Post on 16-Feb-2018
7/23/2019 INTRO coordenadas
1/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
INTRODUCCIN
Sistema de coordenadas:
Engeometra, un sistema decoordenadas es un sistema que
utiliza uno o ms nmeros
(coordenadas) para determinar
unvocamente la posicin de
unpuntoo de otro objeto
geomtrico. El orden en que se
escriben las coordenadas es
significativo y a veces se las
identifica por su posicin en
unatuplaordenada; tambin selas puede representar con letras,
como por ejemplo la
coordenada-x. El estudio de los
sistemas de coordenadas es
objeto de lageometra analtica,
permite formular los problemas geomtricos de forma "numrica".
Un ejemplo corriente es el sistema que asignalongitudylatitudpara
localizarcoordenadas geogrficas. Enfsica, un sistema de coordenadas
para describir puntos en el espacio recibe el nombre desistema dereferencia.
Un sistema de coordenadas permite "etiquetar" los puntos de
unavariedad diferenciablemediante un conjunto den-tuplas. Los casos
ms sencillos de sistemas de coordenadas se definen sobre el espacio
eucldeo o "espacio plano", aunque tambin es posible construirlos sobre
variedades concurvatura. Un sistema de coordenadas sobre una
variedad n-dimensional se representa como un par ordenado
formado por un dominio y una aplicacin diferenciable a un conjunto
abierto de , ste ltimo conjunto contiene los posibles valores de las
coordenadas, que obviamente sern nmeros reales.
Cambios de coordenadas:
Coordenada! Cur"ilnea!
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_(cartograf%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Latitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_geogr%C3%A1ficashttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/N-tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvaturahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_(cartograf%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Latitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_geogr%C3%A1ficashttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/N-tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvaturahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa7/23/2019 INTRO coordenadas
2/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
En la resolucin de problemas fsicos y matemticos es comn la
estrategia del cambio de coordenadas. En esencia un cambio de
coordenadas supone cambiar las variables de las que depende el problema,
a otras coordenadas diferentes en las que el problema puede tener una
forma equivalente pero ms simple, que permite encontrar la solucin conmayor facilidad.
Ms formalmente un cambio de coordendas puede representarse por
undifeomorfismoo aplicacin biyectiva ydiferenciable(con inversa
tambin diferenciable) entre dos conjuntos de , aqu llamados y :
Este cambio de variable permite por ejemplo reescribir integrales delsiguiente modo:
Donde:
representa la funcin que pretende
integrarse expresada en las viejas y las nuevas coordendas.
es eljacobianodel cambio de coordenadas.es el dominio de integracin expresado en las
viejas y las nuevas coordenadas.
Para transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en trminos de
las nuevas coordenadas se usan las leyes detransformacin tensorial:
Origen de coordenadas:
Coordenada! Cur"ilnea!
http://es.wikipedia.org/wiki/Difeomorfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Jacobianohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Difeomorfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Jacobianohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial7/23/2019 INTRO coordenadas
3/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
Elorigen de coordenadases el punto de referencia
de un sistema de coordenadas. En este punto, el
valor de todas las coordenadas del sistema es nulo.
Sin embargo, en algunos sistemas de coordenadas
no es necesario establecer nulas todas lascoordenadas. Por ejemplo, en un sistema de
coordenadas esfricas es suficiente con establecer el
radio nulo ( ), siendo indiferentes los valores de
latitud y longitud. En un sistema de coordenadas cartesianas, el origen es
el punto en que los ejes del sistema se cortan.
COORD#N$D$% CUR&I'(N#$% G#N#R$'#%
Generalidades:
Un sistema de coordenadas curvilneos es la forma ms general de
parametrizar o etiquetar los puntos de un
espaciolocalmenteeucldeoovariedad diferenciable(globalmente el
espacio puede ser eucldeo pero no necesariamente). Si tenemos un
espacio localmente eucldeo M de dimensin m, podemos construir un
sistema de coordenadas curvilneo local en torno a un punto p siempre a
partir de cualquierdifeomorfismoque cumpla:
Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas
curvilneas:
Si el espacio localmente eucldeo tiene la estructura devariedad de
Riemannse pueden clasificar a ciertos sistemas de coordenadas
curvilneas ensistema de coordenadas ortogonalesy cuando es sistema decoordenadas ortonormales. Lascoordenadas cilndricasy lascoordenadas
esfricasson casos particulares de sistemas de coordenadas ortogonales
sobre el espacio eucldeo .
El clculo diferencial en variedades permite generalizar el concepto de
coordenadas cartesianas, cilndricas o esfricas a variedades
diferenciables, es decir, espacios globalmente no eucldeos que sin
Coordenada! Cur"ilnea!
http://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Localmentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Difeomorfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Localmentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Difeomorfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas7/23/2019 INTRO coordenadas
4/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
embargo sonlocalmenteeucldeos. Los sistemas de coordenadas
totalmente generales son difciles y en general no tienen propiedades que
los hagan interesantes. Una clase especial de estos son lascoordenadas
ortogonales. Un sistema de coordenadas ser ortogonal si los vectores
tangentes a las curvas coordenadas xi son ortogonales, es decir, si:
TUPLA
Donde g(, ) es eltensor mtricodel espacio donde se definen las
coordenadas.
A continuacin realizaremos un estudio y descripcin simple y
generalizada de las coordenadas curvilneas y su gnesis.
Coordenadas Curvilneas Generales:
Como hemos visto se podr definir un sistema de coordenadas
generalizadas (q1; q2; q3) tales que
genere una trada de vectores base ortonormales de vectores
unitarios tales que
Coordenada! Cur"ilnea!
http://es.wikipedia.org/wiki/Localmentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Localmentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9trico7/23/2019 INTRO coordenadas
5/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
los cuales son vectores tangentes a las curvas que define el radio vector .
Claramente si el sistema es ortogonal los factores de escala son
importantes para su categorizacin
con lo cual podemos definir el elemento de lnea como
Es decir que identificamos la mtrica como
De tal forma que los casos particulares se recuperan fcilmente.
Anlisis de Casos Particulares:
A) Coordenadas Cartesianas:
El primer caso, el ms trivial, lo constituyen las coordenadascartesianas. Vale decir:
consecuentemente
Coordenada! Cur"ilnea!
7/23/2019 INTRO coordenadas
6/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
El elemento de lnea viene definido como
y el tensor mtrico ser
El hecho que para el caso de las coordenadas cartesianas hx= hy= hz=
1 significar que las tomaremos como coordenadas base respecto a las
cuales expresaremos las dems.
B) Coordenadas Cilndricas:
Las coordenadas cilndricas se expresan como
y estas cantidades pueden ser identificadas de las leyes de transformacin
respecto a las coordenadas cartesianas
con lo cual es fcil identificar
y de all
Coordenada! Cur"ilnea!
7/23/2019 INTRO coordenadas
7/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
y del mismo modo
mientras que los vectores unitarios sean
El elemento de lnea viene definido como
y el tensor mtrico ser
C) Coordenadas Esfricas:
Para construir el sistema de coordenadas esfricas
y estas cantidades pueden ser identificadas de las leyes de transformacin
respecto a las coordenadas cartesianas
Coordenada! Cur"ilnea!
7/23/2019 INTRO coordenadas
8/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
con lo cual es fcil identificar
y de all
y del mismo modo
Finalmente,
Coordenada! Cur"ilnea!
7/23/2019 INTRO coordenadas
9/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
mientras que los vectores unitarios sern
El elemento de lnea viene definido como
El tensor mtrico ser
Coordenada! Cur"ilnea!
7/23/2019 INTRO coordenadas
10/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
Otros Sistemas Coordenados:
Por complementitud se enumeran algunos sistemas de coordenadas
adicionales:
1) Coordenadas Toroidales:
con
con lo cual los vectores unitarios sern
la mtrica queda como
Las superficies = const representan toros alrededor del eje z; las
superficies = const son esferas con centro sobre el eje z; y finalmente las
superficies = const son planos que contienen al eje z.
Coordenada! Cur"ilnea!
7/23/2019 INTRO coordenadas
11/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
2) Coordenadas Elipsoidales:
Nota:
Coordenada! Cur"ilnea!
7/23/2019 INTRO coordenadas
12/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
Ntese que las proyecciones de las superficies cudricas homofocales
del inicio, en el plano (x; y), representan curvas cnicas homofocales.
Resumen:
Coordenadas curvilneas en 2D:
Coordenada! Cur"ilnea!
7/23/2019 INTRO coordenadas
13/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
$)'IC$CIN
Velocidades y Aceleraciones:
Ahora realizaremos un pequeo anlisis de dos vectores muy conocidos
y explotados en el clculo: la velocidad y la aceleracin. Analizaremos sus
expresiones en coordenadas generalizadas. Para ello recordamos que los
vectores velocidad y aceleracin se representan como
respectivamente. Para determinar las expresiones de estos vectores en
cualquier sistema de coordenadas es suficiente encontrar las expresiones
de sus componentes contravariantes o covariantes. Como sabemos,
podremos encontrar una a partir de las otras con la ayuda de la mtrica
del sistema de coordenadas.
Entonces, el vector velocidad en base cartesiana se puede expresarcomo
claramente las componentes contravariantes del vector velocidad en un
sistema de coordendas generalizando son .
Para encontrar las componentes covariantes recordamos que para
cualquier base generalizada de vectores o formas se expresan en trmino
de la base cartesiana (de vectores o forma) como
Coordenada! Cur"ilnea!
7/23/2019 INTRO coordenadas
14/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
Entonces las componentes covariantes del vector velocidad en una base
generalizada ser
Con lo cual resulta fcil expresar las componentes covariantes una vez
que conocemos el mdulo del vector expresado en ese sistema de
coordenadas, el cual siempre viene expresado a partir del diferencial.
Para encontrar la expresin para la aceleracin se procede de manera
anloga.
y otra vez
y finalmente
Coordenada! Cur"ilnea!
7/23/2019 INTRO coordenadas
15/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
G'O%$RIO
DIFEOMORFISMO
Un difeomorfismo es un homeomorfismo diferenciable entrevariedades
diferenciablescuya inversa tambin es diferenciable, es decir, es un
isomorfismo de variedades diferenciables. Loscambios de
coordenadasconstituyen un caso particular de difeomorfismo.
Un ejemplo para distinguir entre homeomorfismo y difeomorfismo:
Unacircunferenciay elpermetrode un cuadrado son homeomorfos, pero
no difeomorfos.
GEOMETRA DE RIEMANN
Engeometra diferencial, la geometra de Riemann es el estudio de
lasvariedades diferencialesconmtricas de Riemann; es decir de una
aplicacin que a cada punto de la variedad, le asigna unaforma
cuadrticadefinida positivaen suespacio tangente, aplicacin que vara
suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras
magnitudes)ngulo,longitud de curvas, yvolumen. A partir de stas,
pueden obtenerse otras magnitudes porintegracinde las magnitudes
locales.
Coordenada! Cur"ilnea!
http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Cambio_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Cambio_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Forma_cuadr%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Forma_cuadr%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Positivo_definidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Cambio_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Cambio_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Forma_cuadr%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Forma_cuadr%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Positivo_definidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n7/23/2019 INTRO coordenadas
16/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
HOMEOMORFISMO
Entopologa, un homeomorfismo (del griego (homoios) = misma y*
(morph) = forma) es unabiyeccionentre dosespaciostopolgicospor unaaplicacinbiyectiva que es continua y cuyainversaes
continua. En este caso, los dos espacios topolgicos se dicen
homeomorfos. Las propiedades de estos espacios que se conservan bajo
homeomorfismos se denominan propiedades topolgicas.
En lacategora de espacios topolgicos, losmorfismosson las funciones
continuas y los isomorfismos son los homeomorfismos.
Consecuentemente, la composicin de dos homeomorfismos es de nuevo
un homeomorfismo, y el conjunto de todos los homeomorfismos h: X X
de un espacio en s mismo forman un grupo llamado grupo dehomeomorfismos de X, que suele notarse como Homeo (X).
De modo intuitivo, el concepto de homeomorfismo refleja cmo dos
espacios topolgicos son los mismos vistos de otra manera: permitiendo
estirar, doblar o cortar y pegar. Sin embargo, los criterios intuitivos de
estirar, doblar, cortar y pegar requieren de cierta prctica para
aplicarlos correctamente. Deformar un segmento de lnea hasta un punto
no est permitido, por ejemplo. Contraer de manera continua un intervalo
hasta un punto es otro proceso topolgico de deformacin
llamadohomotopa.
TENSOR
Enmatemticasy enfsica, un tensor es cierta clase de entidad
algebraica de varias componentes, que generaliza los conceptos
deescalar,vectorymatrizde una manera que sea independiente de
cualquiersistema de coordenadaselegido. En adelante utilizaremos
elconvenio de sumacin de Einstein.
Una vez elegida una base vectorial, las componentes de un tensor en
una base vendrn dadas por una multimatriz. El orden de un tensor ser
el nmero de ndices necesario para especificar sin ambigedad una
componente de un tensor: un escalar ser considerado como un tensor de
orden 0; un vector, un tensor de orden 1; y dada una base vectorial, los
tensores de segundo orden pueden ser representados por unamatriz.
Coordenada! Cur"ilnea!
http://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Biyeccionhttp://es.wikipedia.org/wiki/Biyeccionhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_topol%C3%B3gicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_topol%C3%B3gicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inversahttp://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa_de_espacios_topol%C3%B3gicoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Morfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Homotop%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Convenio_de_sumaci%C3%B3n_de_Einsteinhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Biyeccionhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_topol%C3%B3gicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_topol%C3%B3gicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inversahttp://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa_de_espacios_topol%C3%B3gicoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Morfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Homotop%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Convenio_de_sumaci%C3%B3n_de_Einsteinhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)7/23/2019 INTRO coordenadas
17/17
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III
TENSOR MTRICO
Engeometra de Riemann, el tensor mtrico es untensorde rango dos
que se utiliza para definir conceptosmtricos comodistancia,nguloyvolumenen un espacio localmente
eucldeo.
TUPLA
Una tupla, enmatemticas, es unasecuenciaordenada de objetos, esto
es, unalistacon un nmero limitado de objetos (una secuencia infinita se
denomina en matemtica como unafamilia, aunque hay autores que
consideran el trmino tupla para denominar no solo listas finitas). Las
tuplas se emplean para describir objetos matemticos que tienen
estructura, es decir que son capaces de ser descompuestos en un cierto
nmero de componentes. Por ejemplo, unGrafo dirigidose puede definir
como una tupla de (V, E) donde V es el conjunto denodosy E es
elsubconjuntode V V que denota los vrtices delgrafo.
Coordenada! Cur"ilnea!
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Secuencia_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Lista_(estructura_de_datos)http://es.wikipedia.org/wiki/Familia_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_dirigidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Nodo_(inform%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Subconjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Grafohttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Secuencia_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Lista_(estructura_de_datos)http://es.wikipedia.org/wiki/Familia_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_dirigidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Nodo_(inform%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Subconjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Grafo