ING. MARIA DEL ROCIO QUIJANO ARCINIEGA ÁLGEBRA

Método de reducción

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3·x + 2·y = 4

5·x - 3·y = 5

3·x + 2·y = 4

5·x - 3·y = 5

Si multiplico la primera ecuación miembro a miembro (ambos lados de la

igualdad) por -5 y la segunda por 3, tenemos que

-15·x - 10·y = -20

15·x - 9·y = 15

Fíjate como los términos en "x" quedan opuestos, en la primera -15·x y en la

segunda 15·x

Si ahora sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, tendremos

que:

-15·x - 10·y = -20

15·x - 9·y = 15

---------------------

0·x - 19·y = -5

Por lo que, despejando "y", tendremos que y = 5

Nuestro objetivo es cancelar una de las variables. ¿Cómo lo hacemos?.

Bien, lo estrategia es la siguiente, fijamos una variable a cancelar, por

ejemplo "x", tenemos que tratar de hallar un sistema de ecuaciones

equivalente al dado de manera que al sumar ambas ecuaciones miembro

a miembro, se cancelen los términos de variable "x". Aparentemente es un lío, pero vamos a verlo paso a paso. Partamos del

sistema inicial...

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Método de igualación

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 1

x - y = 3

En este método de resolución, nuestro objetivo es despejar, en ambas

ecuaciones, la misma variable. Así que en principio, fijemos la variable a

despejar. ¿Por ejemplo "x"?. Ok, si despejamos de ambas ecuaciones la

variable "x", tendremos que

x=1-y x=3+y

De este modo, si "x" es igual a esas dos expresiones, ambas expresiones

deberán ser iguales entre sí. Esto es,

1-y=3+y

con lo que, si despejamos la variable "y", tendremos que

1-3=y+y

por tanto

-2=2·y

y de aquí que

y=-1.

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema inicial,

por ejemplo, en la primera, tenemos que x=2.

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Método de sustitución

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 1

x - y = 3

En este método de resolución, nuestro objetivo es despejar una variable de

una de las ecuaciones y sustituirla en la otra. Así que, para empezar, vamos

a fijar qué variable queremos despejar.

En principio, y como consejo, debemos despejar aquella que tenga como

coeficiente 1, ya que de lo contrario tendríamos una fracción al despejarla

y los cálculos serían más tediosos.

Así que vamos a comenzar por despejar, de la primera ecuación, la

variable "y". Así, por tanto, tendremos que

y=1-x

y, sustituyendo en la segunda ecuación, tenemos que

x-(1-x)=3, haciendo cálculos,

x-1+x=3, agrupando términos en el lado izquierdo de la igualdad tenemos

que,

-1+2·x=3, agrupando términos a un lado y a otro de la igualdad

2·x=3+1, luego

2·x=4, y de aquí que

x=2.

Una vez obtenido el valor de una de las variables, lo sustituimos en una de

las ecuaciones iniciales y obtenemos el valor de la otra variable.

Así, si x=2 y sustituyendo en la primera ecuación, tenemos que

2 + y = 1, despejando

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y=1-2=-1

Por tanto la solución al sistema es x=2 e y=-1, o lo que es lo mismo (2,-1).

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1.-Resuelve por sustitución, igualación, reducción y gráficamente el sistema:

Por sustitución:

Por igualación:

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Por reducción:

Gráficamente:

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3

Halla las soluciones del sistema

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Resuelve

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5 Resuelve por sustitución, igualación, reducción y gráficamente el sistema:

Por sustitución:

Por igualación:

Por reducción:

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Gráficamente:

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6 Resuelve el sistema:

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Halla las soluciones del sistema:

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Sistemas de ecuaciones y posiciones de sus rectas en el

plano

A continuación hay ejercicios resueltos de cada uno de los tipos de sistemas de ecuaciones

que nos podemos encontrar.

Los sistemas los resolvemos númericamente y luego aplicando el método gráfico, para

asociar la solución de los sistemas con la posición de las rectas.

Sistemas método gráfico rectas secantes

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Sistemas método gráfico rectas paralelas