Intervalo de confianza para la media

poblacional con muestras pequeñas

Felipe de Jesús Cordero González 2° “D”

Lic. Gerardo Edgar Mata Ortiz

Introducción

› Para calcular intervalos de confianza para la media de una población que requieren que el tamaño muestral sea pequeño, se puede utilizar una distribución de probabilidad denominada t de Student.

› La distribución t de Student fue descubierta en 1908 por William Sealy Gossett, un estadístico que trabajó en la cervecera Guinness, en Dublín, Irlanda. La dirección de Guinness consideró que el descubrimiento era información privada y prohibió a Gossett que lo publicara. Aun así, él lo publicó, usando el seudónimo “Estudiante”.

Restricciones› No use la estadística t de Student si la muestra contiene datos atípicos.

› Para que la estadística t de Student sea válida, la muestra debe provenir de una población que es aproximadamente normal. Tales muestras rara vez contienen datos atípicos. Por tanto, los métodos que implican la estadística t de Student no se deben utilizar en muestras que contienen datos atípicos.

› Para comprobar que no existan datos atípicos en la muestra, se utiliza la gráfica de caja y bigotes, donde claramente se puede notar la distribución normal de los datos.

› El número de muestras debe ser ≤ que 30.

La fórmula para obtener la media poblacional utilizando la distribución t de Student es la siguiente:µ = ±tn-1,α/2

Donde:: Media de las muestras.tn-1,α/2: Valor obtenido de la tabla de Puntos porcentuales superiores para la distribución t de Student.S: Desviación estándar.n: Número de muestras.

Ejemplo

› El ingeniero civil Toñín realizó una serie de pruebas destructivas sobre vigas de concreto, acerca de su resistencia de esfuerzo cortante. Realizó 13 pruebas y obtuvo los siguientes resultados en KN: 380, 725, 415, 532, 864, 920, 642, 821, 632, 945, 713, 521, 639.

› Determina un intervalo de confianza al 98% para la media poblacional.

Comprobación de datos atípicos

› Cálculo de posibles datos atípicos creando un gráfico de caja y bigotes en Excel.

380 Valores Anchos725 Min 380 380415 Q1 532 152532 Q2 642 110864 Q3 821 179920 Max 945 124642821 RIC 289632 Min 98.5945 Max 1254.5713521639

0

200

400

600

800

1000

Gráfico de Caja y bigotes

› Como se puede observar en los resultados obtenidos, las pruebas no muestran algún dato atípico, fuera de rango, que afecte la utilización de la distribución t de Student.

› Posteriormente, comienza el desarrollo del problema sustituyendo la fórmula anteriormente mostrada, para llegar al resultado deseado.

Resolución

› Sustitución de la fórmula:

: 673tn-1,α/2: 2.681S: 181.86n: 13

› Resultado:

µ = ±tn-1,α/2

µ = 673±2.681()

µ = 673±135.22

µ€(808.22, 537.77) al 98%

Interpretación del resultado

› El intervalo de confianza para la media poblacional con una distribución t de Student para el ejemplo mostrado es de 808.22 KN y 537.77 KN, con un nivel de confianza del 98%.

µ€(808.22, 537.77) al 98%