Post on 27-Jul-2020
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS No. 3 “ESTANISLAO RAMÍREZ RUIZ”
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS No. 3 “ESTANISLAO RAMÍREZ RUIZ”
Instrucciones Generales: Lee cuidadosa y detenidamente las siguientes cuestiones y resuélvelas mostrando la metodología o procedimiento a seguir, así como los cálculos realizados, en forma clara, ordenada y limpia. ¡ Éxito !.
I. Instrucciones.- Subrayar la respuesta correcta para cada una de las siguientes oraciones:
1. Es una relación entre dos o más Variables, en donde al darle un Valor a la Variable Independiente, la Variable Dependiente adquiere uno y solamente un valor.
a) Dominio b) Variable c) Función d) Relación
2. Es una dependencia entre Variables, en donde al darle un Valor a la Variable Independiente, la Variable Dependiente adquiere más de un valor.
a) Función b) Relación c) Constante d) Ámbito
3. Son Símbolos Alfabéticos que se caracterizan porque pueden adquirir diferentes valores.
a) Constantes b) Variables c) Imagen d) 2,4,16,23
4. Es el Conjunto de Números Reales para los cuales la expresión matemática (función) existe o esta definida.
a) Contradominio b) Función c) Constante d) Dominio
5. Es el conjunto de Imágenes en una expresión matemática (función).
a) Variable b) Dominio c) Contradominio d) Relación
6. Es el Valor que adquiere una expresión matemática (función) al asignarle un Valor a la Variable Independiente y al aplicar la Regla de
Correspondencia.
a) Ámbito b) Función c) Imagen d) Relación
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
II. Instrucciones.- Escribe en el paréntesis de la izquierda, la letra de la expresión que indique la respuesta correcta en cada una de las siguientes cuestiones:
a)
7. ( ) Es una forma de denotar la Derivada. L) 3.5)(,5)( 22 −=−= nnZcccI 8. ( ) Es el conjunto de todos los puntos
),( yx , en el Plano Cartesiano, es decir, de todas las parejas ordenadas [ ])(, xfx .
Q) dxyd
9. ( ) Son ejemplos de funciones trascendentes. N) Gráfica de una Expresión Matemática
10. ( ) Es un ejemplo de Constante Parámetro. Ñ) )3(cos)(,)6( +== xxRA x 11. ( ) Es un ejemplo de Constante Absoluta. P)
dxd )(
12. ( ) Son ejemplos de FUNCIONES. R) )(2)(,)( xxfmmS ±=±= 13. ( ) Son ejemplos de RELACIONES. S) 35− 14. ( ) Es una forma de denotar el
Operador Diferencial. T) g (gravedad)
b)
15. ( ) Es una forma de denotar la Derivada de Orden Superior de una función. A)
25
2 21,1)( ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−= xYmmmA
16. ( ) Se interpreta como la pendiente )(m de la recta tangente a la curva )]([ xf en un punto ),( yxP .
B) [ ]2
2 )(xdxfd
17. ( ) Son funciones Trascendentes. C) Interpretación Geométrica de la Derivada
18. ( ) Es un ejemplo de Constante Parámetro. D) )()(,
31 2hsenhKG =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=α
19. ( ) Es un ejemplo de Constante Absoluta. E) )(xD
20. ( ) Son ejemplos de FUNCIONES. F) La derivada, su interpretación como una tasa de variación.
21. ( ) Se interpreta como la variación del Volumen con respecto al tiempo, es
decir, [ ] ')( VtdtVd
= .
G) 1511
22. ( ) Es una forma de denotar el Operador Diferencial. H) 1q de 2
21)(dqqKdF =
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
III. Instrucciones.- Resuelve correctamente en forma clara y ordenada, mostrando el procedimiento:
1) Determina el Dominio de Definición de las siguientes funciones:
1. 2318)( xxxf −=
{ }ℜ∈xx
2. 44
)( 23 +−−−=
kkkkkN
{ }22,1, −≠≠≠ℜ∈ kykkkk
3. 132)( 2 +
+=xxxY
{ }ℜ∈xx
4. 2
1)(−
=m
mR
{ }2, ≠ℜ∈ mmm
5.
312
)(−
=
u
uuP
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >ℜ∈ 6
1, uuu
6.
2313
35
8)(+
−=
iiQ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −≠ℜ∈ 115
39, iii
7. ( )( )12
2+−
=xxxY
{ }12, −≠≠ℜ∈ xyxxx
8. ttS 7100)( +−= π
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −≥ℜ∈ 7
100, ttt
9. 3108
)( 2 −++
=ggwzgO
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −≠≠ℜ∈ 2
341, gyggg
10. 3+
=yyX
{ }3, −≠ℜ∈ yyy
11. 33
97)( bbbE +=
{ }ℜ∈bb
12. ww
wA −=)(
{ }0, ≠ℜ∈ www
13. ⎩⎨⎧
>
<+=
0,10,2
)(msi
msimmK
{ }0, ≠ℜ∈ mmm
14. exY −=)(
{ }ℜ∈xx
15. 11112
−
−+=
xxy
{ }11, >ℜ∈ xxx
16. 11
1)(2
2
−+
+=
xxxf
{ }0, ≠ℜ∈ xxx
17. 20)10(1)( −=ñP
{ }ℜ∈ññ
18. 0)( =ny
{ }ℜ∈nn
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
2. Determina el Dominio y Contradominio de las siguientes funciones:
19. 102 −= xY
{ }ℜ∈xx
{ }10, −≥ℜ∈ yyy
20. ⎩⎨⎧
>
≤=
0,90,
)(ksiksim
kM
{ }ℜ∈kk { }90, =≤ℜ∈ MyMMM
21. 29)( yyX −= { }33, ≤≤−ℜ∈ yyy { }30, ≤≤ℜ∈ XXX
22. qqP =)(
{ }
{ }ℜℜ
∈
∈
PP
23. 2)( ttR =
{ }ℜ∈tt
{ }0, ≥ℜ∈ RRR
24. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
≤≤−
−<−
=
5,555,
5,5)(
nsinsin
nsinP
{ }ℜ∈nn
{ }55, ≤≤−ℜ∈ PPP
25. 21)( =mA
{ }
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =ℜ
ℜ
∈
∈
21, AAA
mm
26. 937)( −+= rrT
{ }3, ≥ℜ∈ rrr { }7, ≥ℜ∈ TTT
27.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤≤−
<≤−
<≤−
<≤
=
43,332,221,1
10,
)(
xsixxsixxsix
xsix
xY
{ }40, ≤≤ℜ∈ xxx
{ }10, ≤≤ℜ∈ YYY
28. yyyN =)(
29. ⎩⎨⎧
≥+
<−=
0,10,1
)(esiesi
eB
{ }{ }11,
,
−==ℜ
ℜ
∈
∈
ByBBB
ee
30. ⎩⎨⎧
<−
≥−=
1,11,1)(
ssisssissf
{ }ℜ∈ss { }0, ≥ℜ∈ fff
31. xxF += 2)( { }0, ≥ℜ∈ xxx { }2, ≥ℜ∈ FFF
32. j
jC 1)( =
{ }0, ≠ℜ∈ jjj
{ }0, >ℜ∈ CCC
33. uy =
{ }0, ≥ℜ∈ uuu { }0, ≥ℜ∈ yyy
34. z
zP 1)( =
{ }{ }0)(,)()(
0,
>ℜ
≠ℜ
∈
∈
zPzPzP
zzz
35. xy 88−=
),0[]1,(
∞+
∞−
36. ⎩⎨⎧
<
>−=
0,100,10
xsixsi
y
( )
]10[]10[),0(0,
y−
∞+∪∞−
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
3. Determina la imagen de las siguientes funciones:
24)( 3 +−= xxxf para:
37. )1(f 38. )2(−f 39. )(af
40. 31
21)1()( ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+=
qqqqP si 0=q
21)( 2 +
−=xxxf para:
41. )0(f 42 )1(−f 43. )2( af 44. )1(x
f
45. 652 )3()1()( xxxF ++= si 1−=x
46. 3)( 3 −++= xxxxA si 1=x 47.
3
5
2
11)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
=h
hhM si 2=h
4. Dada las funciones:
a) 7)( 2 += wwK b) 25)( zzR +=
c) 2
35)( vvY +=
Determina y/o indica, además realiza:
1) El Dominio de definición.
2) El Contradominio. 3) La Variable independiente. 4) La Variable dependiente
5) La imagen si: a) 21
=w
b) 3
1=z
c)
53
−=v
6) El Gráfico de la función para: a) 43 ≤≤− w , en donde w es entero.
b) 53 ≤≤− z , en donde z es entero. c) 44 ≤≤− v , en donde v es entero.
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
5. Realiza las OPERACIONES MATEMÁTICAS o DEMOSTRACIONES indicadas para las funciones:
a) Demuestra que si 42
)()( −= yayA , entonces
)42()2()2( 2 +=+⋅− xAxAxA
b) Obtén ( ) )4(fg ,es decir, ( ))4(fg , si 54)( −
=xxf y 34)( −= xxg
c) Obtén ( ) )5(gf , es decir, ( ))5(gf , si 5
10)(−
=x
xf y 43)( −= xxg
d) Si 12)( += mmA , determina el valor de [ ]1)1(23
)3()()2( 2
++++
mmmAmAmA
e) Si aaM 21)( += , determina el valor de [ ])()2()3(
32)1(12 aMaMaM
aa++
++
f) Sea ( )xx aaxf −+=21)( y ( )xx aaxg −−=
21)( , demuestra que:
)()()()()( ygxgyfxfyxf +=+
g) Si xxf 2)( = , demuestra que: )4()1()3( f
xfxf
=−+
h) Si z
zR 1)( = , demuestra que: zzz
zzRzzRΔ−
Δ=−Δ− 2)()(
6. Resuelve los siguientes cuestionamientos relacionados con el límite de una función: 1. El alcohol es eliminado del organismo por los pulmones, por los riñones y mediante procesos químicos en el hígado. A niveles de concentración moderados el hígado efectúa la mayor parte del trabajo de eliminación del alcohol, mientras que pulmones y riñones eliminan menos del 5%. El hígado procesa el alcohol de la corriente sanguínea en una proporción r relacionada con la concentración x de alcohol en la sangre según la función racional
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
βα+
=xxxr )( en donde α y β son constantes positivas. Este es un caso
especial de la llamada Ley de Michaelis-Menten. Determina el ∞→
+
xxxLimβ
α
α
Obtén, Evalua o Determina:
a)
∞→
−−+
−+−
yyyyyyyLim2434254.2
45338910
210
b)
06523
3
2
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
xxxxxLim
c)
35
5312527)()(
3
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
=
g
gggMsigMLim
d) 0
5424
35
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
yyyyyLim
e)
55
43
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−
xxxLim
f)
32
2349 2
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
x
xxLim
g)
53
925310
2
2
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
m
mmmLim
h)
11432
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−+
xxxxLim
i) ∞→
−−+−+−
mmmmmmmLim734244.91
457711910
210
j)
282
42
2
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−
xxx
xLim
k) ( )[ ]0
1 33
→
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
h
xhxh
Lim l)
0
39
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
ss
sLim
m)
5
345
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−
yy
yLim n)
0
11
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−+
kk
kkLim
o)
∞→
−++
+−+
aaaa
aaaLim
1243548.30
5499723
895
329
p) 2
110025
2
2
→
−
++
xxxxLim
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
q)
0)()(cos1
→
−
xxsenxLim
0
r)
0
1)(cos
→
−
αααLim
0
s)
0
)(tan
→xxxLim
1
t)
0)()(cos1
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
θ
θθθ
senLim
21
u)
v)
( )+∞→
−+−
xxxxLim 652
25
−
w)
0
cos12
→
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
xxxLim
21
x)
0
tan3
→
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
xx
xsenxLim
21
y)
( )+∞→
−+
xxaxxLim )(
2a
z)
∞→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++
x
xxxLim3812
81
aa) 011
→
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
xx
xLim
2
bb) axax
axaxLim
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−++−
33
2 )1(
231aa −
cc) 828
3
→
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−
xxxLim
12
dd) 0
33
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
hh
xhxLim
3 231x
ee) 0
11
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−+
x
xxsenxsen
Lim
1
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
ff)
( )∞→
−++
xxxxLim 132
23
gg)
011525
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−+
vvvLim
hh)
51
( )2
)(→x
xfLim
si
⎩⎨⎧
>+−
<=
262
)(2
xparaxxparax
xf
4
( )5
)(→z
zQLim
si
⎩⎨⎧
>+−
≤+=
51052
)(zparazzparaz
zQ
existeNo
7. Resuelve los siguientes cuestionamientos referidos a la CONTINUIDAD de una función:
I. Determina la Continuidad o Discontinuidad de las siguientes
funciones:
a) 1,11)(
3
≠−−
= xxxxf
Discontinua en 1=x
Continua para cualquier número diferente de 1
b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+−
=
<
=
2,62,52,
)(
2
xxxxx
xf
Discontinua en 2=x
c) 22)(
2
−−−
=kkkkf
Discontinua en 2=k
Continua para cualquier número diferente de 2
d) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠=
0,1
0,1)( 2
m
mmmP
No es continua en 0=m
e) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−−−
=
2,1
2,22
)(
2
q
qqqq
qA Discontinua en 2=q
f) 21
1)(x
xf−
= Discontinua en el intervalo [ ]1,1−
Continua en el intervalo )1,1(−
g) ( )2
11)( −= ttS
Continua en el intervalo [ ]1,1−
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
8. Obtén la derivada de:
1. 23121
31
41)( 234 +−+−= xxxxxf 2. ( )35
38)( kkM π=
3. ( ) 433 1025)( −= xxy 4. 3 51
215 )2()3()( ++= xxqP
5. 3 28 )537()( −+= wwwH 6. 23 22 )10()( qhxqZ ++=
7. ( )23
)5()(
−
+=
qqq
qD 8. 7113
71
51
31)( 753 ++−+= xxxxxf
9. 7)()()( 2 +−= yCotyyR y 10. 23 22 )10()( qhxqZ +++= 11. [ ])()()( 3 xTgxSecLnxA = 12. ( ) ( ) ( ) 2110 )()( yArcCoteyP yArcSec += +
13. ( ) 344 912)( −= xxy 14. )9()()7()( 3
5 +−−= + nTanArcnLognJ n
15. 5 37 )456()( +−= zzzP 16. ( )mSecmLnmH )1()( 2 +=
17. 1003 )1(
3001
−= xy
9932' )1( −= xxy
18. 435 )1()12( +−+= xxxy
)39617()1()12(2 23334' +−++−+= xxxxxxy
19. 9
122)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
=tttg
10
8'
)12()2(45)(
+−
=tttg
20. 3 2 1
1)(++
=xx
xf
34)1(3
12)( 2'
++
+−=
xxxxf
21. )(tan)10()( wwT w π= [ ])(tan)10(ln)(sec)10()( 2' wwwT w πππ +=
22. )tan(log)( xxR =
)10(ln)(tan2)(sec)(
2'
xxxR =
23. [ ]xx xsenexA =)( [ ]
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++
= )(ln)cos()(' xsenexsene
xsenxexxsenexA xx
xxx
24. xsenxxxsenxy 2cos22 −+= xxy cos2' =
25. Demuestra que la derivada de
)2(tan21 xsenxy = es igual a )2( xsen .
26. Obtén dxdy
si )(cos21
)(2
2
xxseny
−=
[ ]( )22
2
)(cos212)(cos2
xxx
dxdy
−
−=
27. Diferenciar o Derivar 34cos 2 +++−= xxxxxseny y
demostrar que 42' ++= xxsenxy
28. )(log
)3(
8
log
xy
x
=
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
{ })(log
18lnlog8ln2
)3(
28
8
log
'
8
x
xxy
x
−=
29. xxsenxxseny
coscos
−+
=
2'
)cos(2
xxseny
−−
=
30. 5cos23)( zzsenzK −
=
zzsen
zsenzzKcos10152
2cos3)('−
+=
31. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−−=
aaxsenarcaxxaaxxY 222)()(
2' 22)( xxaxY −=
32. yaya
yaya
eeeeyH −
−
+−
=)(
2'
)(4)( yaya eeayH −+
=
33. xx
arcxxy 221tan4)4(ln 2 −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
)4(ln 2' xy +=
34. { })(lncos)ln( xxsenxy −= )ln(2' xseny =
9) Obtén dxdy
de las siguientes expresiones implícitas:
a) ( ) xyxyxx 788831
+=+−+ b) 52
2 =+xy
yx
c) ( ) 33622 yxyx −=+ d) 123663 +=⋅+⋅ −− xxyxy
e) ( ) ( )yxsenyx +=cos f) π+=+ 22 zxyx
g) 222 22
yxyyeex xx =++−
yxyeyexyxey
x
xx
42)(2)12(
2
22'
−+
−−−=
− h) 13 323 =+− ycyxbxa
xbycxayby 22
22'
−−
=
i) Obtén dzdy de 48.308.9 736 =−+ zyyzzα
63
725
78.94.296yzz
yzyzdzdy
−+−−
=α
j) ysenxy 3.0−=
ydxdy
cos31010−
=
k) byxa =+ )(cos2 1' −=y l) yxy =tan yxyyy 2
2'
cos1cos
−=
10) Obtén la derivada sucesiva de las siguientes expresiones matemáticas:
a) Si 85.321432)( 3468 −+−++= xxxxxxf
Obtén ( )xf V
b) Si ( )1
1−+
=xxxf , Obtén 2
2
xdyd
c) Si 3223 8632 yyxx −=+− , Obtén 2
2
xdyd d) Si xSenxy 43 2= , Obtén 2
2
xdyd
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
e) Si xSeny 2= , Obtén 3
3
xdyd f) Si ( )( ) 212+= xseny , Obtén ''y
11) Resuelve los siguientes cuestionamientos de
OPTIMIZACIÓN(Maximización/Minimización):
a) La Potencia eléctrica (Volts) en un circuito de corriente continua con 2
resistencias 1R y 2R , conectados en serie, es 2
21
21
)( RRRRVP
+= , donde V
es el voltaje. Si V y 1R se mantienen constantes, ¿qué resistencia 2R produce la MÁXIMA potencia?
21 RR =
b) Al estornudar, la tráquea se contrae, lo cual afecta a la velocidad v del aire que pasa por ella. Supongamos que la velocidad del aire durante un estornudo es: RrrrRKv <≤−= 0),()( 2 , donde K es una constante, R el radio normal de la tráquea y r el radio durante el estornudo. ¿Qué radio produce la MÁXIMA velocidad del aire?
Rr32
=
c) A partir de 2108 in de lámina, se desea construir una caja sin tapa de base
cuadrada, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la caja para obtener un volumen MÁXIMO?
.3.6inhinl
=
=
d) Sea 2001.010)( xxxI −= el Ingreso Total y 50002)( += xxC el Costo Total de manufacturar x artículos. La Utilidad Total se define como
)()()( xCxIxU −= . Demuestra que en el valor de x que MAXIMIZA la Utilidad, el Ingreso Marginal es igual al Costo Marginal.
e) Un granjero planea cercar un pastizal adyacente al río. El pastizal debe tener 200080 m para que proporcione alimento suficiente para el rebaño. ¿Qué
dimensiones requerirá la MENOR cantidad de cerca, si esta no se necesita a lo largo del río?
.200.400maml
=
=
f) Determina las dimensiones del cuadrilátero de área MÁXIMA que se pueda
inscribir en un círculo de radio r .
rl
rl
2
2
=
=
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
g) Si se cortan 4 cuadrados congruentes en las esquinas de un cartón cuya forma es cuadrada y tiene 12 pulgadas de lado y si se doblan sus 4 lados, se obtiene una caja sin tapa. ¿Cuál debería ser el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener una caja de volumen máximo?
.2
.2inlinl
=
=
h) De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen de
3100in , ¿cuál de ellos requiere la menor cantidad de material?
3
3
50
502
π
π
=
=
r
h
i) Una caja rectangular sin tapa con base cuadrada tiene un volumen de
3500cm . Determina las dimensiones que minimizan el área total de su base y sus 4 lados.
cmycmx
510=
=
j) Un granjero desea cercar un terreno rectangular con un área de 21800 ft y
utilizar algo de cerca para construir 2 cercas internas de división, ambas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere?
.240 ftP =
12) Resuelve los siguientes cuestionamientos referidos a la Derivada y
sus Interpretaciones: 1) La DERIVADA, su INTERPRETACIÓN como una TASA DE VARIACIÓN: a) La distancia, en metros, que ha recorrido una partícula en el tiempo t
se modela por: ( ) 23
3
+=ttD . Obtén [ ]
dttDd )( cuando
4=t segundos.
smD 16)4´( =
b) La distancia, en metros, que ha recorrido una partícula en el tiempo t
se modela por: ( ) 974 23 +−= tttD . Obtén la velocidad cuando 5=t segundos.
smtD 230)(' =
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
c) Un tanque cilíndrico, con eje vertical, está al principio lleno con 200,000
galones de agua. El tanque tarda 50 min. en vaciarse después de que se abre el desagüe en el fondo. Una consecuencia de la ley de Torricelli es que el volumen de agua que queda en el tanque después de ‘’t’’ minutos esta dado
por la función: ( )2
501000200 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=ttV en donde: [ ]galonesV = y
[ ] utost min= . Determina la razón de cambio instantánea a la que fluye hacia afuera el agua del tanque cuando 30=t .
NOTA: Suponer que el desagüe se abre en el tiempo 0=t .
utogalonestVmin
3200)(' −=
d) Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 m/seg., su altura en
metros después de ‘’t’’ segundos se expresa por 21640 tty −= . Obtén la velocidad instantánea cuando .2 segt =
smv 24−=
e) Una partícula se mueve en una órbita descrita por el modelo matemático
122 =+ yx . Cuando pasa por el punto ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + 321
21P su ordenada disminuye
a razón de segundounidades3 , ¿con qué rapidez varía su abscisa?
su
dtdx 33=
f) El peso W en gr. de un tumor maligno en el momento ‘’t’’ es
( ) tttW 09.02.0 2 −= , en donde ’’t’’ se mide en semanas. Encuentra el índice de crecimiento del tumor, es decir, la variación de peso del tumor con respecto al tiempo, cuando 10=t .
semanagtW 91.3)(' =
g) Un globo esférico se está expandiendo. Si su radio crece a razón de
utocm
min2 , con qué rapidez crece el volumen cuando el radio es de 5 cm.
utocm
dtdV
min3185.628
3
=
h) La altura h sobre el suelo, de un proyectil en el tiempo t está dada por
( ) SoVotgth ++−= 2
21 , en donde SoyVog , son constantes.
Encuentra la razón de cambio instantánea de h con respecto a t en .4 segt =
0' 4)( Vgth +−=
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
i) El costo de producir x artículos lo da la función ( ) xxC 1025000+= . Obtén la función de costo marginal.
xxC 5)(' =
j) La Utilidad obtenida al producir y vender x artículos se indica como
22200)( xxxP −= . Determina: a) la Utilidad Marginal b) ¿cuándo es igual a 0 la Utilidad Marginal?
artículosxxxP
504200)('
=
−=
k) La velocidad de un automóvil que arranca del reposo viene dada por
( )152
100+
=tttV en donde ( ) [ ]
smtV = . Determina la aceleración al cabo
de 5 seg.
sma 4.2=
l) El lado a de un triángulo equilátero aumenta hcm40 y su área aumenta
hcm2
800 . Calcula el valor numérico del lado del triángulo.
.09.23 cma =
m) El radio de una circunferencia aumenta scm5 , ¿con qué rapidez varía la
longitud de la circunferencia?
scm
dtdP
π10=
n) El periodo P (segundos) de oscilación de un péndulo simple de longitud L
(pies) está dado por gLP π2= , donde
232sftg = . Determina la tasa de
variación de P cuando 2=L .
fts
dLdP 3926.0=
o) Un tanque cónico recibe agua a una tasa de variación constante de .min
23ft .
¿Con qué rapidez se eleva el nivel cuando el agua tiene una profundidad de 6 ft.?
Nota: hrVcono2
31π=
.min368 ft
dtdh
π=
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
p) En una cisterna cónica fluye agua a una tasa de variación de .min
83ft . Si la
altura de la cisterna es de 12 ft. y el radio de su base circular es de 6 ft., ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando esta tiene 4 ft. de profundidad?
.min2 ft
dtdh
π=
q) Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial
igual a sft96 , describiendo su posición el modelo matemático
ttth 9616)( 2 +−= . Si t es el tiempo transcurrido en segundos desde el momento en que el proyectil fue lanzado y que h es la distancia vertical desde el punto de lanzamiento al nivel del suelo, determina:
a) El tiempo que le toma al proyectil alcanzar su altura máxima.
.3st = b) La altura máxima del proyectil.
.144)( ftth = c) El tiempo que tarda el proyectil en retornar a la tierra.
st 6= d) La velocidad instantánea del proyectil al impactarse con el
suelo.
sftv .96−=
13) La DERIVADA, su INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:
a) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva
1223 32 +−= xxy , en el punto ),( yxP , cuya abscisa es igual a cero.
b) Determina la ecuación de la recta tangente y normal a
la curva 723)( 23 ++−= xxxxY , en el punto ),( yxP , cuya abscisa es igual a 1.
c) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva
974 23 −+−= xxxy , en el punto ),( yxP , cuya abscisa es igual a cero.
. d) Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva, cuya función es
( ) xxxf += , en el punto cuya abscisa es igual a 1.
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
e) La función 21 xxy+
= recibe el nombre de “La Serpentina”. Deduce una
ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto cuya abscisa es igual a 3.
027504 =−+ yx
f) La función 211x
y+
= recibe el nombre de “La Bruja de Agnesi”.
Deduce una ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto cuya abscisa es igual a -1.
022 =+− yx g) Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva ( ) xxxf 23−=
en el punto cuya abscisa es igual a -3.
h) Encuentra las ecuaciones de la recta normal y tangente a la curva yxxy 64 44 += en el punto ( )2,1P .
i) Determina las longitudes de la Subtangente, Subnormal, la Tangente
y la Normal a las curvas:
1. 32 )1( −= xy en )8,5(P
2. 23413 2 ++−= xxxy en )3,1(P
3. 2−
=xxy en )3,3(P
1. Subtangente 3/8=
Subnormal 24= Tangente 43.8= Normal 2.25=
2. Subtangente 3=
Subnormal 4/41= Tangente 73
4115
=
Normal 7345
=
3. Subtangente
23
−=
Subnormal 6−= Tangente 5
23
=
Normal 53=
j) Obtén los ángulos de intersección de las curvas xy 42 = y yx 5122 2 −= .
'546'4083
°=
°=
θ
θ
k) Determina las ecuaciones de las rectas tangente a la curva
23)( 2 +−= tttR en los puntos cuya ordenada es igual a cero.
0102
=−+
=+−
tRtR
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN
l) Obtén la ecuación de la recta normal a la curva 41
232
3)( xxxxf +−=−
en el punto cuya abscisa es igual a 1.
0897712 =+− yx
o) Determina la ecuación de la tangente a la curva 0255 =−+ yxyx en el punto )1,1(P .
02 =−+ yx
14) Realiza el ANÁLISIS de las siguientes funciones a través de concepto, la definición e interpretación de la derivada:
a) ( ) 21232 23 +−−= xxxxf
b) 232 23 +−+= xxxy
c) ( ) xxxxf 634 23 −+=
d) 693 23 +−+= xxxy
e) ( ) 23 3xxxf +=
f) ( ) 32 23 +++= xxxxf
g) ( ) 23 23 +−= xxxf
h) ( ) 2225 23 +−−= xxxxf