Post on 02-Jun-2015
LA SOLUCION AL ENCONTRAR EL VALOR DE LA LONGITUD DE ARCO EN UNA
FUNCION
CALCULO INTEGRAL
HAY DOS CASOS EN LOS QUE SE PUEDE CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO.
HAY EN OCASIONES EN LOS QUE LA LONGITUD DE ARCO SE PUEDE DETERMINAR POR LA INTEGRAL DEFINIDA PERO EN OTROS CASOS NO SE PUEDE Y PARA ELLO SU SOLUCION ES UTILIZANDO INTEGRALES ELIPTICAS PERO ANTES DE UTILIZAR ESO HAY OTRA MANERA DE RESOLVERLO Y ESA ES LA FORMULA PARABOLICA
(FORMULA SIMPSON).
VEAMOS UNOS EJEMPLOSโฆ!!!
FORMULA PARA CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO
๐ฟ = ๐๐
1 + ๐โฒ๐ฅ
2๐๐ฅ
DONDE
a: es el limite inferior
b: es el limite superior
f โ(x): es la derivada de la funciรณn
L: es la longitud de arco en donde no tiene unidades
CALCULAR EL VALOR DE LA LONGITUD DE LA SIGUIENTE FUNCION ๐ฆ = ๐ฅ2 + 10 CON UN INTERVALO DE [-1,4]
SOLUCION:
๐ฆ = ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2 + 10
๐โฒ ๐ฅ = 2๐ฅ
๐ฟ = ๐๐
1 + ๐โฒ ๐ฅ 2๐๐ฅ = โ14
1 + 2๐ฅ 2๐๐ฅ = โ14
1 + 2๐ฅ 2๐๐ฅ
โ14
1 + 2๐ฅ 2๐๐ฅ
๐ฃ2 = 4๐ฅ2 ๐2 = 1
๐ฃ = 2๐ฅ ๐ = 1
๐๐ฃ = 2๐๐ฅ
โ14
1 + (2๐ฅ)2๐๐ฅ =1
2 โ14
1 + (2๐ฅ)2 2๐๐ฅ
=1
2
2๐ฅ
21 + (2๐ฅ)2+
1 2
2ln 2๐ฅ + 1 + (2๐ฅ)2 + ๐ถ
=2๐ฅ
41 + (2๐ฅ)2+
1
4ln 2๐ฅ + 1 + (2๐ฅ)2 + ๐ถ
4
โ1
=2(4)
41 + (2 4 )2+
1
4ln 2(4) + 1 + (2 4 )2 + ๐ถ โ
2(โ1)
41 + 2(โ1) 2 +
1
4ln 2(โ1) + 1 + 2(โ1) 2 + ๐ถ
=8
41 + 8 2 +
1
4ln 8 + 1 + 8 2 + ๐ถ โ
โ2
41 + โ2 2 +
1
4ln โ2 + 1 + โ2 2 + ๐ถ
= 2 1 + 64 +1
4ln 8 + 1 + 64 + ๐ถ โ โ0.5 1 + 4 +
1
4ln โ2 + 1 + 4 + ๐ถ
= 2 65 +1
4ln 8 + 65 + ๐ถ โ โ0.5 5 +
1
4ln โ2 + 5 + ๐ถ
= (2)(8.062) +1
4ln 8 + 8.062 + ๐ถ โ โ0.5 (2.236) +
1
4ln โ2 + 2.236 + ๐ถ
= 16.124 +1
4ln 16.062 + ๐ถ โ โ1.118 +
1
4ln 0.236 + ๐ถ
= 16.124 + 0.694 + ๐ถ โ โ1.118 โ 0.361 + ๐ถ
= 16.818 + ๐ถ โ โ1.479 + ๐ถ
= 16.818 + ๐ถ + 1.479 โ ๐ถ
๐ฟ = 18.297
GRAFICA DE ESA FUNCION
CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO DE LA FUNCION ๐ฆ = 5๐ฅ2 + 9๐ฅ โ 1 CON UN INTERVALO DE [4,12]
SOLUCION:
๐ฆ = ๐ ๐ฅ = 5๐ฅ2 + 9๐ฅ โ 1
๐โฒ ๐ฅ = 10๐ฅ + 9
๐ฟ = ๐๐
1 + ๐โฒ ๐ฅ 2๐๐ฅ = 412
1 + 10๐ฅ + 9 2๐๐ฅ
412
1 + 10๐ฅ + 9 2๐๐ฅ
๐ฃ2 = 10๐ฅ + 9 2 ๐2 = 1
๐ฃ = 10๐ฅ + 9 ๐ = 1
๐๐ฃ = 10๐๐ฅ
1
10 412
1 + 10๐ฅ + 9 2 10๐๐ฅ
=1
10
10๐ฅ+9
21 + 10๐ฅ + 9 2 +
1 2
2ln 10๐ฅ + 9 + 1 + 10๐ฅ + 9 2 + ๐ถ
=10๐ฅ+9
201 + 10๐ฅ + 9 2 +
1
20ln 10๐ฅ + 9 + 1 + 10๐ฅ + 9 2 + ๐ถ
12
4
=10(12)+9
201 + 10 12 + 9 2 +
1
20ln 10(12) + 9 + 1 + 10 12 + 9 2 + ๐ถ
โ10 4 +9
201 + 10 4 + 9 2 +
1
20ln 10 4 + 9 + 1 + 10 4 + 9 2 + ๐ถ
=120+9
201 + 120 + 9 2 +
1
20ln 120 + 9 + 1 + 120 + 9 2 + ๐ถ
โ40+9
201 + 40 + 9 2 +
1
20ln 40 + 9 + 1 + 40 + 9 2 + ๐ถ
=129
201 + 129 2 +
1
20ln 129 + 1 + 129 2 + ๐ถ โ
49
201 + 49 2 +
1
20ln 49 + 1 + 49 2 + ๐ถ
=129
201 + 16641 +
1
20ln 129 + 1 + 16641 + ๐ถ โ
49
201 + 2401 +
1
20ln 49 + 1 + 2401 + ๐ถ
=129
2016642 +
1
20ln 129 + 16642 + ๐ถ โ
49
202402 +
1
20ln 49 + 2402 + ๐ถ
=129
2016642 +
1
20ln 129 + 16642 + ๐ถ โ
49
202402 +
1
20ln 49 + 2402 + ๐ถ
= 6.45 129.004 +1
20ln 129 + 129.004 + ๐ถ โ 2.45 49.01 +
1
20ln 49 + 49.01 + ๐ถ
= 832.0758 +1
20ln 258.004 + ๐ถ โ 120.0745 +
1
20ln 98.01 + ๐ถ
= 832.08 + 0.28 + ๐ถ โ 120.07 + 0.23 + ๐ถ
= 832.36 + ๐ถ โ 120.30 + ๐ถ = 832.36 + ๐ถ โ 120.30 โ ๐ถ
๐ฟ = 712.06
GRAFICA DE ESA FUNCION
CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO DE LA FUNCION ๐ฆ = ๐ฅ3 A PARTIR DE X=0 HASTA X=4
SOLUCION:
๐ฆ = ๐ ๐ฅ = ๐ฅ3
๐โฒ ๐ฅ = 3๐ฅ2
๐ฟ = ๐๐
1 + ๐โฒ ๐ฅ 2๐๐ฅ = 04
1 + 3๐ฅ2 2๐๐ฅ
04
1 + 3๐ฅ2 2๐๐ฅ
๐ฃ2 = 3๐ฅ2 2 ๐2 = 1
๐ฃ = 3๐ฅ2 ๐ = 1
๐๐ฃ = 6๐ฅ ๐๐ฅ
PARA ESTE TIPO DE CASOS NO SE PUEDE RESOLVER ESTA INTEGRAL CON FORMULAS DIRECTAS. ASI QUE NUESTRA UNICA SOLUCION ES UTILIZAR LA
FORMULA SIMPSON YA QUE ES LA MAS APROXIMADA O EN OCASIONES EXACTA AL VALOR DE LA INTEGRAL DEFINIDA.
PARA ELLO, DETERMINAREMOS EL INCREMENTO. PARA ESTE NUMERO DE RECTANGULOS DEBE DE SER LO MENOR POSIBLE (ES DECIR TENER MENORES VALORES PARA โXโ) YA QUE
SE OBTIENE UN RESULTADO EXACTO O MUY APROXIMADO.
โ๐ฅ =๐โ๐
๐=
4โ0
2=
4
2= 2
LUEGO, ENCONTRAR LOS VALORES DE โYโ UTILIZANDO LA NUEVA FUNCION (DONDE FUE OBTENIDA EN LA SUSTITUCION DE VALORES EN LA FORMULA DE LA LONGITUD DE ARCO)
A LA QUE SE LE ASIGNARA โkโ A LA FUNCION ๐ = 1 + 3๐ฅ2 2
๐ = 1 + 3๐ฅ2 2
X k
0 1
2 12.042
4 48.010
๐ฟ =โ๐ฅ
3๐ฆ0 + 4๐ฆ1 + 2๐ฆ2 + 4๐ฆ3 + 2๐ฆ4 +โฏ+ ๐ฆ๐
๐ฟ =2
31 + 4 12.042 + 48.010
=2
31 + 48.168 + 48.010
=2
397.178
๐ฟ โ 64.7
GRAFICA DE ESA FUNCION
BIBLIOGRAFIAS
Swokowski, Earl, โCรกlculo con geometrรญa analรญticaโ, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da Ediciรณn, Estados Unidos de Amรฉrica, 1097