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Matemáticas discretasUnidad 3. RelacionesActividad 4. Operaciones con relaciones
Ejercicios
Resuelve los siguientes problemas:
1. Dadas las siguientes relaciones:
= {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) }
= {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )},sobre el conjunto E = {, , }.
Encuentra:
La unión .o {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), }
La intersección .o {(, ), (, ), (, ), (, )},
La diferencia de y .
{(, ), (, )}
o .{(, ), }
La diferencia simétrica .
o .{(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), }
o .{(, ), (, ), (, ), (, )},
= - . .{(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )-(, ), (, ), (, ), (, )},
o = .{(, ),(, ),(, ),(, ), }
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Matemáticas discretasUnidad 3. RelacionesActividad 4. Operaciones con relaciones
2. Encuentra para la relación = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 3), (4, 4)} definida sobre el conjunto A = {1, 2, 3, 4}.
Composicion entre dos conjuntos igualesEsto es elemento(1,1) será compuesto con los elementos (1,1),(1,2),(1,3)El elemento (1,2) con el elemento (2,3)
={ (1,1),(1,2),(1,3),(2,3)}
3. Con el propósito de verificar la solución de problemas con el uso de relaciones, resuelve la demostración de la siguiente relación:
Demuestra las dos contenencias:
En la prueba anterior, si se invierte el sentido de las implicaciones se obtiene la demostración de la parte (b).Al respecto:
4. Completa la demostración del teorema anterior.
Potencia de relaciónSea R una relación binaria en un conjunto Ayn€N U{0} la potencia n- ésima de R esta definida inductivamente por Rº={(x,x)|x€A}
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Matemáticas discretasUnidad 3. RelacionesActividad 4. Operaciones con relaciones
5. Demuestra por inducción que:
Por último, al invertir las parejas de una relación R se obtiene otra relación, llamada la relación inversa de R.
Inversa de una relaciónSea R una relación de A en B La relación inversa de R es la relación de B en A definida:
Por lo tanto:
y
R es una relación en conjunto A, también es una relación en A utilizando las relaciones
El siguiente teorema determina cuando la relación R es reflexiva, simetrica, antisimetrica y transitiva.
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