C. 40 D. 50
03. Halla el máximo valor que puede
tomar 2f(x) x 10x 21 A. 2 C. 3
D. 4 E. 5
04. Halla el menor valor entero del
rango de f, 2f(x) 3x 5x 2
A. -6 B.-5
C.-4 D. -3
05. Halla el rango de la función
definida por 2f(x) 4x 16x 17
A. 1;1 B. 1;
C. 1; D. 1;
06. Si 1 es el mínimo valor de la
función 2f(x) x bx 5 , halla el
valor de b
A.± 4 B. -3; 4
C. -4; 3 E. 4
07. Si el máximo valor de la función 2f(x) x 6x m es 20. Halla el
valor de m.
A.-11 B. -10
C. 10 D. 11
08. Halla a + h, si (h; -5) es el vértice
de la parábola representada por la
función 2f(x) ax 4ax 7 A. -2 B.-1
C. 1 D. 2
09. Si f es una
función definida por 2f(x) ax bx cuya
gráfica se muestra en la
figura. Entonces el valor
de M = ab es:
A.-8 B. -6
C. 6 D. 8
10. Determina el mayor valor entero
de “n”. Si la gráfica de la función: 2f(x) x nx 1 , es
A. -1
B. -2
D. 1
E. 2
11. Halla el valor de m ( < 0), de
acuerdo a la gráfica de la función 2f(x) (4 m)x 2mx 2
A. -6
B. -4
C.-2
D. 2
x
y
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12. ¿Qué valores debe tomar a para
que la función 2f(x) ax (a 3)x 1
presente la siguiente gráfica?
A. a 0;1 9;
B. a 0;9 C. a ,1
D. a ;1 9;
13. La gráfica de la función
22f(x) x bx c
3 intercepta al eje X
en los puntos (-2; 0) y (5; 0) y al eje Y
en el punto (0; k). Entonces el valor de
b + c + k es: A. 26/5 B. 27/2
C.-46/3 D. 9/4
14. Si la función ganancia de una
empresa de ventas está dada por 2G(x) 2x 60x 1500 , “x” en soles.
Encuentra la ganancia máxima.
A. 15 B. 1 500
C. 1 650 E.1 950
15. Un fabricante de muebles puede
producir sillas a un costo de S/.10 cada
una y estima que, si son vendidas a S/.x
cada una, los usuarios comprarán
aproximadamente 80 – x sillas cada
mes. Expresa la utilidad mensual U del
fabricante en función del precio
A.U(x) (x 10)(80 x)
B. U(x) (x 10)(80 x)
C. U(x) 10x(x 80)
D. U(x) (x 10)(x 80)
16. De un cuadrado de 4 cm de lado,
se cortan en las
esquinas triángulos
rectángulos
isósceles cuyos
lados iguales miden
x. Halla el área del
octógono que resulta en función de x.
A. 2A(x) 2x 16
B. 2A(x) 16 2x
C. 2A(x) 2x 16
D. 2A(x) 16 2x
17. En el problema anterior, ¿cuál es el
dominio de esa función? ¿y cuál su
recorrido?
A. (0;2) y (8;16) B. (0;2) y (0; 16)
C. (0;2) y (4; 16) D. (0;4) y (0; 16)
18. En un triángulo cuya base mide
10u y su altura mide 6u se encuentra
inscrito un rectángulo cuya base está
sobre la del triángulo. Si el área A de la
región rectangular se expresa como una
función de su base x, halla el máximo
valor de dicha función.
A. 21 B. 18
C. 15 D. 14
19. La diferencia de dos números es
22. Determina dichos números de tal
modo que su producto sea mínimo.
A. 11 y 11 B. -11 y 11
C. 0 y 22 D. -10 y 12
20. Un fabricante vende
mensualmente 100 electrodomésticos a
400 euros cada uno y sabe que por cada
10 euros de subida venderá 2 menos.
¿Cuáles serán los ingresos si sube los
precios 50 euros?
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A. 4 500€ B. 4 050€
C. 4 005€ D. 40 500€
21. En el problema anterior, ¿Qué
subida produce ingresos máximos?
A. 2€ B. 3€
C. 4€ D. 5€
22. Los gastos fijos mensuales de
una empresa por la
fabricación de x
televisores son
G(x) = 2000 + 25x, en
euros, y los ingresos
mensuales son
I(x) = 60x – 0,01x2, también en euros.
¿Cuántos televisores deben fabricarse
para que el beneficio (ingresos menos
gastos) sea máximo?
A. 62 B. 65
C. 620 D. 625
23. Si el número de turistas que
hace un recorrido en autobús a una
ciudad es exactamente 30, una empresa
cobra 20$ por
persona.
Por cada persona
adicional a las 30, se
reduce el cobro
personal en 0,5$.
¿Cuál es el número de turistas que debe
llevar un autobús para maximizar los
ingresos de la empresa?
A. 5 B. 35
C. 40 D.45
24. Para un partido de futbol, se
sabe que a S/.15 la entrada asistirían
25 000 personas. Pero si cada entrada
se vende por un
monto entre S/.15
y S/.40, por
experiencias
anteriores, se sabe
que la asistencia
disminuye en 500 personas por cada sol
que se aumente al valor de la entrada.
Halla la función T que proporciona el
ingreso de la
taquilla.
A. 2T(x) 400000 15000x 500x
B. 2T(x) 375000 17500x 500x
C. 2T(x) 35000 17000x 100x
D. 2T(x) 25000 50000x 100x
25. Se estudiaron los efectos
nutricionales sobre ratas que fueron
alimentadas con una dieta que contenía
un 10% de proteína. La proteína
consistía en levadura y harina de maíz.
Variando el porcentaje P de levadura en
la mezcla de proteína, se estimó que el
peso promedio ganado (en gramos) de
una rata en un período fue de f(p) ,
donde: 21f(p) p 2p 20
50 ;
0 ≤ p ≤ 100. Encuentra el máximo peso
ganado.
A. 19 gr B.20 gr
C.21 gr D. 22 gr
www.issuu.com/sapini/docs/