Post on 13-Apr-2015
GEOMETRÍA
ELEMENTAL PARA TRAZOS
Máximo Cussein Cárdenas
No hay duda de que las gráficas computarizadas pueden mejorarla enseñanza y el entendimiento de la mayoría de los tópicos geométricos;no se requiere introducir nuevos tópicos para hacer uso de estas nuevas herramientas.En mi opinión, los viejos tópicos vistos desde un ángulo contemporáneo pueden ser tanfrescos y estimulantes para los alumnos, como los nuevos. ¡Y son muchos! En muchospaíses hay una tendencia a tomar a la ligera este hecho, posiblemente porque la enseñanzade la ciencia ha sido más bien descriptiva y no explicativa, es decir, no matemática.
Por el cual pongo en línea este folleto. Para los que gusten de geometría.
TRIÁNGULOEs la figura geométrica (conjunto no convexo) formada alunir tres puntos no colineales mediante segmentos.
Notación: ABC
Regióninterior
Región
exterior
al ABRegión
exterior
al BC
Región
exterior
al AC
A
B
C
a
b
c
+ + = 180º
a + b + c = 360º
Teorema:
Observación: El triángulo como conjunto no convexo nopresenta región, sino determinan regiones. Es distinto decirtriángulo a decir región triangular.
Gráficamente:Región Triangular
A
B
C
Esta constituida
por
A
B
C
TriánguloABC
Región interiordeterminada por
el triánguloABC
Teorema:
X
X = +
Teorema: Si a > cPropiedad decorrespondencia
>
a c
Teorema:Propiedad de existencia
a
b
c
A C
B
Si: a > b > c
b - c < a < b + c
Propiedad:
X
X = + +
Propiedad:
+ = +
Propiedad:
x
y
+ +y =
x
Propiedad:Si:
x
y
x + +y =
Propiedad:Si:
x
y
x y=
Propiedad:
xy
a b
x y+ > a + b
x
+
Propiedad:
= x + 180º
Propiedad:
x
y
x = y
Propiedad:
yx
+ = x + y
Si:
A
B
C
a by
x z
c
p
Si: P =a + b + c
2p < x + y + z < 2p
Si:
2
2
x
x = +
Si:
a
b
a
b
22
x
x = +
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
1.- Por la medida de sus ángulos:
A
B
C
ac
b
+ = 90º
AB y BC : Catetos
AC : Hipotenusa
Teorema dePitágoras
a + c = b2 2 2
A. Triángulo rectángulo:
B. Triángulo oblicuángulo:
a. Triángulo acutángulo b. Triángulo obtusángulo
A
B
C
a
b
c
, y : agudos
b < a + c2 2 2
A
B
C
a
b
c x
“x” es obtuso, b > a + c2 2 2
2.- Por la medida de sus lados:Escaleno Isósceles Equilátero
Lateral
(AB)
Lateral
(BC)
A C
B
La medida de sus tres ladosson diferentes.
La medida de sus dos ladosson iguales.Nota: El AC es base
La medida de sus tres ladosson iguales.
Nota:
60º60º
60º
60º
A CM A C M
BISECTRIZBisectriz Interior Bisectriz Exterior
A C
B
M
BM: Bisectrizinterior relativoal AC
A C
B
M
BM: Bisectrizexterior relativoal AC
Observación: Altura:
A C
B
No hay Bisectriz en el ABCA C
B
h
Altura: Mediana:
AC
B
h
B
AC
M
Mediatriz: Caso I Mediatriz: Caso II
A
B
C
L : Mediatriz deAC.
L : Mediatriz deAC. B
A CL
Propiedad: Propiedad: Propiedad:
x
2
x = 90° +
2
x
x = 90° -
2x
x =
BM: Mediana realtiva al AC
Propiedad: Propiedad:
Propiedad:
Si:
a b2
x90°-
a = b x = 90°-
x
90°- 90°-
Propiedad:Propiedad:
=
a b
a = b
2
x x
x = 90° -
Si:
Si:Si:
Si:
Si:
Propiedad:Si:
x = 2
B
A CM
BM: Mediana, mediatriz,bisectriz, altura.
Propiedad: Propiedad:Si: Si:
Propiedad:
a b a b a b
x
Propiedad: Propiedad: Propiedad:
n m
n = m =
n m
x
n = m x = 90º
x
x = 90º=
Congruencia de Triángulos: Son dos triángulos cuyos ángulos sonrespectivamente de igual medida y además sus lados correspondientes deigual longitud. (Ángulos y lados homólogos)
a
b
c
CA
B
a
b
c
C´A´
B´
Casos de Congruencia:
Caso: L-A-L (lado - ángulo - lado)
c
b CA
B
b
Caso: A-L-A (ángulo - lado - )ángulo
b CA
B
b
Caso: L-L-L ( - lado - )lado lado TEOREMA
TEOREMA
TEOREMA I
b CA
B
b
c
c
ac a
L
No es bisectrtizexterior
H
A´ C´
B´
A´ C´
B´
A´ C´
B´
a = b =
n m
a = b n = m a = b x = 90º
LÍNEAS NOTABLES
Ceviana Interior Ceviana Exterior
B
BM: Cevianainterior relativoal AC
B
BM: Cevianaexterior relativoal AC
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)
II
III
65
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Aplicación 2hallar “x” en:
x
Solución B
A C
D
O 60º-
60º
x
Primero: El DAB DOC (caso L-L-L)Por tanto la m ABD = m OCD = , en consecuencia lamedida del ACB = 60º -Por último, en el ABC Por teorema
x + ( + 60º) + 60º - = 180ºx = 60º
APLICACIONES DE CONGRUENCIA
O n
b
a
m
B
M
A
Si: OM es bisectriz
Teorema de la bisectriz
a = b m = n
O
A B
b a
Teorema de la mediatrizDe un segmento
De un ángulo
a = b
Es decir el AOB esisósceles de base AB
B
A C
O
El AOC es isóscelesdonde: AO = OC
El AOB COBCaso: L-L-L
A
B
CX
am n
m n
M N
y
Teorema de la base media
= y (por que MN AC)
x = 2a
En:
Si:
X
am
n
Corolario:
n = m
x = 2a
75º 15º
4a
6 2 aa
Notables aproximados:
53º/2
5a 5
37º
53º
3a
4a
aa
2a
10 a
37º/2
3a
a
25a 74º
16º
7a
24a
8º
81º
7a
2 a5
a
17a
14º
76º
a
4a
TRAZOS Y PROPIEDADESObservación: Se realizará las demostraciones más complicadas alas necesarias.
1) ¿Qué hacer en caso del siguiente ?B
A C2
1 Trazo interior:ro Se trata BM, interior y M AC formandom AMB = 2 . En consecuencia se tiene:
2 2
B
A C
C
M
2 Trazo exterior:do Análogamente al exterior se traza BM
2M
B
3 Trazo especial:ro Para ello es necesario hacer un cambio devariable: = 2
Es decir:
4 2
Resulta:
3
Primertrazo
Cevianaexterior
Civianainterior
Segundotrazo
Se trazo
2) ¿Qué hacer en un de la siguiente forma?
2
Resulta:
2
x = 60º
Aplicación 1hallar “x” en:
x
x
x
Solución:
x
x
x
a
b
x
a
A
B
E D
C
Primero se deduce que la m BCE = m BEC = x(En el EBC isósceles)Luego se deduce que m CED =Ahora el ABE DEC (caso A-L-A); por tanto a=b, elcual da como consecuencia un EBC equilátero.
CASOS ESPECIALES EN CONGRUENCIA
Congruencia en triángulos rectángulos
32 2
A
B
C
M
N
a
y
Observación:
2a
Notables:
Teorema de la mediana relativaa la hipotenusa
m m
x
x = m
a
MN no esparalelo a AC
45º
45º
60º
30º
a n
a
2n
n 3
a 2
6 2 a
7 8
Geometría Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)
SOLUCIÓN 2:
C
20º
10º
x
10º 10º+
B
AM
C
10º
x
10º 10º+
B
AM
20º
Primero trazamos MNSe nota la congruencia( ABN CMN)Caso L-A-L
En consecuencia:
C
10º
x
10º 10º+
B
A M
x
C
10º
x
10º 10º+
B
A M
xx
2x = 20º x = 10º
SOLUCIÓN 3: Hacemos un cambio de variable. X = 2
5a
3
13a
3
2
B
AD
C
N
nn = 5a
Luego: En el ABD (lo extraemos didácticamente)
3
8a
B
AD
N
5aM
5a
3
2
x
2x
B
N
H
M
4a
4a
3a
5a
5a
x
x
Recuerda: x=2en el
En el HBN (Notableaproximado de 53º-37º)
X = 37º
SOLUCIÓN 4: Hacemos un trazo exterior
a
b
2 +
a
Ax N
M
B
b
C
Por observación notamos que m MBN = m MNB = +Por tanto el MBN es isósceles.
a = b + x x = a - b
SOLUCIÓN 5: Lo primero que haremos es el cambio de variables yasignamos los ángulos de medidas iguales. ( = 2 )
24
3
3
ab
x
Luego forzamos interior y exteriormente
24
3
3
ab
x
2
b
4
B
AC M b a N
El ABC MBN Caso(L-A-L) - 3 - b
x = a + b
SOLUCIÓN 6:Recuerda:
a
x
Por tanto prolongamos BO
B
A CM
O
Por último:
a
x
B
AC
M
O
L
x
Recuerda:
a
xx = 2a
y como, en el ABM,Ay O son puntos medios.
x = 2a
3. ¿Qué trazo se debe hacer en triángulos de la siguiente forma?
B
A C
2 90º -
1 Forma:era
Se debe recordar la siguiente propiedad
2
B
90°-
N N
N N
90°- 2
90°-
ArmandoHuaccachy
Entonces trazamos BM, para formar ángulo de 2 formar unisósceles (AB = BM)
290°-
2A C
M
Como consecuencia final tenemos:
290°-
2
90°-
Ejemplos:
40º 70º 40º70º
40º
70º
20º 80º 20º 20º80º
80º
x = 20º
PROBLEMA 3 - Hallar “x” en: PROBLEMA 4 - Hallar “x” en:
PROBLEMA 5 - Hallar “x” en: PROBLEMA 6 - Hallar “x” en:
40º 20º 20º x
x
5a2x
13a
x
ab
2
x
2
a
ba
x
SOLUCIÓN 1: Como nos recomienda el Primer tipo de trazo, loprimero que haremos es un trazo exterior
20º 40º 20º
20ºx
B
AD
Luego observamos: (Para ser mas didácticos extraeremos los siguientestriángulos)
O C
20º 20º
20ºx
B
A DO C
El OBA BCD Caso L-A-L; entonces todas las propiedadesque se cumplen en el primer triángulo deben cumplirse en el segundo:
“PROBLEMAS”
PROBLEMA 1 - Hallar “x” en: PROBLEMA 2 - Hallar “x” en:
x 10º
9 10
Geometría
ARCEDIO
GLORIACHAVEZ
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)
PROBLEMA 7 - Hallar “x” en: PROBLEMA 8 - Hallar “x” en:
PROBLEMA 9 - Hallar “x” en: PROBLEMA 10 - Hallar “x” en:
Las formas más generales se especifica después de la solución:
26º 51º
18º
42º
x
120º 20º
60º
x
20º 80º x 18º
81º
x
SOLUCIÓN 7:Recordamos con el ejemplo
26º 77º 26º
26º
77º 26º
Y también no hay que olvidar:
60º60º
60º
60º
Ahora lo que hacemos es aplicar el Primer paso:
26º 51º
18º
42º
60º
77º
26º
77º
26º 51º
18º
42º
60º
77º
x
2x=26º
2x = 26º x = 13º
SOLUCIÓN 8:Hacemos el siguiente trazo de tal manera que aparezca con lossiguientes triángulos isósceles: ANB, NBC
120º 20º
60º
x
60º
80º
80º20º
BN
L C
A
Recordar:
60º60º
60º
60º
Entonces trazamosNL y formamos el
equilátero ANL
Sonia Chalco
120º 20º
60º
x
60º
80º
80º20º
BN
L C
A
60º
Por último recordamos la propiedad:
2
L
B
A
N
22 2
Yuly Cuenca
120º20º
60º
x
80º
80º20º
A10º
x = 10º
SOLUCIÓN 9:Primero observemos el siguiente caso de segmentos:
A B C D
Tenemos como consecuencia: AB = CD
A B C Db ba
Luego recordamos:
2 90°- 2
2
90°-90°-
Jorge Quispe
Entonces hacemos el trazo: NC
20º 80º x80º
20º60º
A
N
DCB
Y por segmentos tenemos que AB = CD
20º x
60º
A
N
DCB
80º 80º100º 100º
26º 77º 77º26º 26º
2 Forma:era
Se traza BM, se forma isósceles de base CM y laterales BC y BM
B
290°-
A CM
90°-
En consecuencia se tiene el siguiente gráfico
2 90°- 90°-
2
Ejemplos:
26º 77º 26º
26º
20º 80º 20º
20º
80º 80º
60º
77º 77º
4. ¿Qué hacer con una figura, de la siguiente forma?
x y
x = 2 y = 2
77º
Ejemplos:
10º
40º
10º
40º
20º
20º
Importante:
2
90°-
El trazo se
realiza así
2
90°-
2
90°-
51º51º
11 12
Geometría
Propiedad:
o
o
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)
120ºx
60º A
Si:
120º 2
90º-3
x
x =
Demostración: Recuerde que los pasos son los mismos a losproblemas anteriores.
2
90º-3
90º-
2
x =
90º- x
b
Si:
x
A
B
D
C
E
2
a
a
x = 2
a = b
Demostración:
2 90º-
90º-90º+90º+
a b
El ADB CEB (Caso L-A-L)
x = 2 a = b
x
B
A N
P
C
x
a
Si: x = 2
a = b
b
a
2
90º-
Demostración: Los trazos son especificados en mismo volumen;pues son trazos conocidos.
a
22
90º-
90º-a
b
El ABN CNP (Caso L-A-L)
Propiedad: Resulta un rectángulo
x y
x=y=90º a = b
y
Demostración:
a
bA D
CB
El DAB BCD (Caso L-A-L)( - - )
x = 90º ; a = b m DBC =
5. ¿Como trazar en el siguiente caso?
5k
23º
1ero nos damos cuenta de que la medida del ángulo termina en 3º yun lado es como “5” el cual nos hace razonar con el siguiente
Notable aproximado:
5k
53º
37º
4k
3k
Entonces el trazo será de la siguiente manera:
5k
23º
30º
2n
n
P
Punto cualquiera
PROBLEMA 11 - Hallar “x” en: PROBLEMA 12 - Hallar “x” en:
PROBLEMA 13 - Hallar “x” en: PROBLEMA 14 - Hallar “x” en:
23º x
5k
8k
x44º
48k
25k
Por último: el ABN DCN (Caso L-A-L)
20º x
60º
A
N
DCB
100º 100º
x = 20º
SOLUCIÓN 10:Recordemos el trazo general:
2
90°-
2
90°-
2
90°-
SandraQuispe
18º
81º
x
81º
18º
B
A E
D
C
18º x
B
A E
D
C
El ABE ECD:
x = 18º
EN FORMA GENERAL DEMUESTRA
60º-
2 90º-3
x
Si:
x =
x = 2 a = b
Demostración: Solo se realizara las consecuencias ya que lospasos fueron realizadas en cada problema
60º-
2 90º-3
x
x =
60º
90º-
90º-
2
60º
x 21º
30º11º 17º 25º
29ºx
SOLUCIÓN 11:
x
5k
8k
23º
30º 53º
37º
5k
37º
53º
4k
3k
x
5k
8k
23º
30º
37º
8k
30º
60º
4k
4k
4k
4k
60º
13 14
Geometría
Milton Cucho
Angélica Tomayro
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)
x
8k
23º
30º
4k
4k
60º
4k 4k 4k 4k
x + 60º = 90º
x = 30º
SOLUCIÓN 12:
x44º
48k
25k
30º
24k
25k
74º
24k
x44º
48k
25k
30º
24k
60º
24k
48k
30º
24k
60º
x44º
48k
25k
30º
24k
60º
24k
24k
x + 60º = 90º
x = 30º
24k 24k 24k
SOLUCIÓN 13:
x 21º
30=5(6)11
16º
53º
3(6)=18
74º
4(6)=24
37º
18
53º
24
30
x 21º
30
16º
53º
74º
24
74º
24
16º
7
11
11
74º
7
x = 74º
SOLUCIÓN 14:
x 29º
2517
45º
16º
45º
716º
7
74º
24
25
45º
x 29º
2517
45º
16º
77
45º
45º
45º
7
17
7
45º
x = 45º
TRAZOS6. ¿Como trazar en el siguiente caso?
Se recomienda trazar una ceviana exterior para formar un triánguloisósceles.
7. ¿Qué trazo se debe realizar en el siguiente caso?
Recordar:
n
n
Entonces es necesario un trazo interior tal que forme un isósceles.1ero
nn
Finalmente se obtiene:
nn
8. ¿Cuáles son las construcciones en este tipo de triángulo?
30º
; < 30º
1 tipo de trazo:er Se construye un triángulo equilátero en funcióndel lado mayor.
30º30º
Recuerda:
Finalmente se obtiene:
30º30º
Observación: En la solución de los problemas; se aplicará el casofinal, por que ya se demostró de donde viene el gráfico final.
15 16
Geometría
YenyHuyhua
AureliaDiaz
Wilykiwy
Cesar Flores
FlorAronés
Maria LuzCusi
JalachaTomayro
Lucia
CaboFlores
WalterJanampa
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
2 tipo de trazo:do Se construye un triángulo rectángulo, de talmanera que el lado mayor se transforma en hipotenusa.
30º2n
n
3 tipo de trazo:er Se construye un triángulo equilátero en funcióndel lado menor.
30º
30º
A
C
BN
Luego completamos el segmento AN para obtener un triánguloisósceles ANC
30º
30º
A
C
B
9. ¿Qué hacer en este tipo de tri ?ángulo
60º+
30º
B
C
A
Se construye el ANB equilátero
60ºA
C
N
B
30º 30º
60ºA
C
N
B
30º 30º
Finalmente trazamos CN para tener como consecuencia el ANCisósceles..
60º
10. ¿Qué hacer en este caso?
60º-2A
B
C
D
Primero construimos el ABN equilátero, y por último trazamosBC y ND del cual:
ABC AND (Caso L-A-L)
60º-2A
N
B
C
D
PROBLEMA 15 - Hallar “x” en: PROBLEMA 16 - Hallar “x” en:
PROBLEMA 17 - Hallar “x” en: PROBLEMA 18 - Hallar “x” en:
20º
x
+10º
x +40º
3
50º
30º
x
PROBLEMA 19 - Hallar “x” en: PROBLEMA 20 - Hallar “x” en:
x30º
PROBLEMA 21 - Hallar “x” en: PROBLEMA 22 - Hallar “x” en:
PROBLEMA 23 - Hallar “x” en: PROBLEMA 24 - Hallar “x” en:
20º
60º-2
PROBLEMA 25 - Hallar “x” en: PROBLEMA 26 - Hallar “x” en:
10º
x
PROBLEMA 27 - Hallar “x” en: PROBLEMA 28 - Hallar “x” en:
x
80º
20º30º 20º
x
20º+
x +20º
20º
10º
3
10º
20º
30ºx
20º
10º x70º
30º 20º
10º40º
70º x
10º
x
40º
60º-
2
x
60º-2
60º+
x
20º
SOLUCIÓN 15:Recuerda:
+
nn
+
+
Trazamos DE para formar el isósceles del BDE.
20º+
x 20º
20º+
B
AD
C
E
Del gráfico tenemos como consecuencia:
x 20º
B
AD
C
E
ABD DEC (Caso L-A-L)
x = 20º
Solución 16:
n nn+ n+ n
Hacemos el trazo exterior BE del cual se observa que m BDE= m BED = 10 + , entonces BDE isósceles.
x
+10º +20º
10º
+10º
B
AD
C E
x
+10º +20º
10º
+10º
B
AD
C E
Del gráfico el ABD EBC (Caso L-A-L)
x = 10º
Geometría
EdelizaTomayro
Maria SoledadSalcedo
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)1817
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
3
30º
x
10º
3
50º
30º
x
B
A C
N
M
50º
50º
50º
De la construcción se tiene:ABC ACM (Caso A-L-A)
X = 3
3
50º
B
A C50º
x
x
A
M
50º
50º
3
C
x = 40º
Solución 19:Primero trazamos la altura relativa a la base.
x
10º 30º
Recuerde:
30º30º
2n
x
10º 30º
n n
n n2n
n
x
10ºn nD
n
B
CA
E
40º
= 40º Por que el ABD LEAPor lo que: 40º =Por último: + x + 10º = 90º
40º + x + 10º = 90º
L
Solución 20:
20º
30ºx
20º
60º-x30º
60º-x x
B
A
D
C
M
Del gráfico se deduce que el ABC ADM (Caso L-A-L)
x = 40º
x = 60º - x = 20º
Solución 17:
Solución 18:
30º30º
Solución 21: Realizamos el trazo conocido y mencionado.Constituimos el ABN equilatero
+40º
C
Trazamos:
+40ºC
+20º
n n
m
n+m
M
+40ºC
+20º
M
30º
x
20º
A
B
x
20º
A
B
20º
x
20º
A20º
B
El ABN MAC (Caso L-A-L)X = 20º
30º
10º
60º
30º
10º
Ax
20º
50º
10ºN
B
10º
60º
30º
10º
Ax
20º
50º
10º
N
B
10º
60º
30º
10º
Ax
20º
50º
10º
N
B
X = 10º
Geometría
NorisChavez
YovanaPalomino
YessicaFlores
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)2019
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Geometría
Se obtiene lo siguiente:
B
CA
40º10º
10º10º
10º
X60º
60º
10º
D
E
RoxanaLa Catalinita
JhonnyMeza
2θ
Recordar:
Recordar:
2θ30 - θº
120º - 2θ
30º
Aplicando la propiedad señalada:
Consecuencia:
X 30º=
Solución 22 Solución 23 Solución 24
C
B
A
40º10º 10º
X70º
70º
60º + θ
30º
60º +θ
30º
30º
30º30º
30º
Reordar:
Roció Álvaro
Se construye el ABEΔ equilátero.
C
B
A40º
10º10º
10º
X60º
60º
10º
D
E
DΔA ΔC AEC.
20º
20º
10º
10º 10º
x
x
40º
40º
40º
50º
50º50º
50º
110º
EL ABC BCD
x = 40º
x = 30º
x =
A
D
B
C
60º-60º+
60º-60º+
60º+260º-2
1) 2)
60º-2_
Rubén Tomayro
Anabela Alca
60º-2
_
60º
60º
60º-
2
2
x
x
x
x
x
60º-2
2
60º+2
60º-
2
x
60º-2
Haciendo la construcciòn se obtiene:
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)2221
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Geometría
D B
c 60º-2θ
E
A C
Soluciòn: 25Se construye el EBC equilátero
X X=
c
E
D B
A C
X = 30º
X
X
X
Solución 26 Solución 27
C
C
A
A
A
B
B
B
30º
30º- x
10º10º
20º
20º
20º
20º
20º
60º
60º
30º
30º
40º
40º
60º
60º
D
D
D
N
N
E
E
Después de construir el ACEequilátero. luego el
ΔΔ ΔACB ECD (L-A-L)
ACD EAD (L- L- L)Como el Δ Δ
BCD ECAΔ Δ
x
x
x
A
A
D
D
C
C
B
B
E
E
C
20º
20º
20º
20º
20º
20º
20º
20º
20º
20º
20º
40º
40º
40º
20º
20º
20º
60º
60º
x
80º
A
B
D
Del cual 2X = 60º.
X = 30º
Solución 28
Como el ABC ACD (L-A-L)En consecuencia se obtiene.
Δ Δ
Se construye el ACDΔ equilátero.
C
C
B
B
A
A
D
D
E
E
X
X
X = 20º
60º +
60º
60º
60º +
2 2
60º
60º
30º
20º 10º
60º 60º
*
*YosmilEspilco
º
º º
20º
20º
30º
30º
30º
30º
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)23 24
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Primero construimos el ABN equilátero por tanto:
Trazo Especial:
D
Luego prolongamos BC en K de tal manera que m
B
B
A
A
C
C
q
30º
B
C
c
N
30º30º
A
Tener presente el siguiente
B
Recordar
30º
30º
K
B
A
C
c
N
30º
CONSECUENCIA
Ada LuzOré
30º30º 30º30º
30º+X30º+X60º
30º-X
_ _
Nelson Méndez
De lo mensionado, trazamos KN del cual trae comoconsecuencia el AKN isósceles y m KAM=30º-XD
-
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)2625
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
B
N30
º
30º
K
A
C
c
30º
30º-X
30º-X
Ahora construimos el AKM equilátero y comoconsecuencia la m BAM=30º-X
D
B
N
30º
30º
K
A
C
c
30º
30º-X
30º-X
30º-X
M
Después de hacer el trazo MB se verifica que:(caso L-A-L), por tanto todos los datos que se
cumple en el tienen que cumplirse en elosea quiere decir que el E es también isósceles el cualse especificará en el otro gráfico.
M A BK A N D@D
K A ND M A BDM A BD
B
N
30º
30º
K
A
C
c
30º
30º-X
30º-X
30º-X
M30º-X
Como L es punto medioademás AC es mediatrizdel segmento MK.
B
N
30º
30º
K
A
C
c
30º
30º-X
30º-X
30º-X
M30º-X
--
--
L
60º-
X
Victor Pillaca Quispe
RecordandoM
K
30º
30º
LA
30º
30º
L
=
=
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)27 28
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
=
=CA
M
K
=
=C
Carlos Conteña
A
M
K
Finalmente, despues de trazar MC, se llega a la conclusiónde que el ACK es isósceles (MC=CK). Por último; mMCB=120º-X
DD
B
N
30º
30º
K
A
C
c
30º
30º-X
30º-X
30º-X
M30º-X
--
--
L
60º-X
120º-X60º-X
PROBLEMAS
30ºX
54º
X
24º
30º
54º X30º
X 84º
42º
Problema 29
Problema 30
Problema 31
Problema 32
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)3029
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
N
30º
30º
30º
30º
Sonia Navarro
30ºX
30º
30º-x
A C
B
K30º
N
30º-x
Como la figura presenta las cualidades para x hacer el trazoanterior, entonces construimos el BCN equilátero. Y siobservamos la prolongación del CK en A cumple el requisitoque la m KBA=30º y la medida del ABN es igual a 30º-x(m ABN=30º-x.)
-
30ºX
30º
30º-x
AC
B
K30º
N
Ahora construimos el ABM equilátero y luego letrazamos el MC del cual observamos que: el ABN MBC(caso L-A-L). Quiere decir:
@-
--
--30º30º
30º
30ºB M
AK
B
M
A
K
Consecuentes
Entonces ellolo aplicamos.
30ºX
30º
30º-x
A C
B
K30º
N
30º-x
M30º-x
Como nos habíamosanticipado en el casoanterior entonces lesseñalamos los nuevosdatos.Construimos MK yluego aplicamos elteorema de labisectriz interior.
( AK )= MK
60º-x
60º-x=
Ana Artiaga30º
X
30º
30º-x
A C
B
K 30º
N
30º-x
M
30º-x
30º-x
----
60º-X
Walter Palomino
Solución 29
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)31 32
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
C
30ºX
30º
30º-x
A
B
K 30º
N
30º-x
M
30º-x
30º-x
----
60º-X
60º-X
120º-2X
M
K
C
120º-2X
120º-2X
60º-X
Para apreciar mejor lasolución nosconcentramos en el
MCK: isósceles.
LitoAlca(120º-2X)+(120º-X)+(60º-X)=180º
X=24º
24º
30º
A
B
C
Primero observamos el siguiente acontecimiento:
24º
30º
A
B
C
30º
N
Construimos el equilátero ABN.Δ
6º
30º
A
B
C
30º
N
6º
30º
A
B
C
30º
N
6º
KarinaCárdenas C.
Solución 30
Geometría
Consecuenciafinal del trazo:ver páginas25-35.
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)3433
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
30º30º
30º30º
CarlosTorres
24º
30º
A
B
C
30º
N
30º
6º
6º
K
!Prolongamos AC en K tal que m CAK=30º.-
!
!
Se construye el
Luego se traza MB tal que:
ΔAKM equilá tero
ΔABM ΔNAK(caso L-A-L).
=
A
B
N
6º
6º
K
6º
M
Carlos Rupire
24º
30º
A
B
C
30º
N
30º
6º
6º
K
6º
M
24º
30º
A
B
C
30º
N
30º
6º
6º
K
6º
M
36º
6º
!Primero nos damos cuenta que el°.ΔKMB isó sceles,
que en consecuencia: m MKC=36
=
=36º
=
=36º
36º
M
C
K
M
C
K
Héctor Suyca
ΔKMC isó sceles.
72º
Miguel Ángel Molina
36º
=72°
24º
30º
A
B
C
30º
N
30º
6º
6º
K
6º
M
36º
6º
72º
72º
Se concluye que:BC=AK=KN.
Geometría
-
36º
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)35 36
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
24º
30º
54º 24º
X
P
B
A C
!Se traza BP (P en la prolongación de CA). De tal forma queº observamos el
ΔPBC esisósceles PB=BC. Ademá s m APB=m ACB=24 ΔABPdel cual ya anunciamos sus trazos.
- -
Es decir llegamos a la siguiente conclusión:(ver pag. 34-36.)
6º
N
30º
6º
6º
6º24º
30º
54º 24º
X
P
B
A C
36º
72º
72º36º
24º+x
30º
M
Extraemos los ángulos PBN y ABM, para comparar que:BAM. (caso L-A-L)ΔNPB Δ
54º
30º
P
B
N
54º 24º+XMA
B
30º=24º+X
X=6º
Solución 30 Solución 31
Geometría
Recordar:(En el problema anterior se recalca los pasos)
24º
30º
54º XR
B
M La
ab
24º
30º
6º
30º
6º
6º
6º24º
30º
36º
72º
72º36º
30º
N
6º
30º
6º
6º
6º
24º
30º
54º XP
B
M L
36º
72º
72º36º
30
30º
N
54
bb
a
a96º
C
El PBN ABM (caso A-L-A)Es decir: (96 )-(--)-(54 ).Entonces a = bY si a = b el R
Δ Δº º
BL es isósceles(RB=BL=a=b).
X=24
ΔA 96º
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)3837
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Des
pu
ès d
e co
nst
rucc
ón
:(ve
r pag.
34-3
6)
El
CB
(caso
L-A
-L)
Es
dec
ir: (-
-)-(
126
) -
(--)
.Δ
AΔ
DE
B.
º
X=30º
Geometría
Solución 32
126º
54º
54º
54º
36º
72º
84º
84º
54º
54º
54º
54º
42º
6º 6º
6º
30º 24º
24º
30º
30º
30º
126º
126º
X
X
Adem
ás:
AC
ED
B
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)39 40
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
X
60º
60º
60º
60º-
A
L
B
C
M
D
Propiedad 01
Demostración:
En consecuencia:NCA (Caso: L-A-L)
del cuál LA=NA=También: x + = + 60º
ΔLBA Δ
Primero construimos elABC equilátero y luego elMNC también equilá
ΔΔ tero.
De la ecuación
Ahora trazamos MA para identificar el(Caso: L-L-L) del cual se deduce que = --------------
ΔALM ΔANM
Geometría
X
60º
60º
60º
60º-
X
60º- X = 60º
I
I
A
L
B
C
M
D
II
II = =X + = + 60º
=X + + 60º
X = 60º
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)4241
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Propiedad: 03
2
X=120º-θ
Demostración
Demostración
2 2
90-θ
90-θ
Trazamos BD para obtener el ΔABD ISÓ SCELES-
Realizamos el trazo en forma análoga a la demostración anterior, yaplicamos la propiedad.
2
B
A
C
90-θ
90-θ
D
Geometría
Propiedad: 02
Propiedad:
120º-2θ
60º
X =2θ
Θx
120º-2θ
Θ
Θ
x
y X
X 2y = 2
=
X 2=
Jhon Quispe
Edson Palomino
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)43 44
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Ahora trazamos AM bisectriz, altura mediana y mediatriz.Luego DH aBC-- -
-- -
Trazamos DH BC, para formar: DHC AMD- --- -
B
A
C
90-θ
90-θ
D
M
-
-
90-θ
B
A
C
90-θ
90-θ
D
M
-
-
-
H
=
=90-θ
30º
2a
Por último observamos que el DBH es notable de 30º-60º.B
A
C
90-θ
90-θ
D
M
-
-
-
H
=
=90-θ
30º
Finalmente: X=(90º- )+30ºX=120º-
θ
θ
X = 60º
Geometría
Estefh Cusi
Propiedad adicional:
2θ
2θ
Θ
Θ
X
X30º 30º- θ
90º- θ
X = 30º- + 30º +θ θ
30º-
θ
90º- θ
X = 60º
Demostración
Consecuencia120º-2θ
120º-2θ
2θ
2θ 30º
2θ
Θ90º -
90º -
Θ
30º -θ
Recordar:
Leonardo Tomayro
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)4645
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
2
290-θ
90-θ
Ruth Cuenca
Demostración
Propiedad: 04
X=θ
2
120º-θ
2
90º-θ
30º
90º-θ
A
B
C
D
Primero trazamos BD de tal modoque m ABD = m ADB=90º-θ
-
Marco Alfaro
-
---
B
90º-θ
30º
90º-θ
A
C
D
M
-
-
90º-θ
30º
90º-θ
A
B
C
D
M
-
-
H
90º-θ
30º
90º-θ
A
B
C
D
M
-
-
H
Trazamos AM BD ybisectriz, mediana ymediatriz.
-- ---
Trazamos DH a BCdonde se forma elBHD notable de: 30º-60º (DH=a)
-- - --
30º
2a
÷2
Demétrio Janampa
Daniel Conde
-
-
-
-
Del gráfico el AMD= DHCpor tanto: X=θ
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)47 48
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Demostración:
120º-θ
A
B
C
D
Propiedad: 05
X=2θ
= + +
120º-θ
A
B
C
D
120º+X
Trazamos L // L que en consecuencia se obtiene m ADN=X1 2
120º-θ
A
B
C
D
120ºX
60º
L2
L1
N
A
B
A
B L4
L3D
=
TRAZAMOS L //L3 4TRAZAMOS L //L3 4
Godelina Chavez
Recordar:
ConsecuenciaRecordar:
Observando el caso anterior trazamos BM//AD y enconsecuencia: BM=MD=AB=AD= y m BMD=X
- -
Geometría
Justiniano Tomayro
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)5049
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
120º-θ
A
B
C
D
120ºX
60º
L2
L1
N
MX
60º60º
60º
60º
Fénix García
MarleniOré
Recordar:
Recordar:
C
120º-θ
A
B
D
120ºX
60º
L2
L1
N
M
X
Trazamos MC tal que seforme el ΔMCD equilá tero.
-
Trazamos BD y aplicamos lapropiedad mensionadopanteriormente
-
A
B
C
D
120ºX 60º
L2
L1
N
M
X
X=2θ
52
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)51
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Demostración:
90º-θ
Yolanda Flores
-
-
-
-
Recuerda:
A
B
C
D
90-θ
=
=H
M
30º
30º-θ
X=90º- +30º-θ θθX=120º-2
A
B
C
D
X90-θ
90-θ
=
=H
M
Prolongamos CD en M tal que se forma el MBC HDA,por lo tanto: HD=BM=a.
-
X
2a
MirasolDíaz
X=30º
Del MBD (notablede 30º-60º) por loque m MDB=30º.
A
B
C
D
90-θ
=
=H
M
30º
Geometría
90º-θ
Elmer C.CH.
2θ
A
B
C
D
X90-θ
90-θ
=
=H
=
=Recordar:
Recordar:
Propiedad: 06
B
AC
D
X=120º-2θ
2θ
X
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)5453
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Propiedad: 07
120º-2θ
2θ
Si: X=
Figura:Primer trazo
Segundo trazo
Javier Flores
120º-2θ 120º-2θ60º
60º-θ60º
120º-2θ
60º
Demostración:Para ello es necesario conocer el trazo de la siguiente figura:
120º-2θ
60º
60º
B N
C
D
A
Trazamos AN y aplicamosel trazo conocido (ABNC:equilatero)
-
Recuerda también; el siguiente trazo:
Estefany T.F
-
--- --
=
=
120º-2θ
60º
60º
B N
C
D
A
=
=
Aplicamos lo mensionado en el gráfico puesto que se presenta lascondiciones:
Geometría
Recuerda:
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)55 56
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
A
Recordar:
2
X
Ana Oré
X=θ
120º-2θ
60º
60º
B N
C
D
=
=
X=θ
2θ
Problema 35
Problema 33 Problema 34
Problema 36
Problema 37 Problema 38
20º40º
X
3θ
2θ3θ
4X 3X
5X
X
3θ 2θ
3X 2X
X
30º 40º X
Problema 39 Problema 40
100º40º X
20º20º
40º40º
10º X
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)5857
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Solución 33Problema 41 Problema 42
Problema 43 Problema 44
-
7
-- X2θ
60º
X2X
3XX
20ºX
100º
5X
X
3X
24º
54º X- -
45º X
60º
l
l2
2XX
l2 l
X
ll2
2X
Problema 45 Problema 46
Problema 47 Problema 48
Geometría
2
2
x
AC
P
B
N
Recordar:
xX =120º-θ
Thania Flores
Primero construimos el Δ ABC ANC.Δ
X
120º-θ
2
A
N
C
P
B
En el APC3 120º-
Δ
θ + θ =180º
θ = 15º
θ
θ +2
Pero X = 120º -X = 120º - 15º
X = 105º
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)59 60
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Solución 35
Del gráfico observamos:BN = a +b.Por lo tanto:MC = a +b.Que en consecuenciatenemos MN = a.
Aplicamos la construcciónmencionado en Δ NBC.
120º - 4x8x +120º - 4X = 180º
X = 15º
3X X2X
2X
X X
b
aa
b
8X4X
4X
X
X
2X
2X
4XA
C
B
L
NM
a
b
b
a8X
4X
X
X
2X4XA
C
B
L
NM
a
a
a
Geometría
Solución 34
Recordemos la consecuencia del trazo en la siguiente figura:
Trazamos AN para formar el N isósceles.Δ AB
3X8X
4X
4XX
4XA
C
B
L
NM
Pilar Linares
70º
70º
70º
X
X
40º
40º
2(10º)
40º
X = 10º
30º
30º
90º-θ90º-θ 2θ2θ 2θ
90º-θ
Recuerda:
Aplicamos el trazo y vemos queSe construye el caudrilátero
KarinaFlores
100º = 120º - 20º
=
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)6261
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
2X3X 3X
X
A
B
CD
2X2X
2X
X
A
B
CD
2X
120º-2X
Solución: 36
Construimos el ANDcongruente al BCD. Yobservamos el ABDN
Δ
Δ
Luego nos fijamos en el ABD3X+ +3X ºComo: 120º-2X
Δ
θ=
=180
=
θ =180
3X+120º-2X+3X ºX 15º
X
X
Solución: 37
X
A
B
C
D
2θ
2θ
2θ3θ
--
N
2θ
X=120º-2θ
A
B
N
C
María SoledadChipana
Luis Beltran
X
A
B
C
D
2θ
2θ
2θ3θ
--
N
120º-2θ
Ahora en el ABC3 +X+2 =180º
120-2
Δ
θ
Θ
θ
θ =20º
Como: X=120º-2X=120º-2(20º)
θ
X=80º
Construimos el ANC ADCΔ Δ
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)63 64
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Solución: 38
Primero anotamoslas primerasconsecuencias
2θ 2θ
Ivan Jessa
Como la figura presenta las condiciones para hacer el trazo de cevianaexterior, lo aplicamos:
Recordar:
120-X X
40º 20º20º+XA
B
CD
Construimos el AMD NABΔ Δ
120-X X
20º 20º20ºA
B
CD
20º
N
M
20º X
=2X
Elizabeth Oré
120º-XRecordar:
En la figura observamos el cuadrilátero ABDM cóncavo con las condicionespara aplicar la propiedad:
120-X X
20º 20º20ºA
B
CD
20º
N
M
20º X
Luego: 20º=2XX=10º
Geometría
120-X X
40º 20º20º+X
A
B
CD
20º
N
20º
20º
20º
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)6665
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Solución: 39
2θ 90º-θ2θ 90º-θ 2θ
90º-θ
Ana Torres
40º 80º
X10º
40º 40º
70º
A
B
C
D
40º 80º
X10º
40º 40º
70º
A
B
C
D
40º
70º 80º
N
Finalmente; en elñ cudriláterocóncavo NACD.(80º=120º-(20º)) cumple lacondición de los cóncavos:
X=40º/2
X=20º
Solución: 40
Primero hacemos la siguiente construcción y los datosconsecuentes de los mismos.
B80º
100º
40º
80º40-X
20º
20º
N
A C
D
X
=2X
Elezabeth Cusi
120º-X
B80º
100º
40º
80º40-X
20º
20º
N
A C
D
X
120º-XAplicamos la propiedad en el
cuadrilátero sombreado:
20º=2XX=10º
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)67 68
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Solución: 41
5X
3X
X
3X
5X
X
3X
5X
A
B
C
D N
Primero colocamos los valores de los ángulos que parten como consecuenciade los datos.Luego trazamos la ceviana exterior CN que cumpla las siguientes
5X
3X
X
3X
5X
X
2X
4X
A
B
C
D N
M
X
X
Construimos el CMN ABCΔ Δ
5X
3X
X
3X
5X
X
2X
4X
A
B
C
D N
M
X
X
12º-2X
Solución: 42
2θ
Nelson
2θ 2θ
d Luego de hacer el trazo (DM) se trazaDB y se verifica que: ABD MDCEn consecuencia: el ABD es isósceles(m ABD=X )
Δ ΔΔ
Λ AD=BD
--
= + +
CrisantoRojas
X
X
2X X3X
5X
A
B
CM
D
2X
X
Aplicamos la propiedad (m BDC=5X)
Geometría
En el caudrilátero DCMN cóncavo m CDN=120º-2X (Propiedad)Ahora 3X+5X+120º-2X=180º
X=10º A M
d
d
Δ
Δ
Δ
Construimos DPCADB
Luego en el DBC:5X+120º-2X+3X=180º
X
X
2X X
2X
4X
B
C
D
2X
X
X
X P
120º2X ( )Propiedad de cóncavo
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)7069
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Solución: 43
7
60º
F
D
60º+θ
B
E
CA X
=60º
José Molina
60º+θ
60º
F
D
60º+θ
B
E
CA X
60º+θ
7
Construimos el AFC ADCΔ Δ
Recordar:
Por lo expuesto m EAF=60º
Segun la figura el AEC esisósceles (m SEAC=m AEC)
X=7
Δ
Solución: 44
X60º
20º
100º
80ºB
A
D
C
2θ 90º-θ2θ 90º-θ 2θ
90º-θ
SegundinoMeza
X60º
20º
100º
80ºB
A
D
C
20º
N
80º
Construimos según loexpuesto de la siguiente
120º-2θ X=2X
Jesús Linares
2θ
Construimos ahora el ABM ADCΔ Δ
Geometría
60º
Recordar:
Recuerde:
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)71 72
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Solución: 46
45º X
60º 45º
45º
60º
l
l
A
B
CD
E
l
l2
45º X
60º 45º
45º
60º
l
l
A
B
CD
E
l
l2
60º
60º
60º
60º
60ºErica T.F.
Primero construimos el BED (notable de 45º-45º)
Yuliza Linares
X
45º X
60º 45º
45º
60º
l
l
A
B
CD
E
l
l2
60º
Aplicando la propiedad: X=90º/2X=45º
Observación: formas de reconocer al notables
2n
2θ
2n
60º
30º
2θ
2n
3
60º
30º3
45º
45º2θ
22
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)7473
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
X60º
20º100º
80ºB
A
D
C
20º
N
80º
20º
100º
X
M
Extrayendo la siguiente figuranotamos que es factible aplicarla propiedad de los cuadriláteroscóncavos.
X=10º
120º-2(10º)
20º
100º
2(10º)
N
B
M
Solución: 45B
A D C
2XX
2X
E
=l
l2 l
=
Se prolonga el BD para trazarle AE//BCde cual el ADE DBC
AE= BD=DEΔ Δ
Λl
- - -
l
B
A D C
2XX
2X
E
=l
l2
l
=l2
N
X
X
Luis Dueñas
Recuerda:
l2l
l
l2l
l
45º
45º
Extraemos el ABC queresulta como consecuenciade los trazos.
Δ
Despues de construir del AEN isóscelesX=45º
Δ
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)75 76
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
Solución: 47
Trazamos AM//BC del cual el ADM BDCΔ Δ- -
2θ
2n
3
60º
30º3
Jaime Rayme
l3
A
B
CD
M
l
l
2X
X 2X
l3
A
B
M
l
2X
X
l3
A
B
M
l
2X
X
30º
60º
l2
X=30º
Recuerda:
Aplicamos la propiedad ABMΔ
Solución: 48
30º
24º
64º X- -30º
24º
30º
24º
78º30º
6º
36º
=
=
6º
6º
30º
6º
72º 36º
Yenito Chipana
30º
24º
78º30º
6º
36º
=
=
6º
6º
30º
6º
72º 36º
X60º84º54º
60º
A
B
CD
Despues de realizar la construcción se observaque el triangulo BCD isósceles (BD=BC)
X=84º
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)7877
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
a)
b)y
X
8
5
23
c) y
X
48
25
44
d)
e)y
X
75
35
21
f)
g)
h)y
x16
15
20
i)
j)
y
x
5
8
23
y
X
25
29
27
y
x
2
15
2
y
X
4
45
6 22 +
X 44
753
48 - 7
X 23
3 - 3
435
k)
X15
63 - 1
l)
X8
212 3
a)
X
20ºq
q
b)
X
10º +b
b
10º
c)
X
20º +
20º
q q
D)X 21º +
21º
X
Ejercicios1.- Hallar “x” e “y”
2.- Hallar “x”
a) X
10º20º
b) X
21º42º
c)
X
12º
24º
4 Hallar “x” y “a”
a)
X69º42º
3 a
b)X
61º58º
10 a
c)
X
66º
48º
7
a
d)
X
62º
56º
4 a
4
5 Hallar “x” en:
b)X
63º
34º
18º
26º
a)X
66º
28º
16º
32º
3 Hallar “x”
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)79 80
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
f)
X
120º
7º
120º
2
3º90
x-
c)
2X 90º - 3 x
35º
10º25º
d)
2X 90º - 3 x
33º
5º27º
a)
X
120º18º
63º
c)
2X
120º
10º
90º - 3x
120º
d)
2X
120º
5º
90º - 3x
120º
e)
X
120º
6º
120º
2
3º90
x-
e)
X 90º - 3x/2
28º
6º32º
f)
X 90º - 3x/2
37º
7º23º
6 Hallar “x”
b
X
120º18º
63º
b)
X
120º18º
63º
7 Hallar “X” en:
10º
10º
40º
70º
9º
42º
69º
20º
120º
20º
80º
5º
50º
65º
6º
6º
48º
66º
40º
20º
12º
24º
34º
20º
10º
6º
12º
17º
40º
50º
54º
48º
43º
20º
40º
48º
36º
26º
Xº
Xº
Xº
Xº
Xº
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)8281
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
5º
8º
10º
20º
21º
5º
8º
10º
20º
21º
95º
98º
100º
110º
111º
Xº
Xº
Xº
Xº
Xº
10º
12º
18º
14º
21º
18º
12º
16º
9º
20º
18º
12º
50º
48º
46º
46º
39º
Xº
Xº
Xº
Xº
Xº
8 Hallar “x”
a)
b)
c)
d)
e)
9 Hallar “x”
a)
a)
c)
d)
e)
b b
b b
b + 10º b + 10º
b b+ 15º + 15º
b b
b b
+ 20º + 20º
+ 30º + 30º
a a
a a
7 7
7 7
15 15
xº xº
xº xº
+ 26º + 26º+ 13º + 13º
a a
a a
a a
20 20
8 8
9 9
xº xº
xº xº
X X
2X 2X3X 3X
q q
3q 3q2q 2q
q q
q q
q q
10 Hallar “x”
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)83 84
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas
27º 3º
X
10º 20º
X
21º 9º
X
18º 12º
X
25º 5º
X
Hallar “X” en:
20º
30º
X
30º
30º
X
40º
30º
X
28º
30º
X
51º
30º
X
20º
10º
50º
X
14º
7º
53º
X
18º
9º
51º
X
10º
50º
30ºX
12º
48º
30ºX
6º
54º
30ºX
18º
42º
30ºX
a) a)a)a)
b) b)b)
b)
c) c)c)
c)
d) d)d)
e) e)e)
11 12Hallar “x” Hallar “x” 13 14 Hallar “x”
25º
35º
30ºX
85 86
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)
Máximo Cussein CárdenasMáximo Cussein Cárdenas