Post on 24-Mar-2016
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1.1Efectuar o simplificar
cálculos con expresiones algebraicas tales como: ( x + a )²; (x + a)( x + b); (x + a)( x - a). Factorizar expresiones algebraicas tales como x² + 2ax + a²;
ax² + bx; x²+ bx + c; x² - a²
Con las figuras que tienes a continuación es posible formar cuadrados.Observa detenidamente los cuadrados que se formaron con estas figuras.
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
11
1x
x
x
Medida de Perímetro Áreacada lado
Cuadrado A x + 1 4(x + 1)= 4x + 4 (x + 1)² =(x + 1)(x + 1)= x² + x + x + 1= x² + 2x + 1
Cuadrado B
Cuadrado C
Completa la siguiente tabla:
En todos los casos, el área de cada cuadrado es una expresión de tres términos, y siempre se comporta de la misma manera.
¿Podrás decir cómo se formó cada término?
Primer término: ____________________________________________________________
Segundo término: ____________________________________________________________
Tercer término: ____________________________________________________________
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones
A B C
1B
LOQ
UE 1
OPERACIONES COMBINADAS
De la forma ( x + a ) ²
x - 2
Un cuadrado, que mide "x" de lado, como se muestra en la figura, se recorta a manera de que se forme otro cuadrado más pequeño, encuentra su área.
figura A figura B
El área de la figura A es igual a (x)(x) = x²
Si le asignamos un valor cualquiera a la x, pensemos en 6
El área de la figura A es igual a (6)(6) = 6² = 36
El área sombreada de la figura B es igual a (x - 2)(x - 2) = x² - 4x + 4
Si seguimos considerando el valor de 6 para la x
El área sombreada de la figura B es igual a (6 - 2)(6 - 2) = 6² - 4(6) + 4 = 36 - 24 + 4 = 16
En equipo, encuentra el área de cuadrados y comprueba gráficamente el resultado.
valor de x área del cuadrado
8 x² = _______ (x - 2)(x - 2) = _______________________________
5 x² = _______ (x - 3)(x - 3) = _______________________________
7 x² = _______ (x - 1)(x - 1) = _______________________________
x x - 2
BLO
QU
E 1
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones2
BLO
QU
E 1
Aplicando la regla anterior, resuelve anotando en el espacio el término que falta. Si tienes duda realiza las operaciones.
1) ( x + y )² = x² + 2 xy + _______
2) ( 2 a - b )² = 4 a² - _______ + b²
3) ( 5 x - 3 y )² = _______ - 30 xy + 9 y²
4) ( m + 3 n )² = m² + _______ + 9 n²
5) ( 2 r + 3 t )² = _______ + 12 rt + _______
6) ( c - 4 d )² = c² - _______ + _______
7) ( 7 a² + b )² = _______ + 14 a²b + _______
8) ( d² - e² )² = _______ - 2 d² e² + e
9) ( z³ - w² )² = z - _______ + _______
10) (4 b² + 5 c )² = _______ + _______ + 25 c
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
4
4
6
8
23
49
43
35
65
54
25
34
425
916
38
13
19
3
32
23
49
56
3 5
22
22
2 2
22
4
22
4 2
3 22
4
2 2
2
2
2
3 52
5 3
a b a ab
b d b d d
m n m
t w t w
x y y
ab
ab
cc c
y a a y
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + +
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − +
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + +
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + +
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − +
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + +
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − +
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + +
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones3
BLO
QU
E 1
El resultado de elevar un Binomio al Cuadrado recibe el nombre de
" TRINOMIO CUADRADO PERFECTO "
Resuelve en equipo aplicando la regla.
1) ( p + q )² = p² + 2 pq + q²
2) ( r - w )² = ________________________________________________________
3) ( 2 a + 3 )² = ________________________________________________________
4) ( 5 + 3 d )² = ________________________________________________________
5) ( 8 a - 3 b )² = ________________________________________________________
6) ( 5 c - 6 d )² = ________________________________________________________
7) ( w + 2 )² = ________________________________________________________
8) ( 2 c + 3 d³ )² = ________________________________________________________
9) ( e² - 3 f )² = ________________________________________________________
10) ( f ³ + 5 g )² = ________________________________________________________
11) ( 2 d² + 3 e )² = ________________________________________________________
12) ( 5 h³ - g )² = ________________________________________________________
13) ( t² + r )² = ________________________________________________________
14) ( m - n )² = ________________________________________________________
15) ( p² + q³ )² = ________________________________________________________
16)
17)
18)
19)
4
2312
27
3 38 5
( ) ( )
( )( )
4 2
2
15
14
23
32
2
3
2
2
2
2
ab
mn
nm
x x
yy
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
+−
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
−+
−
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
=
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones4
FACTORES O DIVISORES
( 3 ) ( 4 ) ( - 6 ) = - 72
( 3 x ) ( 2 y ) = 6 xy
( 2 mn ) ( 5 n ) = 10 mn²
( - 5 x ² y ) ( 3 x ³ y ² ) = - 15 x y ³
Encuentra el factor que falta para que la igualdad sea verdadera.
5
Al procedimiento que realizamos en el ejercicio anterior lo llamamos FACTORIZACIÓN.
"FACTORIZAR ES DESCOMPONER EN FACTORES UNA CANTIDAD"
EXTRACCIÓN DE UN FACTOR COMÚN
Las expresiones algebraicas que al multiplicarse entre sí, dan como producto otra expresión algebraica, reciben el nombre de factores o divisores.
Para encontrar en un polinomio un factor común, es decir una expresión que sea un factor de cada uno de los términos del polinomio, nos apoyamos en el máximo común divisor. (M.C.D.)
EJEMPLO: Extraer el factor común del polinomio 12 m³ + 18 m² + 36 m
Buscamos el M.C.D. 12 m³ + 18 m² + 36 m 2 m
6 m² 9 m 18 3 ( 2 m ) ( 3 ) = 6 m
2 m² 3 m 6 M.C.D. = 6 m
FACTORIZACIÓN
24 x
8x
3x
Factores: ( 3 x ) ( 8 x )
2
1) 8 a = ( 4 a ) ( )
2) 12 mn = ( 3 m) ( )
3) 15 x²y = ( 5 x ) ( )
4) - 14 m³ = ( ) ( 7 m )
5) 48 a³b² = ( 6 a ) ( 2 b² ) ( )
6) 36 m²nx = ( 3 n ) ( 4 x ) ( )
7) - 6 a² + 12 b² = 3 ( + 4 b² )
8) 5 mn + 10 m = 5 m ( + )
9) 24 xy - 32 x = 8 x ( - )
10) 18 x²y - 9 xy² = 9 xy ( - )
BLO
QU
E 1Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones
5
BLO
QU
E 1
El factor común es "6 m", ( 2m )( 3 ) porque "6 m" está incluído en los tres términos del polinomio.
La factorización de 12 m³ + 18 m² + 36 m , con un factor común es: 6 m ( 2 m ² + 3 m + 6 )
Los factores son ( 6 m ) y ( 2 m² + 3 m + 6 )
6 m ( 2 m² ) = 12 m³ 6 m ( 3 m ) = 18 m² 6 m ( 6 ) = 36 m
6m ( 2 m² ) + 6 m ( 3 m ) + 6 m ( 6 ) = 12 m³ + 18 m² + 36 m
Factorizar con factor común, las siguientes expresiones algebraicas.
4
1) a² + ab = a ( a + b )
2) 3 a³ - a² = _______________________________________________
3) 15 m³ + 5 m² = _______________________________________________
4) 2 a²x + 6 ax² = _______________________________________________
5) 8 m² + 12 mn = _______________________________________________
6) 9 a³x - 18 ax = _______________________________________________
7) 12 c³d² + 36 c²d³ = _______________________________________________
8) 15 y³ + 20 y² - 5 y = _______________________________________________
9) 4 x² - 8 x + 2 = _______________________________________________
10) a³ + a² + a = _______________________________________________
11) 8 y² + 12 y - 20 y³ = _______________________________________________
12) 3 w + 3 w³ + 9 w² = _______________________________________________
13) 18 c³ - 6 c² + 9 c = _______________________________________________
14) 18 x³ - x² = _______________________________________________
15) 81 m - 27 m + 56 m = _______________________________________________
16) 10 ab - 5 ab² + 15 a²b = _______________________________________________
17) 100 + 10 x² - 20 x³ = _______________________________________________
18) 12 n² - 9 n³ + 6 mn = _______________________________________________
19) t + t²u - tu³ = _______________________________________________
20) 16 cd² - 8 c²d + 4 cd = _______________________________________________
21) 25 cv² + 75 c³v - 100 cv = _______________________________________________
22) abx³ + a²bx - ab³x = _______________________________________________
5
5 8 6
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones6
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto aplicamos la regla siguiente:
m² + 2 mn + n²
1.- Se extrae raíz cuadrada al primer término. m
2.- Se extrae raíz cuadrada al tercer término. n ( m + n )²
3.- Se anota el signo del segundo término. +
4.-Se comprueba si a l mult ip l icar la raíz del primero por la raíz del tercero y duplicado, da el segundo término. m² + 2 mn + n² = ( m + n )²
Obtén el binomio cuadrado del cual surge cada uno de los siguientes trinomios cuadrados perfectos.
FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO B
LOQ
UE 1
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones7
x² + 2 xy + y² = ( x + _____ )²
r² + 2 rw + w² = ( ____ + _____ )²
64 m² + 64 mn + 16 n² = _________________________
49 c + 42 c²d² + 9 d = _________________________
4 y² + 12 y + 9 = _________________________
25 d² + 10 d + 1 = _________________________
16 a² - 4 a + = _________________________
m - 2 m²n + n² = _________________________
a² - ab + 4 b² = _________________________
w² - 14 w + 49 = _________________________
= _________________________
= _________________________
= _________________________
= _________________________
= _________________________
44
4
49
14
83
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16 24 9
916
2 169
4 4
64 144 81
2
6 3 2 4
4 2 5 10
2
2 6 3 3 6
4 2 2 2 4 2
v v u u
m m n n
k k
d e de f f
a x a b xy b y
+ +
− +
− +
+ +
− +
BLO
QU
E 1 De un cuadrado de lado "x" se corta un cuadrado más chico de lado "y".
Con las partes que quedan se forma un rectángulo.
y
y
x
x
x + y
x - y
¿Cuál es el área del cuadrado A? ¿Cuál es el área del cuadrilátero B?
( x ) ( x ) = _________________ ( x + y ) ( x - y ) = ____________________________
Si observas con cuidado, encontrarás la forma para resolver productos como el del ejemplo.
A B
De la forma (x + a)( x - a)
En todos los casos, el área de cada rectángulo es una expresión de dos términos, y siempre se comporta de la misma manera.
¿Podrás decir cómo se formó cada término?
Primer término: ______________________________________________________________
Segundo término:______________________________________________________________
Largo del rectángulo = _____________
Ancho del rectángulo = _____________
Área del cuadrado = _____________
3m
2n
Largo del rectángulo = ________________ Áncho del rectángulo = ________________
Área del rectángulo = ________________
3m
2n
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones8
BLO
QU
E 1Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones
9
Resuelve los siguientes productos.
( w + 5 ) ( w - 5 ) = ____________________________________________
( 5 p + 6 q ) ( 5 p - 6 q ) = ____________________________________________
( - m + t ) ( m + t ) = ____________________________________________
( a + b ) ( a - b ) = ____________________________________________
( 2 c² + d ) ( 2 c² - d ) = ____________________________________________
( - 4 y + z² )( - 4 y - z² ) = ____________________________________________
( a + 3 b ) ( a - 3 b ) = ____________________________________________
( a² + c³ )( a² - c³ ) = ____________________________________________
( 2 m³ + 3 n ) ( 2 m³ - 3 n ) = ____________________________________________
( r² - t³ )( r² + t³ ) = ____________________________________________
( 7 m + 3 n )( 7 m - 3 n ) = ____________________________________________
( 2 a - d )( - 2 a - d ) = ____________________________________________
( 3 g + 2 h )( 3 g - 2 h ) = ____________________________________________
( 9 x² + 3 y³ )( 9 x² - 3 y³ ) = ____________________________________________
( m + n² )( m - n² ) = ____________________________________________
( ab + c )( - c + ab ) = ____________________________________________
( 7 + 3 )( 7 - 3 ) = ____________________________________________
( x² + 3 y³ )( x² - 3 y³ ) = ____________________________________________
( 1.2 x - 2.4 a³ )( 1.2 x + 2.4 a³ ) = ____________________________________________
[ ( x + y ) - a ] [ ( x + y ) + a ] = ____________________________________________
[ ( m - n ) + b ] [ ( m - n ) - b ] = ____________________________________________
[ x - ( y - z ) ] [ ( y - z ) + x ] = ____________________________________________
( m ² + n³ ) ( n³ - m² ) = ____________________________________________
( - 3 k - 5 t ) ( - 5 t + 3 k ) = ____________________________________________
( 3² + 5² ) ( 5² - 3 ² ) = ____________________________________________
23
23
35
35
73
73
34
34
44
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
2 3 2 35 7 5 7
3 1 1 35 2 2 5
2 27 7
BLO
QU
E 1
FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones10
La factorización de una diferencia de cuadrados es el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.
a² - b² = ( a + b ) ( a - b )
1.- Se extrae raíz al primer término, que será el primer término de los binomios.
2.- Se extrae raíz al segundo término, que será el segundo término de los binomios.
3.- Un binomio será la suma y el otro será la diferencia.
Factoriza la diferencia de cuadrados.
1) x² - 25 = ( + ) ( - )
2) z - y = ( + ) ( - )
3) 36 y² - 49 = ( + ) ( - )
4) m² - n² = ( + ) ( - )
5) 9 d² - 16 e² = ( + ) ( - )
6) 25 x - 64 y² = ( + ) ( - )
7) c² - = ( + ) ( - )
8) 81 a - 36 s = ( + ) ( - )
9) - 49 c² + 16 d² = ( + ) ( - )
10) - 36 g² + 4 h = ( + ) ( - )
11) 121 x² - 144 y² = ( + ) ( - )
12) ( x + y )² - ( x - y )² = ( + ) ( - )
2536
19
46
4
4
46
- b
a
a + b
a²
- b²
+ ab
- ab
BLO
QU
E 1
De la forma (x + a)( x + b)
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones11
Se tiene un rectángulo y se corta en cuatro figuras como se muestra.
El área de la figura A es: .................... _________________
El área de la figura B es: .................... _________________
El área de la figura C es: .................... _________________
El área de la figura D es: .................... _________________
El área del rectángulo que forman las figuras A, B, C y D, es:
_________________________________________________
En todos los casos, el área de cada rectángulo es una expresión de tres términos y siempre se comporta de la misma manera.
¿Podrás decir cómo se formó cada término?
Primer término: ______________________________________________________________
Segundo término: ____________________________________________________________
Tercer término: ______________________________________________________________
Aplicando esta regla, completa las siguientes expresiones.
1) ( m + n ) ( m + p ) = m² + m ( n + p ) + ______
2) ( x + y ) ( x + z ) = ______ + x ( x + z ) + ______
3) ( 2 a + b ) ( 2 a + c ) = 4 a² + 2 a ( ______ + ______ ) + bc
4) ( r + p ) ( r - q ) = ______ + r ( ______ + ______ ) - pq
5) ( 3 d - 4 e ) ( 3d - 5 f ) = 9 d² + 3 d ( - 4 e - 5 f ) + ( ______ )
6) ( 4 g - 2 h ) ( 4 g + 3 j ) = ________ + ________ - 6 hj
7) [ ( y - 2 ) + b ] [ b - ( y + 3 ) ] = b² + b [ ( __ - __ ) + ( __ + __ )] + ( ) ( )
x
2 D
B
C
A
4x
BLO
QU
E 1
Resuelve los siguientes productos notables.
( r + 2 p ) ( r + 9 ) = r² + r ( 2 p + 9 ) + ( 2 p )( 9 ) = r² + 2 pr + 9 r + 18 p
1) ( 2 t + w ) ( 2 t + x ) = ______________________________________________
2) ( 4 + a ) ( - 3 + a ) = ______________________________________________
3) ( a + b ) ( d + b ) = ______________________________________________
4) ( 3 d + 2 e ) ( 3 d - 5 f ) = ______________________________________________
5) ( 2 x - y ) ( 2 x + z ) = ______________________________________________
6) ( 3 f² + 1 ) ( 5 + 3 f² ) = ______________________________________________
7) ( 4 a - w³ ) ( 3 a - w³ ) = ______________________________________________
8) [ ( x + 1 ) - a ] [ a + ( x + 1 ) ] = ______________________________________________
9) ( x + 2 a ) ( x + b ) = ______________________________________________
10) ( - 4 a - 3 ) ( - 4 a - 5 ) = ______________________________________________
11) ( 3 m + 1 ) ( 3 m - 2 ) = ______________________________________________
12) ( a + x ) ( a + y ) = ______________________________________________
13) ( 2 c + 3 d ) ( 2 c - 2 e ) = ______________________________________________
14) ( - h + g ) ( - h - j ) = ______________________________________________
15) ( 4 t - 2 w ) ( 4 t - 3 y ) = ______________________________________________
16) ( c + 2 x ) ( c - 3 y ) = ______________________________________________
17) ( x + a ) ( x + b ) = ______________________________________________
18) ( 5d + 2e ) ( 2e - 5d ) = ______________________________________________
19) ( a b³ - b² c ) ( a b³ + b² c) = ______________________________________________
20) ( 7b³ - b² d ) ( 7b³ + b² d) = ______________________________________________
1 12 2
1 15 5
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones12
BLO
QU
E 1
FACTORIZACIÓN La factorización del trinomio que resultó del producto de dos binomios con un término común, se obtiene de la siguiente manera.
Si tenemos el producto notable: x ² + 7 x + 12
1.- Buscamos la raíz cuadrada del primer término, que será el término común en los dos binomios. ( x ) ( x )
2.- Dividimos el segundo término del trinomio entre el término común, este cociente lo descomponemos en dos cantidades, tales que multiplicadas den el tercer término y que sumada y multiplicada por el término común formen el segundo término.
7 x x
3.- El 7 se descompone en dos sumandos que son : 6 + 1, 5 + 2 ó 4 + 3; seleccionamos los que al multiplicarse nos de el tercer término, es decir 4 y 3, ya que ( 4 ) ( 3 ) = 12 (tercer término) y ( 4 + 3 ) por ( x ) = 7 x (segundo término)
Así pues, la factorización de x² + 7 x + 12 = ( x + 3 ) ( x + 4 )
Otro ejemplo: y² - 4y - 12 = ( y - 6 ) ( y + 2 )
Sumandos que den - 4 factores que den - 12 - 1 y - 3 = - 4 (- 1) (- 3) = + 3 - 2 y - 2 = - 4 (- 2) (- 2) = + 4 - 5 y + 1 = - 4 (- 5) (+ 1) = - 5 - 6 y + 2 = - 4 (- 6) (+ 2) = - 12
= 7
El - 6 y + 2 satisfacen la condición de que sumados dan el 2º témino y multiplicados dan el 3º término; por lo tanto, son la parte no común de los b inomios que resu l ta de factorizar el trinomio.
Factoriza los siguientes trinomios en binomios con un término común.
m² + 6 m + 5 = ( m + 5 ) ( m + 1 )
x² - 2 x - 8 = ( ) ( )
9 a² - 27 a + 8 = ( ) ( )
49 m - 14 m² - 3 = ( ) ( )
16 y² - 32 y + 15 = ( ) ( )
4 a² + 4 a - 15 = ( ) ( )
m² + 11 m + 24 = ( ) ( )
25 x² + 20 x + 4 = ( ) ( )
64 r² - 40 r + 6 = ( ) ( )
g² + 7 g + 10 = ( ) ( )
h² - 7 h + 10 = ( ) ( )
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones13
BLO
QU
E 1
Forma, espacio y medida Formas geométricas
Organizados en parejas, hagan lo siguiente.
1.- Marquen los cuadriláteros que, al cortarlos por una diagonal se obtienen dos triángulos CONGRUENTES (iguales).
2.- Para verificar su afirmación, en una hoja aparte dibujen los cuadriláteros y tracen una diagonal en cada uno de ellos, recórtenlos y comparen las figuras resultantes de cada cuadrilátero. Luego respondan:
¿En qué cuadriláteros los triángulos que se forman son CONGRUENTES?
_____________________________________________________________________________
¿Qué características debe tener un cuadrilátero, para que al trazarle una diagonal se formen dos triángulos CONGRUENTES?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Observa los siguientes dibujos:
CUERPO, es todo lo que ocupa un lugar en el espacio.Las líneas tienen una dimensión que es la LONGITUD.Las superficies tienen dos dimensiones, LARGO y ANCHO.Los cuerpos tienen tres dimensiones, LARGO, ANCHO y ALTO.Las líneas, las superficies y los cuerpos son FORMAS GEOMÉTRICAS.
1.2Aplicar los criterios de
congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los
cuadriláteros.
14
TRIÁNGULOSY
CUADRILÁTEROS
FIGURAS PLANAS
CBA
FED
Símbolo de congruencia
BLO
QU
E 1
Subraya la respuesta correcta, si son o no congruentes las siguientes figuras.
Haz un trazo congruente para cada caso:
a) Segmento de 5 cm de largo. b) Un ángulo de 30 grados.
c) Un cuadrado de 10 cm de perímetro. d) Un círculo de 4 cm de diámetro.
SÍ - NO SÍ - NO SÍ - NO
SÍ - NO SÍ - NO SÍ - NO
El punto medio de un segmento es el punto que separa al segmento en dos segmentos congruentes.
Desde luego, dos segmentos rectilíneos no necesitan ser parte de la misma recta para ser congruentes. Una forma sencilla para determinar si dos segmentos son congruentes o no, es utilizando un compás. __ __ __
Si C es el punto medio de AB, entonces AC es congruente con CB.
Forma, espacio y medida Formas geométricas15
~
La longitud de un segmento se escribirá MNEl segmento M'N' es congruente con MN
Se indica escribiendo M'N' = MN
A C B
BLO
QU
E 1
Tenemos el triángulo A B C cuyos lados miden AB = 6 cm, BC = 4 cm y AC = 5 cm. Conocemos los tres lados
Hay tres criterios de congruencia:
1) Conocidos los tres lados (lado, lado, lado) = (L,L,L).
2) Conocidos dos lados y el ángulo entre ellos (lado, ángulo, lado) = (L,A,L).
3) Conocido un lado y los ángulos de sus extremos (ángulo, lado, ángulo) = (A,L,A). Vamos trazando triángulos congruentes.
CASO 1
Dos o más figuras son CONGRUENTES, si tienen la misma forma y la misma medida.
Los ÁNGULOS CONGRUENTES son los que miden lo mismo
CONGRUENCIA ENTRE TRIÁNGULOS
Dos o más triángulos son congruentessi tienen iguales sus tres lados
A B~=A B45° 45°
1.- Trazamos dos segmentos AB y A'B' de 6 cm de
longitud cada uno.
2.- Se apoya el compás en A y A' y trazamos un arco con radio de 5 cm, enseguida se apoya el compás en B y B' y trazamos un arco con radio de 4 cm.
3.- Estos dos arcos se cortan en los puntos C y C'. Si se unen los puntos A, B, C, y A', B', C' se obtienen los triángulos congruentes.
Forma, espacio y medida Formas geométricas16
Se obtiene: AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C'
RESULTADO ABC = A'B'C'
BLO
QU
E 1
1.- Se trazan dos segmentos AB y A'B' de 5 cm
de longitud cada uno.
2.- Con el transportador se trazan los ángulos A, A' y B, B', ya conocidos.
3.- De los vértices A, A' y B, B' y con la medida de los ángulos obtenidos, trazamos las líneas correspondientes y en la intersección tendremos el vértice C y C'.
CASO 2
CASO 3 Dos o más triángulos son congruentes, si un ladoy los ángulos de sus extremos son iguales.
Conocido un lado y los ángulos de sus extremos. Sea el triángulo ABC con AB = 5 cm, A = 60° y B = 45°Conoces un lado y dos ángulos.
Forma, espacio y medida Formas geométricas17
C'
A' B'30°
6 cm
5 cm
C
30°A B6 cm
5 cm 1.- Trazamos dos segmentos AB y A'B' de 6 cm
de longitud cada uno.
2.- Sobre los vértices A y A' se mide el ángulo dado A = 30°.
3.- Sobre la medida de cada ángulo se trazan los otros lados AC y A'C' de 5 cm de longitud.
4.- Por último, se une con un segmento de recta
los puntos BC y B'C'.
Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Sea el triángulo ABC con AB = 6 cm, AC = 5 cm y A = 30°Conoces dos lados y un ángulo.
Se obtiene: AB = A'B', A = A', AC = A'C' RESULTADO: ABC = A'B'C'~
~~ ~
C
60° 45°A B5 cm
5 cm
C'
60° 45°A' B'
Se obtiene: A = A', AB = A'B', B = B' RESULTADO: ABC = A'B'C'
~~~
~
BLO
QU
E 1
A
J
Aplica los tres criterios de congruencia de triángulos para construir triángulos basados en lo siguiente:
¿Cuáles son triángulos congruentes?
( L, L, L ) ( L, A, L ) ( A, L, A )
L = 3 cm L = 6 cm = 63ºL = 4 cm = 45º L = 3.8 cmL = 5 cm L = 6 cm = 49 º
I
a
b
c
K
a
bcm n
2.5 cm
Forma, espacio y medida Formas geométricas18
B
60° 70°
3.5
cm
2.5 cm
2 cm
3 cm
F
90°
60° 70°
3.5 cm2.75
cm
2 cm
E
2 cm
3.5 cm
2.75 cm
A
H
Amn
90°
3 cm
2 cmG4 cm
8 cm
6 cmC
A = __________B = __________C = __________D = __________E = __________F = __________G = __________H = __________ I = __________J = __________K = __________
~~~~~~~~~~~
BLO
QU
E 1
CuadradoRectánguloRomboRomboide
A estos cuadriláteros también se les llama PARALELOGRAMOSporque tienen sus lados paralelos y congruentes.
1 2 3 4 5 6
PROPIEDAD DE LOS TRIÁNGULOS
PARALELOGRAMOS
LOS CUADRILÁTEROS TIENEN CUATRO LADOS1.- Cuadrado.2.- Rectángulo.
3.- Rombo.4.- Romboide.5.- Trapecio.6.- Trapezoide.
Son cuadriláteros
La suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. Trazo auxiliar de RS paralela a BC forman los ángulos M y N.
DEMOSTRACIÓN
m + α + n = 180° por ser ángulos colineales o suplementarios. m = β por ser ángulos ALTERNOS - INTERNOS. n = χ por ser ángulos ALTERNOS - INTERNOS. β + α + χ = 180° sustituyendo igualdades anteriores.
Encuentra el valor de los ángulos que faltan.
R---------------------------SA
m nα
β χB C
Forma, espacio y medida Formas geométricas19
b a a b c
40º a = _______
b = _______
a = __________
b = __________
c = __________
x = ________
A = ________
B = ________
105º
m
70°
55°
m = ______B
2x + 5°
3x + 8°
67°
A45º
BLO
QU
E 1
Necesitamos medir la distancia entre dos puntos A y B, los cuales se encuentran se separados por una laguna en el desierto, ¿cómo harías para calcular dicha distancia sabiendo que no tienes los medios para hacerlo directamente?
Un primer intento es tratar de "reproducir" la distancia entre A y B a una parte accesible para medirla directamente. ¿Cómo harías esto?
Sabemos que la distancia entre dos puntos es igual a la longitud del segmento que va de A a B, ahora la pregunta es ¿cómo construir un segmento, en una parte accesible, A'B' = AB? Es claro que tratar de hacerlo a "ojo" es complicado, es decir, como garantizar que la construcción hecha da realmente la medida deseada. Una posible solución es, tratar de construir una figura de tal forma que el segmento que se quiere medir forme parte de dicha figura, y tratar de "reproducirla" en una parte accesible para medir el segmento que se corresponde con el segmento que se quiere medir.
La figura más fácil de construir a partir de un segmento es un triángulo, entonces el problema se reduce a saber si podemos hacer alguna construcción a partir del triángulo ABC de tal forma que nos lleve a resolver el problema. Lo primero que se ocurre es construir otro triángulo, pero; ¿cómo hacerlo para solucionar el problema planteado al principio?
SOLUCIÓN.
Fijamos un punto accesible C de tal manera que se pueda medir el segmento A'C y B'C, prolongamos el segmento AC hasta un punto B' que cumpla AC = CB', análogamente prolongamos BC de modo tal que BC = CA'. Afirmamos que A'B' = AB; si esto pasa habremos resuelto el problema.
Bien, repasemos la solución que dimos al problema, construímos un triángulo a partir de otro que cumple con la propiedad de tener dos lados y el ángulo formado entre estos iguales a sus correspondientes en el otro triángulo (la igualdad de los ángulos se da por ser opuestos por el vértice).
Ahora demostremos si dados dos triángulos, con las características descritas arriba podemos concluir que el tercer lado es igual.
Dados dos triángulos ABC y _______ tales que:
AC = ______, ______ = A'C y
ACB = ______
entonces ______ = ______
Forma, espacio y medida Formas geométricas20
Laguna HuacachinaDesierto de Ica, Perú
A B
B' A'
C
A B
A' B'
C
Ubiquémonos en un terreno plano, que nos permita hacer las medidas que requiramos. Para ello, el terreno lo escogemos enfrente de la LAGUNA, señalando un punto C, en el terreno plano, que se encuentre a la altura de la parte media de la longitud AB. Con el punto C, estamos formando un triángulo isóceles ABC, donde se encuentra la medida que buscamos, en su lado AB; aún así, no podemos medir los lados AC y BC, cuyas longitudes son iguales, pero tienen una parte de ellas sobre la laguna.
Entonces, reproduzcamos, en el terreno plano, otro triángulo que sea semejante al ABC; as í pues , prolonguemos el lado AC, una longitud igual a él mismo, hasta marcar un punto A' y hagamos lo mismo con el lado BC, localizando el punto B'. Al unir los puntos A' y B', habremos logrado el triángulo A'B'C, sobre el terreno plano, siendo más fácil realizar medidas en él.
Busquemos la solución midiendo las longitudes de A'C y B'C, que deben ser iguales y, de la misma forma, midamos A'B', que debe tener la misma longitud del ancho de la laguna, que es el valor de nuestro interés.
BLO
QU
E 1
Dada la medida de un ángulo, calcular el valor de los demás.
1) ZWY + WYZ + YZW = 180° 2) YWX + WXY + XYW = 180° 45° + 45° + 90° = 180° 45° + 90° + 45° = 180°
1 + 2 = 360º
La suma de los ángulos interiores de los triángulosque forman el cuadrilátero es igual a 360º
180° + 180° = 360°
Son CONGRUENTES los ángulos y los lados opuestos de los paralelogramos.
4 = 120°
PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.
Al trazar una diagonal en cualquier PARALELOGRAMO se forman dos triángulos congruentes
D C
A B
X
12
Y
W
Z
Forma, espacio y medida Formas geométricas21
1 23 4
5 67 8
120°
~ ABC = ACD
ABC = 180°
ACD = 180°
ABC + ACD = 360°
1 = _____ 2 = _____
3 = _____ 4 = _____
5 = _____ 6 = _____
7 = _____ 8 = _____
9 = _____ 10 = _____
11 = _____ 12 = _____
13 = 55° 14 = _____
15 = _____ 16 = _____
1 23 4
5 67 8
9 1011 12
13 1415 16
4 + 11 = ________
6 + 13 = ________
4 + 11 + 6 + 13 = _________
BLO
QU
E 1
Consideren que la figura ABCD es un PARALELOGRAMO y que el segmento BD es una diagonal. Con base en esta información, busquen, organizados en equipos, los argumentos necesarios para asegurar que los triángulos ABD y BCD son congruentes.
Consideren que la figura ABCD es un PARALELOGRAMO, que los segmentos AC y BD son sus diagonales y que el punto O es donde se cruzan las diagonales. Con base en esta información, busquen, organizados en equipos, los argumentos necesarios para asegurar que las diagonales se cortan en su punto medio, es decir, que AO es igual a OC y BO es igual a OD.
Con base en la información que ofrece la siguiente figura, organizados en parejas, calculen las medidas que se piden y justifiquen sus respuestas.
Las medidas de AC y BD suman 60 cm. Si AM mide 3/10 de dicha suma, calcula: AM = __________ DM = __________ CM = _________ AC = __________ BD = __________ BM = _________
Si CD mide el triple de AD, y el perímetro de ABCD es de 80 cm, calcula la longitud de los cuatro lados del paralelogramo. AM = __________ DM = __________ AC = __________ BD = __________
A B
D C57º68º M
A D
B C
12
3
4
A D
B C
O
BCD = ________ DAB = ________ ABC = _______
CDA = ________ CBD = ________ DBA = ________
Forma, espacio y medida Formas geométricas22
E Q
Cada figura está formada por triángulos, escribe sobre las líneas los que sean congruentes.
M L
N O
P
______ = ______~ ______ = ______~
A D C
B______ = ______~
______ = ______~ ______ = ______~
La siguiente figura es un hexágono regular:¿Cuántos de los triángulos en la figura anterior son congruentes con el triángulo ABJ?
_______ _______ _______ _______ _______
¿Cuántos de los triángulos en la figura anterior son congruentes con el triángulo CDE?
_______ _______ _______ _______ _______
¿Cuántos de los triángulos en la figura anterior son congruentes con el triángulo EMD?
_______ _______ _______ _______ _______
Forma, espacio y medida Formas geométricas22
BLO
QU
E 1
A B
F C
E D
G
H LM
I
J
K
______ = ______~B
A
C
D
______ = ______~
C
B
A
D
L O
M Ñ
N
______ = ______~MNO
P K
L
BLO
QU
E 1
Recordando los conocimientos que ya has adquirido durante los años que ya cursaste,
expresa los conceptos de circunferencia y círculo.
1.3Determinar mediante
construcciones las posiciones relativas entre rectas y una
circunferencia y entre circunferencias.
Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.
En los cursos que ya has acreditado, aprendiste lo que son las rectas y segmentos en relación con la circunferencia; además, la suma de las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y cuadriláteros. ¡Ahora bién! anota la respuesta a lo que enseguida se presenta y compárala con la de tus compañeros.
La línea curva cerrada recibe el nombre de: .................................. ______________________
La región interior limitada por la línea curva cerrada se llama: ....... ______________________
Cuerda: __________________________________________________________________
Diámetro: __________________________________________________________________
Radio: __________________________________________________________________
Secante: __________________________________________________________________
Tangente: __________________________________________________________________
Arco: __________________________________________________________________
Circunferencia: ________________________________________________________________
Círculo: ________________________________________________________________
La circunferencia y el círculo, ¿son figuras geométricas diferentes? ... ___________________
¿por qué? ________________________________________________________________
¿Cómo se llaman las siguientes figuras?
RECTAS Y ÁNGULOS
Forma, espacio y medida Formas Geométricas23
BLO
QU
E 1
¿Cuáles resultaron ser rectas? ........................................... _____________________________
¿Cuáles resultaron ser segmentos? .................................... _____________________________
¿Cuánto mide el radio con respecto al diámetro? ............... _____________________________
¿Cuántas cuerdas se pueden trazar en un círculo? ........... _____________________________
¿Cuál es la cuerda de mayor dimensión? ........................... _____________________________
Forma un equipo con dos de tus compañeros, tracen pares de circunferencias en diversas posiciones.
1ª Posición 2ª posición 3ª posición
¿Cuántas posiciones diferentes pueden existir? _____________ Descríbanlas: ______________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Considerando que la recta "r" es tangente a la circunferencia "A". ¿Cuánto mide el ángulo central trazado en la circunferencia?
Forma, espacio y medida Formas Geométricas24
r
A30º
x
x = _______ r
A60º
y
y = ________
Calcular el valor del ángulo que se te indica en las siguientes figuras, sabiendo que la recta AD es tangente a las circunferencias.
a c d110º
m
n pq
mn
a
b
80º
a
b
c
105º
m = _____ n = _____a = _____
b = _____
70º
a = _____ b = _____ c = _____
a = _____ m = _____ n = _____ c = _____ d = _____ p = _____ q = _____
A
D
A
D
D
A
A
D
BLO
QU
E 1Forma, espacio y medida Formas Geométricas
25
1.- ¿Que ángulos tienen su vértice en el centro del círculo? ....................... _________________ 2.- Cuando su vértice está en el ____________ de la circunferencia recibe el nombre de ángulo
................................................................. _________________
3.- ¿El vértice del ángulo central podrá ubicarse en otro punto del círculo? _________________ Expliquen su respuesta ______________________________________________________ 4.- ¿Cuáles son los ángulos cuyo vértice se encuentra en la circunferencia?_________________
5.- Los lados de los ángulos b y c, están formado por ................................ _________________
6.- Cuando su vértice está en un ____________ de la circunferencia recibe el nombre de ángulo
................................................................ _________________
7.- Ángulo semi-inscrito es el formado por una ________________ y una _________________
8.- ¿En cuál figura, el diámetro forma parte del ángulo? ............................ _________________
9.- ¿Existirá un ángulo que esté formado por dos diámetros? .................... _________________ Expliquen su respuesta ______________________________________________________
Forma un equipo con dos de tus compañeros y den las respuestas a las preguntas tomando en cuenta las circunferencias que se muestran
RECTAS Y ÁNGULOS
Forma, espacio y medida Formas geométricas26
1.4Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si
ámbos abarcan el mismo arco.
BLO
QU
E 1
•
• •
•
A CBb
c
a
ED
ºed
BLO
QU
E 1
•
Forma, espacio y medida Formas geométricas
• •
27
Escriba el nombre del ángulo que corresponda, Ángulo central, Ángulo inscrito, Ángulo semi-inscrito.
Traza dos círculos, con radios de diferentes medidas en cada uno de ellos, traza un ángulo central y uno inscrito, de manera que sus lados coincidan en el mismo arco.
Recorta de un círculo, el ángulo que formaste y sobrepónlo en el otro círculo para compararlo. ¿Encuentras alguna relación entre sus medidas? ............... ___________
¿Cuál? ______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
•
De acuerdo con los resultados de la tabla, digan qué relación existe entre las medidas del ángulo central y la medida del ángulo inscrito.
Los arcos determinados en los círculos corresponden a la misma medida del ángulo. De aquí se puede concluir que: El ángulo central tiene la misma medida que el arco que subtienden sus lados.
B
A
C
A
B
O
Xº
AOB = XºAOB = AB
••
Ahora reúnete con otros 3 compañeros, comenta tus observaciones y juntos elaboren una tabla con las medidas de los ángulos central e inscritos que obtuvo cada uno.
BLO
QU
E 1
Forma, espacio y medida Formas geométricas28
ALUMNO Medida del ángulo central
Medida del ángulo inscrito
1
2
3
4
Para interpretar este concepto trazaremos circunferencias no congruentes que tengan el mismo centro, es decir, circunferencias concéntricas.
mza = 100°
nxb = 100°
pyc = 100° mza = nxb = pyc
moa = 100°
100°
cba
o
yx
z
mnp•
Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia (mitad de la circunferencia) son rectos; es decir, miden 90°.
Traza 4 ángulos inscritos que comprendan el mismo arco que el ángulo central AOB, como se muestra en la figura.
Colorea los triángulos que se formaron a partir de los diferentes trazos que hiciste.
¿Que tipo de triángulos se formaron? ............................................ _______________________
De los cuatro triángulos que inscribiste en la semicircunferencia considera dos de ellos, mide los ángulos de cada uno y registra sus medidas.
Triángulo 1 _______ _______ _______ Triángulo 2 _______ _______ _______
De acuerdo a los siguientes datos, encuentra la medida de los ángulos y arcos que se pide.
o
acb = 240°
aob =
o
a
cb
aob =
acb =
a o b
c
aob = 130°
acb =
a
o
c
b
bc
a
bo
acb = _____
aob = _____
BLO
QU
E 1Forma, espacio y medida Formas geométricas
29
aob =
acb =
o
ab
70º
ac
70º
abc = _____
abc = _____
A BO
C
•
BLO
QU
E 1
o
c
ba
Determina la medida de cada uno de los ángulos que se te piden.
abc =
•oa
b
c
npm =
• nm
p
o•o
110°
a
b
m
b
c
m .
110°
a
cabc = _____
amb = _____
acb = _____
acb = _____
abc = _____
amc = _____
•o
c
bab
a
130°
c
abc = _____
a
b
c
m•
bac = _____
bmc = _____
acb = _____
acb = _____
Forma, espacio y medida Formas geométricas30
def =
• d
e
of
¿Cuál será el área del círculo "O" cuyo radio mide 10 cm.? _____
¿Cuál será el área del anillo "A" cuyo ancho mide 5 cm.? _____
¿Cuál será el área del anillo "B" cuyo ancho mide 8 cm.? _____
¿Cuál será el perímetro de la circunferencia "B"? .............. _____
Determina la medida del ángulo cpm ................. ____________
Determina la medida del arco cnm ..................... ____________
Partiendo de las circunferencias trazadas en la parte inferior, cómo obtendrías las áreas de los anillos "A y B". Redacta el procedimiento que utilizarías para encontralas.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
A partir de las figuras dadas encuentra los valores de los ángulos que se indican.
m
n
a
b
c
m
bac = bmc =
a
45ºa
bo
m
n
a =
b
c
d
dbc =
r
60º
74º
p
p = ab =
114º
140º
a
b
c n
100°
c
BAO
• • •
• •
•
ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR
p
p = _____
b = _____
c = _____
mpn = _____
pnr = _____
acb = _____
anb = _____
c = _____
Puesto que ya sabes calcular el área de un círculo y sabes que un ángulo determina una fracción de éste, no será difícil que puedas calcular lo que se te pide.
a
1.5Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores
circulares y de la corona.
BLO
QU
E 1Forma, espacio y medida Medida
31
90º
b
c
m
p
30º
n
q
110º
A
O
C
B
c).- ¿Cuánto mide la superficie que la vaca no puede pastar? ........................... ____________________
d).- ¿Cómo harías para que la vaca pueda pastar en más superficie? ...................... ____________________
BLO
QU
E 1
Calcular la medida de los ángulos y arcos que se indican, tomando en cuenta la circunferencia y las rectas de la siguiente figura
A partir de los datos que se presentan, calcula la medida de los ángulos que se indican sabiendo que "O" es el centro de la circunferencia.
Una vaca está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una estaca que se encuentra en el centro del corral de forma cuadrada de 10 m de lado. El corral está sembrado de pasto en su interior.
a).- ¿Cuánto mide el área donde puede pastar la vaca? ..... ____________________
b).- ¿Cuál será el perímetro de la circunferencia que describe el desplazamiento de la vaca? ............................................................................ ____________________
A = _________________
B = _________________
C = _________________
M = _________________
OR = _________________
OPQ = _________________
RNQ = _________________
O = _________________
O
R
B116ºAC
M N
P
Q
•
Forma, espacio y medida Medida32
BAC =____________________
ABC =____________________
BCO =____________________
OCA =____________________
10 m
3 m
BLO
QU
E 1
Observa detenidamente la fotografía y detecta el lugar donde se encuentran las especificaciones o medidas que se mencionan en la información anterior. El triángulo en color rojo, es indicador de lo que se desea identifíques.
Si cada triángulo tiene tres lados y tres ángulos, contesta usando par de letras o palabras:
¿Cuál lado representa la altura de la torre? ........................ __________
¿Cuál lado representa el retiro de la base? ........................ __________
¿Cuál lado representa la inclinación de la torre? ............... __________
¿Dónde se ubica el ángulo que marca la inclinación? ........ __________
¿Qué nombre recibe el lado más grande del triángulo? ..... __________
Recordando de segundo grado, encuentra las coordenadas de cada uno de los vértices del triángulo. Considera cada lado de la cuadrícula con un valor de 5 metros.
A ( , ) B ( , ) C ( , )
Tomando en cuenta estos datos, completa el siguiente cuadro: __Valor de AB = ______ Valor de BC = ______
Triángulo
10
20
30
40
60
50
0 5
GRÁFICAS
La Torre Inclinada de Pisa es el campanario de la catedral de Pisa, Italia. Fue construida para que permaneciera en posición vertical pero comenzó a inclinarse tan pronto como se inició su construcción en agosto de 1173.
La altura de la torre es de 60 m desde la base, su base tiene un diámetro de 20 m, su peso se estima en 14,700 toneladas y la inclinación de 4.76° apartándose 5 m de la vertical, vistos desde la parte izquierda de la torre, mientras que desde la parte derecha, el ángulo de inclinación es de 85.24°. La torre tiene 8 niveles, una base de arcos ciegos con 15 columnas, 6 niveles con una columnata externa y remata en un campanario. La escalera interna en espiral tiene 294 escalones.
33
A
C
B
1.6Analizar la razón de cambio de un
proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la
inclinación o pendiente de la recta que lo representa.
Representación de la informaciónManejo de la información
Valor de "x" 0 1 2 3 4 5 6
Valor de "y" 0 60
¿Con qué nombre se les conoce a las rectas CB y EF? __________
¿Cuáles son las coordenadas de C y B? B( , ) C( , )
¿Cuántas veces es menor la "x" que la "y"? ................ __________
¿Cuántas veces es mayor la "y" que la "x"? ................ __________
Entonces, una "x" es igual a __________ "yes"
y también, una "y" es igual a __________ "equis"
La expresión matemática debe ser ...... __________ o __________
¿Cuáles son las coordenadas de E y F? E( , ) F( , )
¿Cuántas veces es menor la "x" que la "y"? ................ __________
¿Cuántas veces es mayor la "y" que la "x"? ................ __________
Entonces, una "x" es igual a __________ "yes"
y también, una "y" es igual a __________ "equis"
La expresión matemática debe ser ...... __________ o __________
¿Qué observas en la recta verde y en la recta azúl?
______________________________________________________
BLO
QU
E 1
34Representación de la informaciónManejo de la información
En el Triángulo anterior, dividamos el valor de BC entre el valor de AB.
También, dividamos cada uno de los valores de "y" entre cada valor de "x", en la tabla que completamos, y encontraremos el mismo valor.
Este valor que obtuviste es conocido como PENDIENTE y sirve para encontrar el ángulo de inclinación que tiene una recta.
Pendiente = BC/AB = 60/5 = 12
Veamos ahora, cómo la inclinación es una parte principal de una línea recta para representarla en forma matemática.
Recordemos que en segundo año aprendimos una fórmula para cualquier recta: y = mx + b, donde m fue llamada pendiente (inclinación) de una recta y, b intercepto (cruce con el eje de las "yes"). En el caso de la torre de Pisa, el valor de AB se localiza en una horizontal, mientras que el valor BC se encuentra en una vertical; por lo tanto, AB es la doceava parte de BC, o bien, BC es doce veces más grande que AB. Así pues, 12AB = BC y como BC = 60 m; entonces, 12AB = 60 ó sea AB = 5 Conclusión: Como AB se midió en las "equis" y BC en las "yes";
y = 12xVeámoslo de otra manera:
¿Qué sucederá si los ejes de coordenadas se cambian?
Veamos. Usa el INTERCEPTO teniendo en cuenta que las rectas son las mismas que en el ejemplo anterior y escribe su ecuación.
La relación entre el lado opuesto ( " y " ) a l á n g u l o y s u l a d o adyascente ("x") al mismo ángulo, es l o que se conoce como la PENDIENTE de un línea recta.
Ecuación de la
línea recta CB
__________________
Ecuación de la
línea recta EF
__________________
Veamos otro ejemplo:
Considerando la fotografía de la derecha, encuentra la pendiente de la escalinata, considerando cada triángulo, midiendo sus lados, y comenta lo que sucede entre ellas.
LADOS PENDIENTETriángulo azúl ........................... ______ ______ __________
Triángulo verde ......................... ______ ______ __________
Triángulo morado...................... ______ ______ __________
¿Cómo son las pendientes de los triángulos? __________________
¿Cuál será la expresión o función matemática que representa la inclinación de la escalera?. Considera un ángulo agudo de cada triángulo, en el origen de las coordenadas.
________________________
35Representación de la informaciónManejo de la información
BLO
QU
E 1
BLO
QU
E 1
Ya que entendimos cómo localizar el valor de la pendiente en una recta y cómo localizar el valor del intercepto, trabajemos con varias rectas, en diferentes ubicaciones, encontrándoles esos valores aprendidos y formandole la ecuación.
¿Qué vamos a hacer?
¡Fíjate bien!
- A la recta 1 vamos a dibujarle un triángulo rectángulo que tome cuadrículas completas, donde la hipotenusa sea la misma recta.
- Si la recta no está completamente sobre la hipotenusa, prolongarla hasta que cruce el eje de las "yes".
- En este caso, la altura del triángulo (longitud vertical), mide 2 unidades y la base, (longitud horizontal), cuatro unidades; por tanto, la pendiente tendrá el valor de 2/4 ó también 1/2 y, el intercepto un valor de + 6; entonces, la ecuación será: y = 1/2 x + 6 ó 2y = x + 12, si quitamos el 2 que se encuentra dividiendo.
1
8
9
7
6
5
43
2
x
y+ 6
36Representación de la informaciónManejo de la información
Trabajando en equipo, completen la tabla con los valores que correspondan a cada una de las rectas ubicadas en la cuadrícula. Sigan el proceso del ejemplo dado con la recta 1.
Recta Longitud Longitud Pendiente (m) Intercepto (b) Ecuaciónhorizontal vertical y = mx + b
1 4 2 2/4 ó 1/2 6 y = 1/2 x + 6 ó 2y = x + 12
2
3
4
5
6
7
8
9
BLO
QU
E 1
A partir de enero de 2008, el precio de la gasolina fue incrementado en 2 centavos por litro cada mes. Si en diciembre de 2007, llenar un tanque de gasolina de una capacidad de 60 litros, tenía un costo de $ 523.80 pesos, a $ 8.73 pesos por litro; encuentra los datos faltantes en el recuadro:
a) El incremento mensual que ha habido durante el el inicio del año y a través de cada uno de los meses siguientes,
b) Realiza una gráfica que represente el fenómeno y
c) La función matemática que lo identifica (ecuación).
TRABAJO EN EQUIPO.
a) En la gráfica de la izquierda, localicen los datos obtenidos en la tabla anterior y ubiquen sobre la recta los puntos faltantes, asignándoles una literal para identificarlos.
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
b) Tomen los pares de puntos que deseen y formen triángulos semejantes al azúl y verde de la gráfica. ¿Cuántos triángulos encontraron? .......................... ________
520
526
524
536
530
534
532
528
D E F M A M J J A O S
(8.93, 535.8)
(8.93, 527.4)(8.79, 527.4)
(8.79, 527.4)(8.73, 535.8)
522
R
UT
S
V
x
y
f) Con el mismo proceso, ST = ...... ________ g) Dividiendo ST entre RS = ......... ________
h) Por tanto, PENDIENTE = ......... ________
i) Ecuación de la recta _________________
c) Si analizamos el triángulo azúl, ¿cuál es el valor de RS? ............................ ________
d)¿Qué valores tomaron en cuenta para obtener RS? ........... ________ y ________
e) ¿Qué operación realizaron? ..... ________
37Representación de la informaciónManejo de la información
Mes D E F M A M J J A S O
Litro 8.73 8.79 8.93
Costo 523.8 527.4 535.8
BLO
QU
E 1
l) Dividiendo UV entre TU = ........ ________
m) Por tanto, PENDIENTE = ........ ________
n) ¿Cuál es la ecuación que representa la línea recta del problema? ____________
Sigan trabajando en equipo y encuentren la pendiente de cada uno de los triángulos que dibujaron en la línea recta de la hoja anterior.
TRIÁNGULO 1 TRIÁNGULO 2
TRIÁNGULO 3 TRIÁNGULO 4
TRIÁNGULO 5 TRIÁNGULO 6
TRIÁNGULO 7 TRIÁNGULO 8
¿Qué observas en los valores obtenidos en las PENDIENTES de los triángulos?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
I) Analizando de la misma manera el triángulo verde, ¿cuál es el valor de TU? ________
j)¿Qué valores tomaron en cuenta para obtener TU? ........... ________ y ________
k) Luego, UV = ............................. ________
38Representación de la informaciónManejo de la información
BLO
QU
E 1
2.- La fotografía de la derecha, muestra una estructura de construcción. Encuentren la PENDIENTE y ECUACION de cada una de las barras inclinadas.
3.- La fotografía de la izquierda, muestra la megabiblioteca de París. Encuentren la PENDIENTE y ECUACION de cada una de las aristas, derecha e izquierda, de las paredes de la pirámide de cristal.
1.- Al revisar el pago de la energía eléctrica, con un recibo de invierno y uno de verano, se encontró que este último es el triple que el primero. Encuentra la TASA DE INCREMENTO (PENDIENTE) que se tuvo entre los dos recibos y la ecuación que representa la línea de incremento.
39Representación de la informaciónManejo de la información
BLO
QU
E 1
5.- La fotografía corresponde a una const rucc ión de Sant iago de Compostela, España. Encuentra la pendiente y ecuación de cada una de las líneas verdes señaladas en l a s d i f e re n t e s p a r t e s d e l a edificación.
4.- La Pirámide de Cholula, en Puebla, Puebla, México, manifiesta una tumba real donde fueron encontrados restos humanos; encuentra la pendiente y ecuación de la escalinata que da acceso a dicha tumba.
Línea a:
Línea b: Línea c:
Línea d: Línea e:
Línea f: Línea g:
40Representación de la informaciónManejo de la información
e
a
g
d
cb
f
BLO
QU
E 1
6.- El incremento de los artículos de consumo, recíbe sus máximos incrementos durante los primeros meses del año. Encuentra la razón de cambio del primero al cuarto mes, si el primer mes una cámara fotográfica tiene un costo de $ 600.00 y al cuarto mes $ 1500.00. Si la misma razón se conserva, ¿cuál será el costo del mismo artículo en cada uno de los siguientes tres meses, después del cuarto?
41Representación de la informaciónManejo de la información
7.- Dos compañías de telefonía celular tienen diferentes políticasde cobros, según se manifiesta en la gráfica. Analizando las líneas de cobro, contesta lo que se está pidiendo.
a) ¿Qué costo tiene el inicio de llamada?
_________ _________
b) ¿Cuánto cobra cada una por minuto utilizado?
________ ________
c) ¿Cómo son los incrementos en el costo por minuto utilizado?... ________ ________
d) ¿Qué valor tiene la PENDIENTE de costo en cada una de las compañías? ...................................................................... ________ ________
e) ¿Cuál es la ECUACIÓN DE COSTO de cada compañía?....... ____________________
___________________
f) ¿Cuál será el cobro al consumirse 15 minutos de servicio? ..... ________ ________
g) ¿Cuál de las dos es más barata? ................................................................ _____________
minutos
Costo (pesos)
1.002.003.004.005.006.007.008.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8
BLO
QU
E 1
8.- El cobro que los taxis realizan, depende de las distancias recorridas y de las ubicaciones donde se encuentran los puntos de llegada. Si dos taxis distintos tienen un cobro diferente recorriendo la misma distancia, analizando la gráfica bajo la foto, encuentra:
a) ¿Cuánto cobra cada taxi, por cada kilómetro recorrido?
________ ________ 1 2
b) ¿Cuánto cobra cada taxi, al abordarlo?
________ ________ 1 2
c) ¿Cómo son los incrementos en el costo por kilómetro recorrido?
________ ________ 1 2
d) ¿Qué valor tiene la PENDIENTE de costo en cada uno de los taxis? ________ ________
1 2
e) ¿Por qué el costo es distinto en cada taxi a los 25 kilómetros?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
f) ¿Cuál ecuación representa el recorrido de cada taxi?
Taxi 1 __________________ Taxi 2 ___________________
g) Con base en las ecuaciones anteriores, completa la tabla de costos que se presenta enseguida.
Kilómetros 5 10 15 20 25 30 35 40
Taxi 1 $ 26
Taxi 2 $ 32
42Representación de la informaciónManejo de la información
Km5 10 15 20 25 30
123425262728
Costo
Taxi 1
Taxi 2
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E 1
GRÁFICAS
*NACIMIENTOS 2000-2007
2000 89,121 2001 96,7942002 85,981 2003 77,5572004 73,166 2005 77,1282006 69,167 2007 74,159
*Portal gubernamental del Estado de Chihuahua
En todos los Países del mundo actual, el conservar información estadística es una conducta acentuada, ya que estos datos son utilizados para una serie de proyectos que los Países, Estados o Municipios generan para lograr beneficios sociales o para prever fenómenos o eventos que puedan perjudicar a la población en general.
Los datos numéricos recogidos, entre más detallados sean, mayor precisión proporcionarán en la construcción de cualquier tipo de proyecto que las autoridades deseen implementar.
Pueden haber estadísticas de población, económicas, distribución de la riqueza, de producción alimenticia, de materias primas, de contaminación, de preparación académica y más ...
¿Qué otras estadísticas crees existen en la sociedad en que nos encontramos o en el interior de tu centro escolar?
__________________ __________________ __________________ __________________
__________________ __________________ __________________ __________________
Vamos viendo una estadística del Estado de Chihuahua en cuanto a nacimientos habidos desde el año 2000 hasta el año 2007. Si en tu escuela existe un aula de medios, solicita a tu Maestro los lleve a ella para capturar los datos que a continuación se expresan y poder con ellos obtener varios tipos de gráficas; si no tienen aula de medios, realícenlo manualmente.
Y , ¿ c ó m o l o h a c e m o s e n l a computadora?
1) Abre una hoja de Excel.2) Captura los datos de la información,
uno en cada celda.3) Cuando hayas terminado la captura,
selecciona con el mouse (ratón) los datos que quieres graficar.
4) Presiona el ícono de gráficas en la barra superior.
5) Elige el tipo de gráfico que deseas, de las opciones que se te presentan y obtienes tu gráfica. ¿Cómo la ves? Gráfica circular simple
yGráfica circular tridimensional
1.7Diseñar un estudio o
experimento a partir de datos obtenidos de
diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada
para presentar la información.
43Representación de la informaciónManejo de la información
BLO
QU
E 1
*NACIMIENTOSAÑO 2007 HOMBRES MUJERES TOTAL
ENERO 2,753 2,729 5,482FEBRERO 3,287 3,178 6,465MARZO 3,394 3,478 6,872ABRIL 3,295 3,295 6,590MAYO 3,295 3,387 6,682JUNIO 2,859 2,788 5,647
*NACIMIENTOSAÑO 2007 HOMBRES MUJERES TOTAL
JULIO 2,897 2,905 5,802AGOSTO 3,346 3,163 6,509
SEPTIEMBRE 3,369 3,283 6,652OCTUBRE 4,027 4,044 8,071
NOVIEMBRE 2,477 2,357 4,834DICIEMBRE 2,297 2,256 4,559
TOTAL ANUAL 37,296 36,863 74,159
*Portal gubernamental del Estado de Chihuahua
Observando los datos que originaron la gráfica de excel, contesta las siguientes preguntas:
1.- ¿En qué meses el total de nacimientos es más alto?
2.- ¿En qué meses nacen mayor cantidad de hombres?
3.- ¿En qué meses nacen mayor cantidad de mujeres?
4.- Si tu fueras el gobernante que decide, ¿para qué usarías estos datos?
5.- ¿En qué mes el total de nacimientos es más alto?
6.- Conformados en equipo, investiguen en el mismo portal gubernamental del Estado de Chihuahua, los datos correspondientes a MATRIMONIOS, MUERTES, DIVORCIOS, ADOPCIONES y NACIMIENTO-MUERTE y construyan una gráfica recordando lo que se aprendió en segundo año de secundaria, contestando las preguntas que en cada caso se plantean.
44Representación de la informaciónManejo de la información
BLO
QU
E 1
I.- MATRIMONIOS
1.- ¿En qué meses el total de matrimonios es más alto?
2.- ¿En qué meses el total de matrimonios es más bajo?
3.- ¿En qué meses el total de matrimonios es casi el mismo?
4.- Si tu fueras el gobernante que decide, ¿para qué usarías estos datos?
5.- ¿En qué mes el total de matrimonios es más alto?
II.- MUERTES
1.- ¿En qué meses el total de muertes es más alto?
2.- ¿En qué meses mueren mayor cantidad de hombres?
3.- ¿En qué meses mueren mayor cantidad de mujeres?
4.- Si tu fueras el gobernante que decide, ¿para qué usarías estos datos?
5.- ¿En qué mes el total de muerte es más alto?
GRÁFICA
GRÁFICA
45Representación de la informaciónManejo de la información
BLO
QU
E 1
IV.- ADOPCIONES
1.- ¿En qué meses el total de adopciones es más alto?
2.- ¿En qué meses el total de adopciones es más bajo?
3.- ¿En qué meses el total de adopciones es casi el mismo?
4.- Si tu fueras el gobernante que decide, ¿para qué usarías estos datos?
5.- ¿En qué mes el total de adopciones es más alto?
III.- DIVORCIOS
1.- ¿En qué meses el total de divorcios es más alto?
2.- ¿En qué meses los divorcios disminuyen?
3.- ¿En qué meses los divorcios aumentan?
4.- Si tu fueras el gobernante que decide, ¿para qué usarías estos datos?
5.- ¿En qué mes el total de divorcios es más alto?
GRÁFICA
GRÁFICA
46Representación de la informaciónManejo de la información
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E 1
V.- NACIMIENTO-MUERTE
1.- ¿En qué meses el total de nacimientos es más alto que muertes?
2.- ¿En qué meses el total de muertes es más alto que nacimientos?
3.- ¿En qué meses el total de nacimientos y muertes es casi el mismo?
4.- Si tu fueras el gobernante que decide, ¿para qué usarías estos datos?
5.- ¿En qué mes el total de nacimentos es más bajo que muertes?
VI.- Realicen una investigación en su salón sobre quién juega los deportes como el BEIS BOL, BASKET BOL, VOLY BOL, FUT BOL Y BOLICHE, haciendo las gráficas representativas del número de compañeros que practican alguno o varios de estos deportes y formúlense preguntas que se originen en los datos obtenidos. ¿Por qué ...?
PREGUNTA RESPUESTA
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_____________________________________ _____________________________________
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BEIS BOL GRÁFICA
GRÁFICA
47Representación de la informaciónManejo de la información
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E 1
48Representación de la informaciónManejo de la información
PREGUNTA RESPUESTA
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BASKET BOL GRÁFICA
PREGUNTA RESPUESTA
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VOLY BOL GRÁFICA
PREGUNTA RESPUESTA
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_____________________________________ _____________________________________ FUT BOL GRÁFICA
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E 149
Representación de la informaciónManejo de la información
PREGUNTA RESPUESTA
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