II SEMINARIO INTERNACIONAL DE

OLIMPIADAS MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA

Milton F. Donaire Peña

Taller sobre Olimpiadas Matemáticas – Parte III

Apoyo: Freddy Ochoa

jaimeuni2005@hotmail.com

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REFLEXIÓN EN UN ESPEJO

Deformando imágenes.

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ESPEJO ESFÉRICO

Deformando imágenes.

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ESPEJO ESFÉRICO

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INVERSIÓN DE UNA RECTA

Espejo Esférico

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INVERSIÓN DE UNA RECTA

Espejo Esférico

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INVERSIÓN DE UNA RECTA

Espejo Esférico

TODA RECTA SE INVIERTE EN UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR EL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA DE MAGNUS

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INVERSIÓN DE UN PUNTO

Circunferencia de Magnus

O

P

P’

O, P’, P: Colineales

T, P’, L: Colineales T

LR

(OP)(OP’) = R2

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INVERSIÓN DE UNA RECTA

Cm

A

B

P

A’

O

B’

P’

OP’: Diámetro

Probar:

OP’ AB

A, B y sus inversos A’, B’ Determinan un cuadrilátero inscriptible

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INVERTIR UNA CIRCUNFERENCIA

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INVERTIR UNA CIRCUNFERENCIATODA CIRCUNFERENCIA QUE NO PASA POR EL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA DE MAGNUS SE INVIERTE EN OTRA CIRCUNFERENCIA.

Cm

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TEOREMA 1El centro de una circunferencia y el centro de su circunferencia inversa no son puntos homólogos

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TEOREMA 2Una circunferencia Ortogonal a la circunferencia de Magnus se invierte en sí misma.

O

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TEOREMA 3La medida del ángulo entre dos circunferencias y entre sus inversas es la misma.

Cm

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GRACIAS

jaimegeomat@yahoo.es

ProblemaEn el gráfico se muestra una elipse, demostrar que BN – NC = AM – MD; BC // Eje Mayor

C

A

B

D

N

M

C

D