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Cálculo de varias variables IIUnidad 1. Integrales múltiples
Evidencia de Aprendizaje. Integrales múltiples.Karla Judith Andrew Méndez.AL12509552
Instrucciones: Resuelve las siguientes integrales, tomando en cuenta los conocimientos en integrales múltiples.
1. Encuentra el volumen de la región sólida encerrada en el primer octante, por el
paraboloide z=x2+ y2 y el plano z=2.
Hacemos el cambio de coordenadas:x=ρ cosθy=ρ senθz=2
∂ (x , y , z )∂(ρ ,θ , z)
=ρ
∫0
√2
∫0
π2
∫0
ρ2
ρdz dθdρ=∫0
√2
∫0
π2
ρ3dθ d ρ=∫0
√2
ρ3π2d ρ=( π ρ8
4)0
√2=π √24
8= π21.57
el volumen de la región sólida encerrada en el primer octante es de 1.57u3
Cálculo de varias variables IIUnidad 1. Integrales múltiples
2. Calcula el momento de inercia sobre el eje x, de la región plana limitada por la
parábola y2=1−x y las rectas x=0 e y=0, la función densidad es ρ ( x , y )=x
Momento de inercia del eje x:
I x= ∫ A y2 ρ(x , y )dA
∫ x (1−x)3 /2dx=∫−t 3/2+ t5 /2dt=−t 5252
+t7272
=−2¿¿
∫0
1
∫0
√1− x
x y2dydx=∫0
1
x( y33)0
√1− xdx=∫
0
1
x ¿¿¿¿
El momento de inercia en el eje x=8/35
3. Evalúa la siguiente integral, usando coordenadas esféricas
Cálculo de varias variables IIUnidad 1. Integrales múltiples
∫0
1
∫0
√1− x2
∫√x2+ y2
√2− x2− y2
xy dzdydz
x=ρ senθcos∅y=p senθ sen∅x=pcosθJ= ρ2 senθ
0≤ ρ≤√20≤∅ ≤π
0≤θ≤π4
∫0
√2
∫0
π
∫0
π4
ρ senθcos∅ p senθ sen∅ ρ2 senθ dθd∅ dρ=¿∫0
√2
∫0
π
∫0
π4
p4 sen3θ cos∅ sen∅ dθd∅ dρ=∫0
√2
ρ4dp∫0
π
cos∅ sen∅ d∅∫0
π4
sen3θdθ ¿
4. Aplica el teorema del Valor medio, para probar que la integral se encuentra entre
1e≤14π 2
∫−π
π
∫−π
π
esen(x+ y)≤e.
e−1≤esen (x+ y )≤e1
∫−π
π
∫−π
π
e−1dxdy ≤∫−π
π
∫−π
π
esen ¿¿ ¿¿
e−1 (π+π ) (π+π ) e1 (π+π ) (π+π )
e−14 π2≤∫−π
π
∫−π
π
es en¿ ¿¿¿
Por lo tanto:
e−1≤∫−π
π
∫−π
π
esen (x+ y)dxdy ≤e1
La función sen ( x+ y ) toma valoresde−1a1Con lo cual la función:
f ( x , y )=¿esen (x+ y) toma valores de e−1 y e1
Cálculo de varias variables IIUnidad 1. Integrales múltiples
Como exes creciente siendo su valor menor e−1 y el mayor e1
Entonces ( f x0 y0) es un valor comprendido entre ambos
Entonces:
1e≤14π 2
∫−π
π
∫−π
π
esen(x+ y)≤e