MATEMATICAS EMPRESARIALES II. 2014

TUTORIA 9FUNCIONES IMPLICITAS Y HOMOGENEAS

1.  Se considera la ecuación2y2

xy x2 = 4 + 4x + 2y

a. Analizar razonadamente si puede garantizarse la existencia de función implícita  y =  Y  (x) quesatisfaga  Y  (0) = 2:

b. Obtener (si existe) la derivada de dicha función implícita. ¿Puede especi…carse su valor parax = 0?

c. Obtener la ecuación de la tangente a  y =  Y  (x) en el punto correspondiente a  x = 0:

2.  Se considera la ecuaciónz  = cos2 z  + xy x2z 

a. Analizar razonadamente si puede garantizarse la existencia de función implícita  z   =   Z  (x; y)cerca del punto (1; 1; 0)

b. Obtener (si existe) las derivadas parciales de dicha función implícita y precisar sus valoresexactos para los puntos  (x; y) para los que ello sea posible.

3.  Cuál(es) de las siguientes ecuaciones de…nen a  y  como función implícita de  x  en el punto (0; 0)?¿Y a  x como función implícita de  y?

a.   x ln y = ln (1 + x) + y:

b.   ex cos y ln (1 + y2) = x:

4.  Se considera la ecuación p2 + pqr 3ln(1 r) = q 

¿Qué variables son función implícita de las otras dos cerca de los valores  p = 0; q  = 0; r = 0?

5.  Estudiar si  f  (x; y) =  x

y2 

  y

x2 es homogénea de dos maneras:

a. Aplicando la de…nición.

b. Analizando la expresión E  (x; y)  def =  x

@f 

@x (x; y) + y

@f 

@y (x; y) :

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