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UNIDAD 7: RESOLVAMOS DESIGUALDADES.
Funciones en general.
1.1 Introducción.
En general, el término función se utiliza para indicar la relación entre dos cantidades.
Así decimos que la fuerza de un cuerpo varía en función de la aceleración. Esto
significa que al variar la aceleración, varía la fuerza. Por tal motivo, tanto la fuerza
como la aceleración se conocen como variables. Otros ejemplos son los siguientes: la
presión que soporta un cuerpo bajo el agua está en función de la profundidad; la
energía cinética de un cuerpo está en función de la velocidad; la energía potencial de
un cuerpo está en función de la altura a la que se encuentra; la fuerza de atracción
gravitacional entre 2 cuerpos, está en función de la distancia entre ellos. Las
relaciones entre estas cantidades pueden expresarse como una fórmula matemática.
Veámoslo.
FORMULA VARIABLES
F = ma F es la fuerza de un cuerpo con una aceleración a; m es la masa del
cuerpo, que no es una variable: es una constante.
P = Dgh P es la presión que soporta un cuerpo a una profundidad h bajo el
agua. D y g son constantes: la densidad del agua y la gravedad.
Ec = 0.5mv 2 Ec es la energía cinética de un cuerpo que se mueve a una velocidad
v. m es la masa del cuerpo.
Ep = mgh Ep es la energía potencial de un cuerpo que se encuentra a una altura
h. m y g son la masa del cuerpo y la gravedad.
Fg = Gm1m2/d
2 Fg es la fuerza gravitacional entre 2 cuerpos separados por una
distancia d. Las masas de los cuerpos son m1 y m2. G es la constante
gravitatoria.
En toda relación de variables, una se denomina variable dependiente y la otra se
denomina variable independiente. Se le llama dependiente porque su valor depende
del valor que tome la independiente. Por lo general, estas relaciones se escriben de
manera que del lado izquierdo de la igualdad quede la dependiente y en el derecho
quede la independiente
Para el caso en Ec = 0.5mv2, Ec es la variable dependiente, mientras que v es la
independiente. Calculemos la Ec a varias velocidades para un cuerpo de 10
kilogramos. La velocidad estará dada en m/s, pero omitiremos las unidades.
V Ec = 0.5mv2
5 Ec = 0.5 (10)(5)2 = 5(25) = 125
10 Ec = 0.5 (10)(10)2 = 5(100) = 500
15 Ec = 0.5 (10)(15)2 = 5(225) = 1125
20 Ec = 0.5 (10)(20)2 = 5(400) = 2000
No toda relación es función
Aunque dijimos que en general el término función se utiliza para indicar la relación
entre dos cantidades, resulta que NO TODA RELACION ES FUNCION. Una relación
es función si cumple las siguientes condiciones:
1. todos los elementos del conjunto de partida participan de la relación
2. cada elemento del dominio de la relación participa sólo una vez. Es decir que en
una función cada elemento del dominio tiene sólo un elemento en el rango.
1
2
5
7
1
4
8
9
1
2
5
1
4
8
9
1
2
5
7
1
4
8
9
Esta relación no es función porque no cumple con la primera condición.
Hay un elemento en el conjunto de partida que no participa de la
relación: el número 7.
Esta relación no es función porque no cumple con la segunda condición. Hay un elemento en el conjunto de partida que participa 2 veces de la relación: el número 5.
Esta relación sí es función, pues cumple con las 2 condiciones:
todos los elementos del conjunto de partida participan de la
relación, y cada elemento del dominio participa sólo una vez
Consideremos la segunda condición: cada elemento del dominio tiene sólo un
elemento en el rango. Y tomemos 2 relaciones en los reales:
1. y = X2 2. y = X
En el primer caso, cada valor del dominio, X, tiene sólo un valor en el rango (y) Por lo
tanto en el primer caso tenemos una función.
En el segundo caso, cada valor del dominio (X) tiene 2 en el rango (y) Veámoslo. Si
X = 4, entonces y tomará dos valores: 2 y –2. Por lo tanto la relación NO es función.
Recuerda que... todo número positivo tiene 2 raíces: una positiva y otra negativa. Las
raíces de 16 son 4 y –4: 42 = 16, (-4)2 = 16.
Gráficamente resulta fácil determinar si una relación es función. Si existe una vertical
que corte a la gráfica en 2 puntos o más, la relación no es función. Esto debido a que
un elemento del dominio tiene 2 en el rango.
Línea vertical
Las 2 relaciones anteriores NO son funciones, porque la vertical corta los gráficos en 2 puntos.
En cambio las relaciones siguientes sí son funciones.
Tracen verticales
1.2 Funciones reales y de variable real
Trabajaremos ahora con funciones en el plano cartesiano, en ℜXℜ. Es decir que el conjunto de
partida y llegada serán los reales. Aunque consideraremos casos en los que el dominio sea sólo
una parte de los reales.
Trataremos funciones en las que y sea una función de X. Por ejemplo: y = X2 + 5X + 6. En
notación funcional se escribe así:
.
Recordemos que... el dominio son los valores que puede tomar X (la variable independiente); y
el rango son los valores que puede tomar y(la dependiente)
Dos clases de funciones con dominio restringido.
1. Cuando la variable independiente está dentro del signo radical.
Ya vimos que la relación y = X no es una función. Esto debido a que un número positivo
tiene 2 raíces, lo que hace que a un valor del dominio le correspondan 2 en el rango. Pero si
tomamos sólo las raíces positivas o las negativas, entonces la relación es una función. Es decir
que son funciones:
y = + √ X y y = – √ X.
La gráfica de y = X es:
y = + X
f(x) = X2 + 5X + 6.
En la gráfica podemos observar que para y = + X y y = – X, la X sólo toma valores
desde CERO hasta el infinito. Es decir que el dominio está restringido a [0, +∞[ Esto se debe
a que la raíz de un número negativo NO existe: es imaginario.
Por lo anterior se tiene que en toda función en la que la variable independiente
aparezca dentro del signo radical, el dominio es restringido: es sólo parte de los reales.
¡¡ Ojo !! En los ejemplos, discusiones y prácticas de esta sección, sólo
trabajaremos con la raíz positiva.
2. Cuando la variable independiente está en el denominador.
Sabemos que la división entre CERO no está determinada. Sea la función siguiente:
3X + 6.
X2 – 5X + 6.
En esta función, la variable X aparece en el denominador. Por lo tanto, los valores de X que
hacen CERO el denominador, no pertenecen al dominio. Al factorar, los valores son X = 2 y X
= 3. Estos elementos no pertenecen al dominio.
Ejemplos. Encontrar dominio, rango y el gráfico de las funciones siguientes: 1. f(x) = X + 2.
2. f(x) = X – 2. 3. y = 2X – 4 4. y = 3 – X 5. y = 2 – X 6. f(x) = X2 – X – 6
7. y = 5/(x – 3) 8. y = 4/( X2 – 4)
Solución.
f(x) = X + 2. En esta función, X tomará valores desde CERO al +∞. Ese es el dominio.
La variable dependiente, y, tomará su primer valor cuando X = 0. Se tiene que para X = 0, y =
2. El gráfico se inicia en el punto (0, 2) y continúa indefinidamente. Por lo tanto el rango es [2,
+∞[
Otro punto: cuando X = 4, y = 4.
El gráfico es el siguiente:
y = – X
f(x) =
f(x) = X – 2. El dominio es [0, +∞[
La variable dependiente, y, tomará su primer valor cuando X = 0. Se tiene que para X = 0, y =
–2. El gráfico se inicia en el punto (0, –2) y continúa indefinidamente. Por lo tanto el rango es
[–2, +∞[
El gráfico cortará al eje X. ¿En qué punto lo hará? Cuando una gráfica corta al eje X, el valor de
y es cero. Es decir que: f(x) = 0. Por lo tanto:
X – 2 = 0.
X = 2. Si elevamos al cuadrado (ambos miembros), se anula el radicando y obtenemos:
X = 4.
El gráfico corta al eje X en X = 4. Es decir, en el punto (4, 0)
El gráfico es el siguiente:
Este es el punto (0, 2)
2
4
4
-2
4
Estamos considerando sólo las raíces
positivas. De lo contrario no tendríamos una
función, sino una relación.
No olvidemos que estamos tomando
en cuenta sólo las raíces positivas.
y = 2X – 4 Observemos que 2X – 4 está dentro del signo radical. Por lo tanto 2X – 4
debe ser igual o mayor que CERO.
2X – 4 ≥ 0 2X ≥ 4 X ≥ 4/2 X ≥ 2.
El dominio es: [2, +∞[
Cuando X tome su menor valor (2), y
tomará el valor de cero. El gráfico arranca
en (2, 0) y se extiende hacia el infinito. El
rango es: [0, +∞[
Un punto también importante: si X = 10, y
= 4.
y = 3 – X En esta función el dominio es [0, +∞[
Para X = 0, y = 3. La gráfica arrancará en el punto (0, 3)
Calculemos el rango. El primer valor que tomará y es 3. ¿Qué ocurrirá después?... y se hará
cada vez más pequeño. Veamos la tabla siguiente:
Valor de X 1 4 9 16 25 36 49
Valor de y 2 1 0 -1 -2 -3 -4
¿Corta el gráfico al eje X?... Sí. En la tabla podemos ver que la gráfica pasa por el punto (9, 0)
Es decir que corta al eje X en X = 9. Igualando a cero se llega a la misma conclusión:
3 – X = 0 – X = –3 X = 3 Al elevar al cuadrado obtenemos : X = 9
2 10
4
La gráfica arranca
en (0, 3) y pasa por (9, 0)
y = 2 – X 2 – X debe ser cero o mayor que cero:
2 – X ≥ 0 – X ≥ –2 X ≤ 2 Observa que la desigualdad se invierte.
Por lo tanto, el dominio es: ] - ∞, 2 ]
Para X = 2, y = 0. La gráfica arranca en (2, 0)
Para el rango, veamos el comportamiento de y a medida que X decrece:
Valor de X 2 1 0 -2 -7 -14 -23
Valor de y 0 1 2 3 4 5
Los valores de y arrancan de cero y aumentan indefinidamente: el rango es: [0, +∞[
La gráfica arranca en (2, 0), X tomará valores hacia - ∞, y y hacia + ∞. Además, de acuerdo
con la tabla, la gráfica corta el eje y en .
9
2
3
f(x) = X2 – X – 6 X2
– X – 6 debe ser igual o mayor que cero: X2 – X – 6 ≥ 0
Como ya se vio, una desigualdad cuadrática se resuelve encontrando las raíces, que
son las fronteras, y evaluado dónde el polinomio es positivo o negativo. En este caso
sólo nos interesan las zonas en las que el trinomio es positivo: mayor o igual a cero.
Mediante la fórmula general se llega a que las raíces de X2 – X – 6 son –2 y 3. estas son las
fronteras, y están incluidas. Probemos un valor dentro de cada intervalo:
En ]-∞, –2] tomemos el -4: X2 – X – 6 = (-4)
2 – (-4) – 6 = 14: 14 > CERO (positivo)
En [ –2, 3] tomemos el CERO: X2 – X – 6 = (0)
2 – (0) – 6 = -6 (negativo)
En [ 3, +∞[ tomemos el 4: X2 – X – 6 = (4)
2 – (4) – 6 = 6 (positivo)
Lo anterior se resume en la tabla siguiente:
-∞ –2 3 +∞
X2 – X – 6 + – +
Por lo tanto, X2 – X – 6 ≥ 0 es cierto en ]- ∞, –2] y [ 3, +∞[
El dominio es: ]-∞, –2]+[ 3, +∞[
Calculemos el rango. Para X = -2, y = 0; para X = 3, y = 0. El rango es [ 0, +∞[
El gráfico comprende 2 curvas: una arranca en (-2, 0) y la otra arranca en (3, 0). ¿Hacia dónde
se abrirán? La respuesta es evidente, pero una tabla de valores nos orientará mejor. Los valores
se tomarán dentro de los intervalos.
Valor X -5 -4 -3 -2 3 4 5 6
Valor y 4.9 3.7 2.4 0 0 2.4 3.7 4.9
La que arranca en (-2, 0) se abre hacia la izquierda; la que arranca en (3, 0) se abre hacia la
derecha.
El gráfico es el siguiente:
-2 3
Sabemos que una curva corta al eje y en X = 0. Si en la función y = X2 – X – 6, hacemos X =
0, obtenemos –6, que es una raíz inexistente. Con esto se explica que el gráfico NO CORTA al
eje y. Por lo tanto las curvas deben abrirse sin tocar al eje y.
y = 5
(x – 3)
El dominio son los reales excepto el 3: ℜ – 3
Calculemos el rango. Puede verse que si X es mayor que 3, y es positiva; y si X es menor que 3,
y es negativa. .y puede tomar cualquier valor, pero nunca el de cero; esto puede verse al
despejar X: se obtiene 5/y + 3. Por lo tanto, el rango son todos los reales, excepto el
cero. Esto quedará más claro con la tabla de valores que construiremos para el gráfico.
Para construir el gráfico se debe tomar en cuenta que X jamás tomará el valor de 3. Es decir que
X = 3 es una recta que jamás la tocarán las curvas. Dicha recta (X = 3) se conoce como
asíntota.
Para construir el gráfico, tomamos valores que se aproximen a 3, tanto por la izquierda como
por la derecha. En ambos casos deben tomarse valores muy cercanos a la asíntota.
Valores que se aproximen a 3 por la izquierda.
Valor de X -5 -2 0 1 2 2.5 2.7 2.9 2.99 2.999
Valor de y -0.6 -1 -1.7 -2.5 -5 -10 -16.7 -50 -500 -5000
Se aprecia que al acercarnos por la izquierda a la asíntota, y toma valores negativos crecientes
(en valor absoluto) Esto nos da la primera parte de la gráfica. La otra parte se obtiene al
acercarnos a 3 por la derecha. También la tabla nos da el punto donde el eje y es cortado: (, -
1.7)
Valores que se aproximen a 3 por la derecha.
En esta función la X no puede tomar el valor de 3, pues para tal valor no está
determinada. Pero puede tomar cualquier otro valor.
1 2 3
La recta X = 3 es una asíntota de la función en estudio.
Una asíntota es una recta a la cual se aproxima una curva,
pero nunca la toca.
5
(x – 3)
Valor de X 11 8 6 5 4 3.5 3.3 3.1 3.01 3.001
Valor de y 0.6 1 1.7 2.5 5 10 16.7 50 500 5000
El gráfico es el siguiente:
.........................................................................................................................
...
Si en la función tuviéramos en el denominador 3 – X, la gráfica se invierte, tendríamos:
1 2 3
Vimos que y nunca tomará el valor de
cero. Es decir que y = 0 es otra asíntota.
Pero y = 0 es el eje X. El eje X es otra
asíntota, al igual que X = 3.
-1.7
Aquí es cortado el
eje y
y = 4/( X2 – 4)
El dominio son los reales excepto 2 y –2.
Para el rango despejemos X. Obtenemos 4 / y + 4. Aquí y no puede tomar valores entre cero y
–1, aunque sí éste último. Por ejemplo, para y = -0.5, obtenemos –8+4 = -4, que no tiene raíz.
Por lo tanto, el rango son los reales excepto ] -1, 0 ].
Para construir el gráfico tomaremos valores a la izquierda de –2, entre –2 y 2, y a la derecha de
2. Estos valores los tomamos sólo para ver la tendencia, ya que es muy difícil hacer una gráfica
con tanta precisión. Además, bastan unos 3 ó 4 valores.
Valores a la izquierda de –2.
Valor de X -5 -4 -3 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.01 -2.001
Valor de y 0.19 0.33 0.8 1.8 2.27 3.1 4.8 9.8 100 1000
Valores entre –2 y 2.
Valor de X -1.99 -1 0 1 1.99
Valor de y -100 -1.3 -1 -1.3 -100
El binomio X2 – 4 es una diferencia de cuadrados. Factorada queda:
(X – 2)( X + 2) Por lo tanto las raíces son 2 y –2: son las asíntotas.
La tabla anterior nos da esta parte del gráfico. X = -2
Asíntota
Como ya se ha dicho, para determinar en qué punto es cortado el eje y, se hace X = 0. Significa
que el punto (0, n) es donde una curva corta al eje y. En la tabla, ese punto es (0, -1) La
segunda parte del gráfico es el siguiente:
Valores a la derecha de 2.
Valor de X 2.01 3 4 10
Valor de y 100 0.8 0.33 0.04
De acuerdo con las 3 tablas, tenemos 3 curvas. Además se tienen 3 asíntotas: X = 2, X = –2 y
y = 0 (el eje X)
El gráfico es el siguiente
-1
Asíntota X = -2 Asíntota y = 0
Asíntota X =
2
Actividad 1. En cada caso encuentra dominio, rango y el gráfico de la función.
1. f(x) = X + 3. 2. f(x) = X + 5. 3. f(x) = X – 2. 4 y = X – 4. 5. f(x) = X – 5.
6. f(x) = -X + 3 7. y = 3X – 9 8. f(x) = X – 2. 9. y = 4 – X. 10. y = –4 –
X.
11. y = 2 – X 12. y = –2 – X 13. y = X2 + X – 6 14. y = X2
+ 2X – 8
15. y = 9/( X2 – 9) 16. y = 9/( 9 – X2
) 17. y = –6/( X2 + X – 6) 18. y = 6/( X2
+ X –
6)
19. f(x) = 15/( X2 + 2X – 15) 20. f(x) = –15/( X2
+ 2X – 15)
discusión 1. Encontrar el dominio de y = 1 /[(X4 – 4 X2
)( X – 3)]
-1 Esta parte de y no
pertenece al rango, es:
] -1, 0 ]