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1º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad Ana Pascua García
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1.- CONCEPTO DE LÍMITE. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. En ocasiones interesa saber hacia qué valor se aproxima una función cuando la variable independiente toma valores "próximos a" un número real dado. Para ello es necesario introducir un nuevo concepto matemático, el de límite de una función en un punto. 1.1 Definición intuitiva de límite: Sean b a, ℜ∈ ,y f(x) una función real de variable real; la expresión
b f(x)limax
=→
quiere decir que siempre que x tome valores próximos al
número a, tanto mayores como menores, los correspondientes valores de la función f , se aproximan al número b. Ejemplo: Dando valores cada vez más próximos a los puntos indicados, estima el valor de los siguientes límites:
( ) ( ))())5) limlimlim
10
2
2
xEntcx
xsenbxa
xxx →→→+
Puede comprobarse fácilmente que: - en el caso a) el límite es 9 - en el caso b) el límite es 1 - en el caso c) no existe el límite, ya que la función se aproxima a dos valores diferentes cuando la x toma valores menores o mayores a 1. Véase la gráfica siguiente:
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1.2 Límites laterales. Como se ha observado en el ejemplo c) , en ocasiones la función alcanza valores diferentes por la derecha o por la izquierda de un punto. Por eso es necesario definir los límites laterales. Definición: Límite lateral de f(x) en x = a por la izquierda, es el valor b al que se aproxima la función cuando la variable x tiende al valor a, aproximándose por valores menores que a. Se denota bxf
ax
=−→
)(lim .
El límite lateral de f(x) en x = a por la derecha, es el valor b al que se aproxima la función cuando la variable x tiende al valor a, aproximándose por valores mayores que a. Se denota bxf
ax
=+→
)(lim .
Si los límites laterales de la función en un punto, existe y coinciden, entonces diremos que existe el límite de la función en ese punto, y coincide con ese valor. Es decir, si:
� existen los límites laterales )(lim xfax −→
y )(lim xfax +→
� y su valor coincide =
−→
)(lim xfax
)(lim xfax +→
,
Entonces, )(lim xf
ax −→
= )(lim xfax +→
= )(lim xfax→
Ejemplo: Observa la gráfica de la siguiente función y di cuáles son los límites laterales de la función en x = 2. Calcula también f(2).
5)2( =f
5)(lim2
=−→
xfx
2)(lim2
=+→
xfx
Como los límites laterales no coinciden , no existe el límite de la función en x = 2
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Ejercicio: Observa la gráfica y completa:
a) f(a1) )(lim
1
xfax −→
)(lim1
xfax +→
)(lim1
xfax→
b) f(a2) )(lim2
xfax −→
)(lim2
xfax +→
)(lim2
xfax→
c) f(a3) )(lim3
xfax −→
)(lim3
xfax +→
)(lim3
xfax→
d) f(a4) )(lim4
xfax −→
)(lim4
xfax +→
)(lim4
xfax→
e) f(a5) )(lim5
xfax −→
)(lim5
xfax +→
)(lim5
xfax→
Observando los resultados de los resultados anteriores, estudia el dominio, la imagen y la continuidad de la función. 1.3 CÁLCULO DE LÍMITES. INDETERMINACIONES El primer paso para el cálculo del límite de una función en un punto, consiste en sustituir el valor de la variable en la función, y realizar las operaciones indicadas. Pueden darse las siguientes situaciones: 1.- Se obtiene un valor real, que es el límite buscado. 3
296
63159
65
lim2
3
−=−=+−=
+−
→ x
xxx
2.- Se obtiene una cantidad arbitrariamente grande, pero puede calcularse el límite.
05
65
65
lim =∞+
=+∞
=++∞→ xx
3.- Aparecen expresiones que no son reales, ni resulta inmediato saber a qué valor tiende el límite.
00
331818
362
lim2
3=
−−=
−−
→ x
xxx
La expresión 00
no es real, recibe el nombre de
indeterminación
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En el cálculo de límites podemos encontrarnos las siguientes situaciones, que no son indeterminaciones, y es importante tener claro.
Indeterminación: Es una expresión que no tiene sentido en R, y deberemos utilizar técnicas apropiadas para resolverla. Tipos de indeterminación:
0,0
≠kconk
00
∞∞
∞·0 ∞−∞ ∞1 0∞ 00
Veamos cómo resolver cada tipo de indeterminación.
Tipo Ejemplo k > 0 +∞=∞=
+∞→
44lim xx
k∞
k < 0 0
114
44lim =∞+
=∞
=∞= −−
+∞→x
x
k >1 +∞== ∞
+∞→22lim x
x
∞k 0< k <1 ( ) ( ) 02/12/1lim == ∞
+∞→
x
x
k > 0 +∞=+∞=+∞→
)·(3)3(lim xx
∞·k k < 0 −∞=+∞−=−
+∞→)·(5)5(lim x
x
∞k
03
4
35lim =
∞+=
+∞→ xx
∞∞ ( ) ( ) +∞=∞=−∞=− ∞∞
→33lim 2
3
x
xx
∞∞ · +∞=∞∞=∞= ∞
+∞→···lim eex x
x
∞+∞ +∞=∞+∞=++∞→
)( 3lim xxx
∞+k +∞=∞+−=+−+∞→
3)3(lim xx
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1.- Indeterminación 0,0
≠kconk
El resultado de esta indeterminación será ∞± , para saber qué valor le corresponde, hallaremos los límites laterales; si éstos coinciden, el límite toma dicho valor, en caso contrario, no existe el límite
Ejemplo: 3
5lim existe No
05
35
lim
05
35
lim
05
35
lim3
3
3
3 +−→
−∞=−=+
−
+∞=−=+
−
→−=+
−−→
+−→
−−→
−→
+
−
xx
xx x
x
x
x
2.a- Indeterminación 00
con funciones racionales
Se resuelve factorizando numerador y denominador, simplificando, y calculando el límite en la expresión simplificada. Ejemplo:
( )( )( )( )( ) ( ) 1
22
1)3(
lim11
)3(1lim
11)34(
lim1
34lim
00
134
lim
11
2
12
23
1
2
23
1
−=−=+−=
+−−−=
+−+−=
−+−
=−
+−
→→→→
→
x
xx
xx
xxx
xx
xxx
x
xxx
x
xxx
xxxx
x
2.b- Indeterminación 00
con funciones irracionales
Se resuelve multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada del radical o radicales que aparezcan, y se calcula el límite en la expresión simplificada. Ejemplo:
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2.c- Indeterminación 00
con funciones trigonométricas.
En otras ocasiones puede ser necesario utilizar otros recursos, véase el límite de esta función trigonométrica.
3.- Indeterminación ∞∞
Se resuelve la indeterminación dividiendo numerador y denominador por la potencia de mayor grado de la variable que aparece en el denominador. Simplificamos la expresión y hallamos el límite de dicha expresión. Ejemplo 1: (Con funciones irracionales)
010
61
21
61
21
lim6
1
2
lim6
2
lim62
lim
62
lim
01
2
=
∞+
∞−
∞=+
−=
+
−=+
−
=+−
∞∞=
+−
=→
∞
∞→∞→∞→∞→
∞→
x
xx
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
x
xxxx
x
Ejemplo 2 : (Con funciones racionales) Se procede de la misma forma, pero en este caso podemos predecir el resultado del límite estudiando los grados de los polinomios numerador y denominador.
∞∞=
∞→ )()(
lim xQ
xP
x
⇒
=
∞±
0 será límite el [Q(x)], Grado quemenor ]es [P(x) Grado Si c)
es, esto r,denominadoy numerador
del sprincipale escoeficient los de cociente el será límite el [Q(x)], Grado ] [P(x) Grado Si b)
polinomios los de sprincipale escoeficient los de signos los de odependiend
, será límite el [Q(x)], Grado quemayor es ] [P(x) Grado Si a)
n
n
b
a
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Es decir:
Ejemplos:
−∞=
∞+−
∞=+−
−=+−
−
=+−
−
∞∞=
+−−
∞→∞→∞→
∞→
61
61
2lim
6
2
lim6
2lim
62
lim)
2
23
23
23
x
xx
x
xx
xx
x
xx
x
xxa
xxx
x
34
63
24
63
24
lim63
24
lim63
24lim
6324
lim)
5
3
5
5
5
25
5
25
5
25
−=
∞+−∞
−=
+−
−=
+−
−
=+−
−
∞∞=
+−−
∞→∞→∞→
∞→
x
x
x
xx
xx
x
xx
x
xxb
xxx
x
03
06
3
24
63
24
lim63
24
lim63
24lim
6324
lim)
15
1310
15
15
15
25
15
25
15
25
=−
=
∞+−
∞−
∞=+−
−=
+−
−
=+−
−
∞∞=
+−−
∞→∞→∞→
∞→
x
xx
x
xx
xx
x
xx
x
xxc
xxx
x
4.- Indeterminación ∞·0 Suelen aparecer cuando hallamos el límite del producto de dos funciones f( x) y g(x) y 0)(lim0)(lim ==
→→xgyxf
axax resuelve la indeterminación operando, y
simplificando hasta transformarla en una indeterminación del tipo 00
o ∞∞
Ejemplo: ( ) ∞==−−
−→
·001
·02
1·2lim 22 xx
xx
( ) ( )( )↑
→→→→=
+=
+−−=
−−−=
−−−
00
31
11
lim1·2
2lim
22
lim2
1·2lim
222222 xxx
x
xx
x
xxx
xxxx
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5.a Indeterminación ∞−∞ con funciones racionales Se resuelve la indeterminación operando, y simplificando, normalmente se
transforma en una indeterminación del tipo 00
o ∞∞
o 0k
Ejemplo: ∞−∞=−=
−−
−→ 01
01
31
91
lim 22 xxx
( )
límite el existe No
05
92
lim
0
5
9
2lim
92
lim931
lim3
19
1lim
23
23
0
5232323
→
−∞=−=
−−−
+∞=−=
−−−
=
−−−=
−+−=
−−
−+→
−→
−→→→
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
xxx
5.b Indeterminación ∞−∞ con funciones irracionales Se resuelve la indeterminación multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada y se simplifica antes de hallar de nuevo el límite. Ejemplo:
( ) ∞−∞=−++∞→
xxxx
2lim 2
( ) ( )( ) ( )
111
2
11
1
2
12
1
2lim
2
2
lim2
2lim
2
2lim
2
2lim
2
22lim2lim
2
22
2
22
2
22
2
2
222
=+
=+
∞+
=++
=++
=++
=
=++
−+=++−+=
++++−+=−+
+∞→+∞→
∞∞
+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
xx
x
x
xxx
x
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxxxxx
xxx
xxxx
5.c Indeterminación ∞−∞ con funciones trigonométricas. Se resuelve la indeterminación transformando la expresión usando las relaciones entre las razones trigonométricas y simplificando.
Ejemplo: ∞−∞=−=
−→ 20
1cos
1lim
2
ππ
tgtgxxx
0
0
222cos
1lim
coscos
1lim
cos
1lim =−=
−=
−→→→ x
senx
x
senx
xtgx
x xxxπππ
0
(La última indeterminación está resuelta en el caso 2.c)
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6.- Indeterminación ∞1
Aparece al calcular [ ] ( ) )(lim)( )(lim)(limxg
ax
xg
ax
axxfxf →
→→=
Para poder resolver esta indeterminación es necesario conocer el número e, que se
obtiene como límite al que converge la sucesión cuyo término general es n
n na
+= 11
718282.2....59045235367182818284.21
1lim ≈==
+∞→
en
n
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 50 100 200 300
(1-1/n)^n 2,00 2,25 2,37 2,44 2,49 2,52 2,55 2,57 2,58 2,59 2,65 2,67 2,69 2,70 2,71 2,71 Gráficamente:
En general: Si ∞=∞→
)(lim xfx
, entonces, exf
xf
x=
+∞→
)(
)(1
1lim
Ejemplo: ∞∞+
∞→=
=
−+
122
2212
lim12x
x x
x
3
)12(·22
3lim
3
22)12(·
22
3·
3
22
12
12121212
22
36lim
3
221
1lim
3
221
1lim
3
221
1lim22
31lim
22
22121lim1
22
121lim
22
12lim
eexx
xxx
xx
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
==
−+=
−+=
−+==
−+=
−+−++=
−−++=
−+
−+
∞→
∞→
+−−
∞→
+−
−
∞→
+
∞→
+
∞→
+
∞→
+
∞→
+
∞→
Este tipo de límites también pueden resolverse mediante esta expresión :
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2.- RAMAS INFINITAS: ASÍNTOTAS Y RAMAS PARABÓLICAS Cuando hacemos tender la x a infinito, es decir, nos alejamos indefinidamente por el eje de abscisas a la derecha o la izquierda) la función puede tener distintos comportamientos: aproximarse cada vez más a una dirección (asíntota) ó parecerse a una rama de parábola, sin tender a una dirección como límite (rama parabólica).
En la figura se observan algunos de los casos que analizaremos con detalle a continuación
Observa la "peculiar definición de asíntota" de la izquierda. Refleja de una forma clara qué es asíntota: una recta , por lo tanto horizontal, vertical u oblicua, a la que se aproxima cada vez más la función, sin llegar a tocarla.
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2.1.- Tipos de asíntotas Asíntotas verticales:
Éstas son las distintas situaciones que podríamos encontrar si f(x) está definida a ambos lados de x = a
Criterio práctico: Las posibles asíntotas verticales de una función:
� racional, se localizan en los valores de x donde se anula el denominador. � logarítmica, se localizan en los puntos extremos de su dominio de definición.
Nota: Una vez que sabemos dónde puede haber asíntotas verticales, hay que comprobar que el límite de la función en dicho punto es ∞+ o ∞− .
Para situar la función respecto a la asíntota vertical x = a, hallaremos los límites laterales en x = a.
Podríamos encontrarnos todas estas situaciones al intentar hallar una asíntota vertical:
Nota: Es muy importante que entiendas que la función jamás puede cortar una asíntota vertical.
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Asíntotas horizontales:
Si una función f(x) tiene Asíntota Horizontal en y = l , se podrían dar las siguientes situaciones:
Si observas las gráficas anteriores comprobarás que es muy importante saber si la función se aproxima a la asíntota por encima o por debajo. Para situar correctamente la función respecto de la asíntota estudiaremos el signo que tiene lxf −)( cuando x tiende a ∞± . � Si ( )lxf
x−
±∞→)(lim > 0 → f(x) se sitúa sobre la asíntota cuando ±∞→x
� Si ( )lxfx
−±∞→
)(lim < 0 → f(x) se sitúa bajo la asíntota cuando ±∞→x
Nota: A diferencia de lo que ocurre con las asíntotas verticales, en ocasiones la gráfica de la función puede cortar a una asíntota horizontal, ya que la función sólo se aproxima a la recta cuando ±∞→x . (Véase el segundo gráfico de los ejemplos anteriores).
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Asíntotas oblicuas
Es decir, la función no presenta asíntota horizontal, ya que )(lim xf
x ∞→ no es finito, y se
aproxima a una recta oblicua de ecuación y = mx + n
m es la pendiente de la recta n es la ordenada en el origen
Para situar la función respecto a la asíntota estudiaremos el signo de f(x) - (mx + n) cuando ±∞→x
� Si ( )[ ]nmxxfx
+−±∞→
)(lim > 0 → f(x) se sitúa sobre la asíntota cuando ±∞→x
� Si ( )[ ]nmxxfx
+−±∞→
)(lim < 0 → f(x) se sitúa bajo la asíntota cuando ±∞→x
Nota: Si una función tiene asíntota horizontal cuando ±∞→x , entonces no tendrá asíntota oblicua. Por lo tanto como es más "sencillo" calcular las asíntotas horizontales, siempre las calcularemos antes y solo si no hay asíntotas horizontales, comprobaremos si tuviera asíntotas oblicuas. Criterio práctico: Una función racional presenta asíntotas oblicuas si el grado del numerador es uno más que el del denominador
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3.- CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Intuitivamente, diremos que una función es continua si podemos trazar o recorrer su gráfica sin levantar la mano del papel, ni encontrarnos ningún obstáculo (indefiniciones, saltos, asíntotas.....) Sin embargo, podemos estudiar de una forma más precisa la continuidad de una función en un punto, en un intervalo o incluso en su dominio de definición, y eso lo haremos a través de los límites. 3.1.- Continuidad de una función en un punto
3.2.- Continuidad de una función en un intervalo abierto. Diremos que una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos y cada uno de los puntos de dicho intervalo. Si la función es continua en todo su dominio, entonces diremos que la función es continua. 3.3.- Operaciones de funciones continuas Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas en x = a, podemos afirmar que:
� f(x) + g(x) es continua en x = a � f(x) · g(x) es continua en x = a
� )()(
xg
xf es continua en x = a , siempre que g(a) 0≠
� f(g(x)) es continua en x = a, si f es continua en g(a)
3.4.- Propiedades de las funciones continuas: Las funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas, con radicales y trigonométricas son continuas en todo su dominio, luego presentarán discontinuidades en los puntos en los que no estén definidas, es decir, los que no pertenezcan al dominio de definición de la función, y por lo tanto en estos puntos habrá que estudiar con detalle y con ayuda de los límites el tipo de discontinuidad que presentan.
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3.4.- Tipos de discontinuidad Existen varios tipos de discontinuidades:
Las discontinuidades evitables se llaman así, porque podrían solventarse redefiniendo la función en un punto, bien porque no estuviera definida o bien porque la imagen de la función en dicho punto no coincide con el valor de los dos límites laterales en dicho punto, que son iguales y finitos.
La función no está definida en x = 1 La discontinuidad se evita redefiniendo:
>−≤
=123
1)(
3
xsix
xsixxf