LÍMITES

1) 3

32lim

2

3

x

xx

x

Factorando

lim𝑥→3

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)

𝑥 − 3

Simplificando

lim𝑥→3

𝑥 + 1

1

Evaluando

3 + 1

1= 4

En GeoGebra se procede de la siguiente forma

a) En Entrada escribir la función

b) Enter

c) En Entrada, escribir las primeras letras de límite, se despliega algunas opciones.

d) Escoger la opción

e) En Función, escribir f(x). En Valor numérico escribir 3

f) Enter

g) Clic derecho en a=4 (el cual representa el límite de la función cuando x tiende a 3)

h) Clic en Propiedades de Objeto

i) En Nombre, escribir límite

j) Clic en Cerrar ventana de Preferencias

2) xx

xxx

x 9

214lim

3

23

3

Factorando, simplificando y evaluando.

lim𝑥→3

𝑥(𝑥2 + 4𝑥 − 21)

𝑥(𝑥2 − 9)= lim

𝑥→3

𝑥(𝑥 + 7)(𝑥 − 3)

𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)= lim

𝑥→3

(𝑥 + 7)

(𝑥 + 3)=3 + 7

3 + 3=10

6=5

3= 1,67

3) 122072

128lim

234

23

2

xxxx

xxx

x

Factorando

1 -2 -7 20 -12 1 ±1,±2,±3,±4,±6,±12

1 -1 -8 12

1 -1 -8 12 0

(𝑥 − 1)(𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12)

Remplazando valores, simplificando y evaluando.

lim𝑥→2

𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12

(𝑥 − 1)(𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12)= lim

𝑥→2

1

𝑥 − 1=

1

2 − 1=1

1= 1

4) 1

23lim

2

1

x

x

x

Multiplicando por la conjugada

lim𝑥→1

√𝑥2 + 3 − 2

𝑥 − 1∙√𝑥2 + 3 + 2

√𝑥2 + 3 + 2= lim

𝑥→1

𝑥2 + 3 − 4

(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)

Factorando

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)= lim

𝑥→1

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)

Simplificando y evaluando

lim𝑥→1

(𝑥 + 1)

(√𝑥2 + 3 + 2)=

1 + 1

√12 + 3 + 2=

2

√4 + 2=

2

2 + 2=2

4=1

2= 0,5

5)x

xx

x

11lim

0

Multiplicando por la conjugada

lim𝑥→0

√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥

𝑥= lim

𝑥→0

√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥

𝑥∙√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥

√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥

Realizando las operaciones

lim𝑥→0

1 + 𝑥 − (1 − 𝑥)

𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)= lim

𝑥→0

1 + 𝑥 − 1 + 𝑥

𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)= lim

𝑥→0

2𝑥

𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)

lim𝑥→0

2

(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)=

2

(√1 + 0 + √1 − 0)=

2

√1 + √1=

2

1 + 1=2

2= 1

6) 741

63lim

2

x

x

x

lim𝑥→2

3𝑥 − 6

1 − √4𝑥 − 7= lim

𝑥→2

3𝑥 − 6

1 − √4𝑥 − 7∙1 + √4𝑥 − 7

1 + √4𝑥 − 7= lim

𝑥→2

(3𝑥 − 6)(1 + √4𝑥 − 7)

1 − (4𝑥 − 7)

lim𝑥→2

3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)

1 − 4𝑥 + 7= lim

𝑥→2

3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)

8 − 4𝑥

lim𝑥→2

3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)

−4(𝑥 − 2)= lim

𝑥→2

3(1 + √4𝑥 − 7)

−4=3(1 + √4 ∙ 2 − 7)

−4=3(1 + √1)

−4

6

−4= −

3

2

7) 123

2lim

4

x

x

x

lim𝑥→4

2 − √𝑥

3 − √2𝑥 + 1= lim

𝑥→4

2 − √𝑥

3 − √2𝑥 + 1∙2 + √𝑥

2 + √𝑥∙3 + √2𝑥 + 1

3 + √2𝑥 + 1

lim𝑥→4

(4 − 𝑥)(3 + √2𝑥 + 1)

(2 + √𝑥)(9 − 2𝑥 − 1)= lim

𝑥→4

(4 − 𝑥)(3 + √2𝑥 + 1)

(2 + √𝑥)2(4 − 𝑥)= lim

𝑥→4

(3 + √2𝑥 + 1)

2(2 + √𝑥)

(3 + √2 ∙ 4 + 1)

2(2 + √𝑥)=

3 + √9

2(2 + √4)=

3 + 3

2(2 + 2)=

6

2(4)=3

4= 0,75

8) 11

11lim

30

x

x

x

Multiplicando por la conjugada

lim𝑥→0

√1 + 𝑥 − 1

√1 + 𝑥3

− 1∙(√1 + 𝑥3

)2+ √1 + 𝑥

3∙ 1 + 12

(√1 + 𝑥3

)2+ √1 + 𝑥

3∙ 1 + 12

∙√1 + 𝑥 + 1

√1 + 𝑥 + 1

lim𝑥→0

(1 + 𝑥 − 1) ((√1 + 𝑥3

)2+ √1 + 𝑥

3+ 1)

(1 + 𝑥 − 1)(√1 + 𝑥 + 1)

lim𝑥→0

(√1 + 𝑥3

)2+ √1 + 𝑥

3+ 1

√1 + 𝑥 + 1=(√1 + 03

)2+ √1 + 0

3+ 1

√1 + 0 + 1

(√13

)2+ √1

3+ 1

√1 + 1=1 + 1 + 1

1 + 1=3

2= 1,5

9) 1

3lim

34

1

x

xxx

x

Cambiando la variable

𝑥 = 𝑎12

𝑎𝑚𝑛 = √𝑎𝑚

𝑛

813 = √81

3= 2

lim𝑎12→1

√𝑎124

+ √𝑎123

+ √𝑎122

− 3

𝑎12 − 1= lim

𝑎12→1

𝑎124 + 𝑎

123 + 𝑎

122 − 3

𝑎12 − 1

Factorando

lim𝑎12→1

𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎6 − 3

𝑎12 − 1= lim

𝑎12→1

𝑎6 + 𝑎4 + 𝑎3 − 3

𝑎12 − 1

1 0 1 1 0 0 -3 1 ±1,±3

1 1 2 3 3 3

1 1 2 3 3 3 0 (𝑎 − 1)(𝑎5 + 𝑎4 + 2𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 3)

𝑎12 − 1 = (𝑎6 + 1)(𝑎6 − 1) = (𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎3 + 1)(𝑎3 − 1) 𝑎12 − 1 = (𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)

Remplazando

lim𝑎12→1

(𝑎 − 1)(𝑎5 + 𝑎4 + 2𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 3)

(𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)

Simplificando

lim𝑎12→1

𝑎5 + 𝑎4 + 2𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 3

(𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)

Remplazando

𝑎12 = 1

√𝑎1212

= √1212

⇒ 𝑎 = 1

15 + 14 + 2 ∙ 13 + 3 ∙ 12 + 3 ∙ 1 + 3

(12 + 1)(14 − 12 + 1)(1 + 1)(12 − 1 + 1)(12 + 1 + 1)

=1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 3

(1 + 1)(1 − 1 + 1)(1 + 1)(1 − 1 + 1)(1 + 1 + 1)=

13

(2)(1)(2)(1)(3)=13

12= 1,08

10) 1

1523lim

1

x

xxx

x

Evaluando y restando la evaluación

lim𝑥→1

√𝑥 + √3𝑥 − 2 − √5𝑥 − 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

(√𝑥 − 1) + (√3𝑥 − 2 − 1) − (√5𝑥 − 1 − 2)

𝑥 − 1

Distribuyendo

lim𝑥→1

(√𝑥 − 1)

𝑥 − 1+ lim

𝑥→1

(√3𝑥 − 2 − 1)

𝑥 − 1− lim

𝑥→1

(√5𝑥 − 1 − 2)

𝑥 − 1

Resolviendo el primer límite

lim𝑥→1

(√𝑥 − 1)

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

√𝑥 − 1

𝑥 − 1∙√𝑥 + 1

√𝑥 + 1= lim

𝑥→1

𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(√𝑥 + 1)= lim

𝑥→1

1

√𝑥 + 1=

1

√1 + 1

lim𝑥→1

(√𝑥 − 1)

𝑥 − 1=1

2

Resolviendo el segundo límite

lim𝑥→1

(√3𝑥 − 2 − 1)

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

√3𝑥 − 2 − 1

𝑥 − 1∙√3𝑥 − 2 + 1

√3𝑥 − 2 + 1= lim

𝑥→1

3𝑥 − 2 − 1

(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)

lim𝑥→1

3𝑥 − 3

(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)= lim

𝑥→1

3(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)= lim

𝑥→1

3

√3𝑥 − 2 + 1

3

√3 ∙ 1 − 2 + 1=

3

√1 + 1=3

2

Resolviendo el tercer límite

lim𝑥→1

(√5𝑥 − 1 − 2)

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

√5𝑥 − 1 − 2

𝑥 − 1∙√5𝑥 − 1 + 2

√5𝑥 − 1 + 2= lim

𝑥→1

5𝑥 − 1 − 4

(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)

lim𝑥→1

5𝑥 − 5

(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)= lim

𝑥→1

5(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)= lim

𝑥→1

5

√5𝑥 − 1 + 2

5

√5 ∙ 1 − 1 + 2=

5

√4 + 2=5

4

Sumando las tres respuestas

lim𝑥→1

(√𝑥 − 1)

𝑥 − 1+ lim

𝑥→1

(√3𝑥 − 2 − 1)

𝑥 − 1− lim

𝑥→1

(√5𝑥 − 1 − 2)

𝑥 − 1

1

2+3

2−5

4=2 + 6 − 5

4=3

4