La parábolaINTEGRANTES:

Karen

Elibeth Pineda

Yajaida Paiva

DEFINICIÓN

*UNA PARABOLA ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS PUNTOS DE UN PLANO EQUIDISTANTES DE UN PUNTO FIJO Y RECTA FIJA. EL PUNTO FIJO SE LLAMA FOCO Y LA RECTA FIJA SE LLAMA DIRECTRIZ.

SI P(X;Y) ES UN PUNTO DE LA PARÁBOLA,SE CUMPLE QUE:

d(P;foco)=d(P;directriz)=constante

ELEMENTOS Los elementos mas importantes de la parábola son:

FOCO: Es el punto fijo F.

DIRECTRIZ: Es la recta fija L.

PARÁMETRO: Es la distancia del foco ala directriz y se designa por 2p.

VERTICÉ: Es el punto de intersección de la parábola con su eje de simetría.

EJE FOCAL: Es la recta que contiene al foco y al vértice de la parábola.

LADO RECTO: Es la cuerda focal AB perpendicular al eje focal o eje de simetría de la parábola, cuya medida es

4p

ECUACION DE LA PARÁBOLACON VERTICE EN EL ORIGEN

Para ello supongamos que el eje focal de la parábola coincide con eje X y que el vértice se encuentre en el origen del sistema.

De acuerdo a lo anterior, las coordenadas del foco son: F(p;0) y la directriz tiene como ecuación X= -p. Si P (x;y) es un punto de la parábola se cumple que:

d(P;F)= d(P;D)

√+

=

-2px++

Reduciendo , resulta la ecuación canónica:

=4px

y

P(x;y)

Eje focal x

PF(p;0)

P

X=-p

D

L

o

0 En la forma análoga0 Si el eje de simetría de la parábola coincide con el eje y, la

parábola tiene por eje focal a al mismo eje y.0 En este caso: las coordenadas de foco son F(0;p) y la

ecuación de la directriz es: 0 y= -p0 Su ecuación canónica es ahora:0 =4py

P(x;y)

F(0;p)

p

p

L D

o

y

x

PODEMOS RESUMIR TODO LO ANTERIOR EN EL SIGUIENTE ESQUEMA:

Ecuación de la parábola con eje focal igual al eje X y vértice en el origen

P > 0 P< 0

L y

F.

yL

F X.

= 4px

Ecuación de la parábola con eje focal igual al eje Y, y vértice en el origen.

P > 0P < 0

y

F

x

L

y L

x

F..

𝑥2=4𝑝𝑦

LON

GIT

UD

DEL

LAD

O R

EC

TO

DE L

A

PARÁ

BO

LA

Se denomina lado recto de la

parábola ( L.R.) a la cuerda que

pasa por el foco perpendicular al

eje de la parábola. Si la ecuación de la parábola

es:=4px Como A(p;y) pertenece esta

curva entonces su coordenadas,

satisfacen la ecuación, es decir:

= 4p.p =

De donde: y=2p Entonces la medida del lado

recto es: L.R.=√+=√=│2y│=│4p│

Luego: L.R.=│4p│

A(p;y)

F(p;0)

B(p;-y)

y

x

ECUACION ORDINARIA Y ECUACION GENERAL DE LA PARABOLA

Si consideramos una parábola con vértice V(0;0) y eje focal igual al eje x, su ecuación canónica es:

= 4px

Si le aplicamos una translación T (h;k) al vértice, obtenemos la ecuación ordinaria de la parábola con vértice V (h;k).

=4p(x-h)

Por efecto de la translación, el nuevo eje focal x’ se mantiene paralelo al eje x. La ecuación ordinaria permite conocer de inmediato las coordenadas de su vértice, el valor de p y , por lo tanto, la longitud del lado recto.La ecuación de la recta directriz es : L: x = h-p

Ly

k

h

p p

V

Y’

X’

x

F(h+p;k)

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

0 Desarrollando los cuadrados de binomio y ordenando la ecuación ordinaria se obtiene:

0 = 4p (x-h)0 - 2ky + = 4px – 4ph0 + (-4p)x + (-2k)y + (+ 4ph) = 00 Si designamos: -4p= D; -2k = E ; +4ph =F

SE OBTIENE LA ECUACION GENERAL DELA PARABOLA

+ Dx + Ey +f =0

AHORA:

Si el focal o eje de simetría es

paralelo al eje Y, la ecuación

ordinaria es la forma :

Y la ecuación de la recta

directriz es :

L:y=k-p

La ecuación general en este

caso es:

+ Dx + Ey + F = 0

y

k

Y’

X’

L

h x

P

P V(h;k)

FOCO :f(h;k+p)VERTICE :V(h;k)