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28/12/2012 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 1
SIS - 2610 Investigación Operativa II
Tema # 5 Teoría de Inventarios, Modelos Determinísticos
Objetivos específicos
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 2 28/12/2012
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 3 28/12/2012
Bibliografía a Emplear Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones, Juan Prawda, Limuza,
Introducción a la Investigación de Operaciones, Hillier, Lieberman, MacGrawHill,
Investigación de Operaciones, Mathur Solow, Prentise Hall,
Investigación de Operaciones, Wayne L. Winston, Editorial Iberoamericana,
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 4 28/12/2012
Bibliografía a Emplear
Investigación de Operaciones, TAHA, AlfaOmega, 1998
Investigación de Operaciones, Toma de Decisiones, Raffo Lecca, Arte Studio Grádica, 1999
WinQSB, Version 2.0, Yih-Long Chang, Kiran Desai, Wiley, 2002
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 5 28/12/2012
Modelos Determinísticos
Estos modelos constituyen una simplificación de la realidad Hay casos donde toda la información es determinística Estos modelos son muy utilizados y con gran éxito en la mayoría de los procesos de TD.
Contenido
Inventario de un solo producto, demanda constante, revisión continua. Inventario de un solo producto, demanda constante, descuento en los precios y revisión continua Inventario de varios productos con demanda constante revisión continua y limitación de espacio de almacenamiento
28/12/2012 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 6
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 7 28/12/2012
Inventario de un solo producto, demanda constante, revisión continua
C1= costo unitario de mantenimiento por unidad de tiempo C2= Costo unitario penal por unidad de tiempo C3= Costo fijo por cada proceso de producción r = Tasa de demanda k= Tasa de producción (k>r) q = Variable de decisión que indica la cantidad de producción (reorden) en cada proceso productivo (compra)
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 8 28/12/2012
Modelo A
Modelo de un solo nivel, comprende a un solo producto, el producto es duradero e indivisible, la revisión es constante de igual manera la demanda es constante, el horizonte de planeación es finito = T, y que durante este horizonte de planeación se debe satisfacer una demanda conocida D
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 9 28/12/2012
Aplicación Practica
Inventarios de uso de lámparas en un edificio Sistema de inventarios en una librería Sistema de abastecimiento de productos en una empresa de producción
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 10 28/12/2012
Inventario
Tiempo
S
t1 t2
t4
D
t3
k-r r
k=0 k>r
k=0
r k-r
k>r
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 11 28/12/2012
Parámetros T = Horizonte de planeación R = Demanda que tiene que ser satisfecha durante todo el periodo C1= Costo de mantenimiento del recurso por unidad de tiempo C2 = Costo de inexistencias costo unitario o penal por unidad de tiempo C3 = Costo fijo
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 12 28/12/2012
Variables
r = la tasa de la demanda k = la tasa de producción S = Nivel máximo de producción D = Nivel máximo de inexistencias q = Cantidad a producir u ordenar en un periodo
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 13 28/12/2012
Variables
t1 = Tiempo de producción hasta alcanzar el nivel máximo t2 = Tiempo de satisfacción de la demanda hasta un nivel 0. t3 = Tiempo de insatisfacción de la demanda hasta un nivel máximo de insatisfacción t4 = Tiempo de reorden o producción y satisfacción de la demanda hasta un nivel 0
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 14 28/12/2012
Objetivo
Determinar los valores de las variables S, D, t1, t2, t3, t4, y q de tal manera que minimicen el costo total del sistema de inventarios
**4
*3
*2
*1
** ,,,,,,min_
qttttDSCostos
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 15 28/12/2012
Construcción del Modelo Numero de Periodos
R Unidades en un periodo T TRr
CCFAreaCCIAreaCCM
CfCICMCstPTCtsPnCTS
=
=Δ=Δ=++=
=
3
22
11
_*_*
/* [0] [a] [b] [c]
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 16 28/12/2012
Inventario
Tiempo
S
t1 t2
2)( 211 SttCCM +
= [1]
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 17 28/12/2012
Inventario
Tiempo
D
t3 t4 2
)( 432 DttCCI += [2]
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 18 28/12/2012
El costo total es: Con [1][2][c]
3432211
2)(
2)( CDttCSttCC +
++
+= [3]
4321 ttttCtsPCTPS
+++= [4]
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 19 28/12/2012
Reemplazando [3] en [4]
4321
3432211
2*)(*
2*)(*
)min(tttt
CDttCSttC
CTPS+++
++
++
=[5]
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 20 28/12/2012
Inventario
Tiempo
S
t1 t2
⎩⎨⎧
==−
ΔStr
Strtk
2
111 *
**
[6]
[8] 2*trS =rktrt
trrkt
−=
=−
21
21
**)(*
k-r r
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 21 28/12/2012
Inventario
Tiempo
D
t3 t4
[7]
⎩⎨⎧
=−=
ΔDtrtk
Dtr
44
32 **
*
[9] 3*trD =rktrt
trrkt
−=
=−
34
34
**)(*
r k-r
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 22 28/12/2012
Reemplazando en [5] las ecs. [6][7][8][9]
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+++
−
+−
+++−
rkrttt
rkrt
Crk
rttrtCtrk
rtrtC
332
2
33
33
2222
1 )(2
)(2min
[10]
Simplificando
( ) ( ) ( ) ( )
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+−+−+
−−
++−−
+−+−
rkrtrtktrtktrt
rkrkCrtrtkt
rkrtCrtktrt
rkrtC
333222
333332
22221
2)(2min
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 23 28/12/2012
( )( )
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−++
32
3
232
221
22minttk
rkCrktCrktC
0@
@__0@
@32
==t
CTSPt
CTSP
A
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 24 28/12/2012
( )( )
0@
@2
322
3221
2
=+
−+=
ttkAkttkrktC
tCTSP
( )( )
0@
@2
322
3232
3
=+
−+=
ttkAkttkrktC
tCTSP
( )( ) AttkrtC
AttkrtC=+=+
3232
3221[11]
[12]
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 25 28/12/2012
( ) ( )
*2
2
1*3
3221
32323221
tCCt
tCtCttkrtCttkrtC
=
=+=+
[13]
Reemplazando A en [11]
( ) ( )rkCrktCrktCttkrtC −++=+ 3
23
221
3221 22
2
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 26 28/12/2012
Reemplazando [13] en la anterior ecuación
( )rkCtCCrkCrktCt
CCtrktC −++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ 3
222
2
21
2
22
122
1221 22
Operando
( ) ( ) ( )
( ) ( )rkCCCrktCC
rkCCCtCCrkCCrkt
CC
−=+
−++=+
31222
2
1
31222
2
112
22
2
1
2
222
( )( ) ( )121
3222
121
3222
122
CCrkC
kkrCC
tCCrkCrkCCt
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⇒+−
=
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 27 28/12/2012
221
31*3
121
32*2
)()/1(2
)()/1(2
cccrkrcct
cccrkrcct
+−
=
+−
=
Determinar las variables que minimizan el costo
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 28 28/12/2012
( )
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−
=
krCCC
rCCk
t
CCrCkrk
krCCr
rkrtt
1
21
1
12
211
32*1
211
22
322
*2*
1
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=
krCCC
rCCk
t1
21
212
31*4
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 29 28/12/2012
121
32*2 )(
)/1(2*ccc
krcrcrtS+−
==
El nivel de inventario deseado S* es
221
31*3
*
)()/1(2
ccckrcrcrtD
+−
==
El déficit o demanda diferida D* será
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 30 28/12/2012
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+++−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+++−
=
+++=
*2
2
1*2
2
1*2
*2*
*3*
3*2
*2*
4321
tCC
rkrt
CCt
rkrtrq
rkrttt
rkrtrq
ttttrq
La producción Optima q* que minimiza el costo total C es:
( )( )
2
21
1
3*
2
111222*2
*
)/1(12
ccc
krcrcq
CrkrCrCkCrCkCrCrtq
+−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−+−+=
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 31 28/12/2012
)()/1(2
)()/1(2
21
321*
21
21
321*
cckrccrcC
cckrccrcC
+−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
=
El costo total mínimo C* es
Cts=cm(t1,r,t2,t3,t4)
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 33 28/12/2012
Ejemplo Se requiere 10 000 toneladas de fertilizante para los próximos 180 días. Se ha calculado el costo de mantenimiento del inventario en 15 Bs. Por tonelada día, y el costo fijo de producción es de 500 000 Bs. Mediante un arreglo con el cliente, se quedé en, pagarle 100 Bs. Por tonelada día en que no se pueda satisfacer su demanda y además la producción no es instantánea, sino se produce a razón de 80 toneladas de fertilizante por día. ¿Cuánto debe producirse y con que frecuencia, para que el costo total sea el mínimo?
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 34 28/12/2012
Solución
$_500000/_$_100
/_$_15
/_56.55180
10000_180
_10000
3
2
1
===
==
==
CdíatonsC
díatonsC
díatonsr
díasTtonsR
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 35 28/12/2012
Solución
$_52.14988_6.67
_88.149_89.997
_14.6
_7.2
_27.2
_83.40_3734
*
*
*
*4
*3
*2
*1
*
=
==
=
=
=
=
=
=
CdíasT
tonsDtonsS
díast
díast
díast
díasttonsq
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 36 28/12/2012
Derivaciones del modelo anterior
Si la tasa de producción k es mucho mayor que la tasa de consumo r, se tiene el caso de Producción Instantánea. En esta situación, se deja que k tienda al infinito, por lo que la relación r/k tiende a 0, o lo que es lo mismo, los tiempos de producción t1 y t4 tienden a cero.
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 37 28/12/2012
Derivaciones del modelo anterior
Conocido también como el modelo de Witing es un modelo mas simplificado y se obtiene en base el modelo ya demostrado Su deducción es la siguiente:
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 38 28/12/2012
Inventario
Tiempo
S
t2
t3
D
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 39 28/12/2012
221
31*3
121
32*2 )(
2___)(
2cccr
cctcccr
cct+
=+
=
La producción Optima q* que minimiza el costo total C es:
( )2
21
1
3* 2c
cccrcq +
=
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 40 28/12/2012
21
21
321*
)(2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=ccccrcC
121
32
)(2*
ccccrcS
+=
221
31*
)(2
ccccrcD
+=
El nivel de inventario deseado S* es
El costo total mínimo C* es
El déficit o demanda diferida D* será
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 41 28/12/2012
Ejemplo
Suponga en el ejercicio anterior que la producción es instantánea es decir k>>r, en este caso la producción optima será
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 42 28/12/2012
Solución
díasTC
tonsDtonsS
díast
díasttonsq
_1.37$_27.26920
_2.269_68.1794
_8.4
_30.32_88.2063
*
*
*
*3
*2
*
==
=
=
=
=
=
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 43 28/12/2012
Derivaciones del modelo anterior
Otra particularidad, es el no permitir que el inventario sea negativo, es decir, no permitir demanda diferida. En este caso, el costo penal c2 tiende al infinito y el tiempo t3 a cero, la relación c2/(c1+c2) tiende a la unidad.
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 44 28/12/2012
Inventario
Tiempo
S
t2
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 45 28/12/2012
1
3*2
2rcct =
Cantidad Económica de Pedido OEQ
1
3* 2crcq =
La producción Optima q* que minimiza el costo total C es:
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 46 28/12/2012
0* =D
El nivel de inventario deseado S* es
1
3* 2crcS =
[ ]21
31* 2 crcC =
El costo total mínimo C* es
El déficit o demanda diferida D* será
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 47 28/12/2012
Ejemplo
En el ejemplo anterior asumir que no se permite diferir la demanda al futuro, en este caso la producción optima será
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 48 28/12/2012
Solución
díasTC
tonsS
díasttonsq
_64.34$_67.28868
_5.1924
_64.34_5.1924
*
*
*2
*
==
=
=
=
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 49 28/12/2012
Derivaciones del modelo anterior
No se permite demanda diferida, la producción no es instantánea. Para este modelo C2 tiende a infinito, considerando esto t3 y t4 son 0.
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 50 28/12/2012
Inventario
Tiempo
S
t1 t2
k-r r
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 51 28/12/2012
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
krC
rCk
t
rCkrC
t
1
21
12
1
3*1
1
3*2
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 52 28/12/2012
El nivel de inventario deseado S* es
El costo total mínimo C* es
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
krC
rCq1
2
1
3*
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
krCrCC 12 31
*
1
3*
12
CkrrC
S⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
La producción Optima q* que minimiza el costo total C es:
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 53 28/12/2012
Problema Inventario
Tiempo t1
S
k-r
t2
S
t3
r
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 54 28/12/2012
Problema Inventario
Tiempo t3
S
k-r
t2
S
t1
r
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 55 28/12/2012
Problema Se requiere capacitar a los docentes de la Universidad Técnica de Oruro, FNI=152 Eco=92 Arq=43 Agr=31 Der=108 Tec=89 Med=26, en Pedagogía en los próximos 3 meses. El costo fijo del curso de actualización Pedagógica es de 61730 $us (Dólares Americanos) que es ofertado por la CUJAE Entidad Cubana, Curso de Diplomado en Pedagogía. Y el costo de mantenimiento de cada alumno durante el curso es de 250 Bs. Diarios. Cuantos docentes deben capacitarse, y con que frecuencia para que el costo resulte mínimo?¿Cual es el costo mínimo?
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 56 28/12/2012
Para el problema anterior Suponga que existe demanda diferida y la penalización con la entidad acreditadora es de 70 $us (Dólares Americanos), por docente que no está actualizado en Pedagogía, o no tiene un Diplomado en Pedagogía. Cuantos docentes deben capacitarse, y con que frecuencia para que el costo resulte mínimo?¿Cual es el costo mínimo?
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 57 28/12/2012
Para el problema anterior
Ahora suponga que la capacitación no es instantánea, puesto que la entidad Cubana encargada de la capacitación delimita que tan solo puede capacitar tres paralelos de 30 postulantes como máximo y que los cursos de diplomado son mensuales. Cuantos docentes deben capacitarse, y con que frecuencia para que el costo resulte mínimo?¿Cual es el costo mínimo?
Contenido
Inventario de un solo producto, demanda constante, revisión continua. Inventario de un solo producto, demanda constante, descuento en los precios y revisión continua Inventario de varios productos con demanda constante revisión continua y limitación de espacio de almacenamiento
28/12/2012 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 58
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 59 28/12/2012
Inventario de un solo producto, demanda constante, descuento en los precios y revisión continua
Precio del producto varié con la cantidad La variación del precio no es una función del lineal sino discontinua. Asume que
Producción instantánea No se permite demanda diferida
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 60 28/12/2012
Modelo B Sistema de inventario de un solo producto, duradero e indivisible, la demanda es continua con una tasa de demanda constante, precio del producto es discontinuo, variando de acuerdo a las cantidades Considerar que el tiempo de entrega es instantáneo no permite diferir la demanda, como el precio del producto es discontinuo significa que se hacen descuentos según la cantidad de productos, los costos fijos son costos lineales
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 61 28/12/2012
Objetivo
Construir el modelo matemático y determinar la cantidad de productos a producir u ordenar de tal manera que se minimice el costo total unitario del sistema de inventarios
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 62 28/12/2012
Parámetros
r = Tasa de demanda. k = tasa de producción infinito ∞ c1 = costo de mantenimiento. c2 = costo penal infinito ∞. c3 = costo fijo.
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 63 28/12/2012
Las Variables son t2= tiempo en que se satisface la demanda t1 = t3 = t4 = 0 q = variable de decisión, que determina cuanto producir u ordenar p1 = precio unitario en el rango de 0 a k1 piezas. p2 = precio unitario en el rango de k1 para arriba.
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 64 28/12/2012
Construcción del modelo Inventario
Tiempo
S
t2
S
t2
q q
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 65 28/12/2012
Inventario
Tiempo k1 k2 k3
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 66 28/12/2012
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥≤<
==
=
=
++=
12
11
3
12
____0____
0_____0
2
kqqpkqqp
qCP
CCF
qCtCM
CPCFCMCTS
Costo de Producción + costo fijo + costo de mantenimiento
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 67 28/12/2012
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥++
≤<++
=++
=
12321
11321
321
____2
0____2
0______02
kqqPCqtC
kqqPCqtC
qCqtC
CTS
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 68 28/12/2012
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥++
≤<++
=++
=
12
2
2
31
12
1
2
31
2
31
____2
0____2
0______02
kqtqP
tCqC
kqtqP
tCqC
qtCqC
CTS
Dividiendo entre t2
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 69 28/12/2012
rqtrtq == 22 _____
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥++
≤<++
=++
=
12
2
2
31
12
1
2
31
2
31
____2
0____2
0______02
kqtqP
tCqC
kqtqP
tCqC
qtCqC
CTS
Reemplazando
Si Sabemos que:
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 70 28/12/2012
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥++
≤<++
=++
=
1231
1131
31
____2
0____2
0______02
kqr
qqP
rqCqC
kqr
qqP
rqCqC
qr
qCqC
CTS
Tenemos
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 71 28/12/2012
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥++
≤<++
=++
==
1231
1131
31
____2
0____2
0______02
)min(
kqrPqrCqC
kqrPqrCqC
qqrCqC
CTSq
1
32
231
231
22
02
CrCq
qrCC
qrCC
dqdCTS
=
=
=−=
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 72 28/12/2012
Resolviendo Que es el mínimo exceptuando el punto de discontinuidad
111
321
31 2
1*21
*qc
qrcrpqc
qrcrp ++=++
Se tiene 3 posibilidades!!!!
Defínase a q1 como aquella cantidad que satisface a:
1
32*c
rcq =
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 73 28/12/2012
Caso 1 Si q*>k1, el punto óptimo de producción o compra es q* y el costo mínimo seria
1
32*c
rcq =
C(q)
q
K1 q*
P1
P2
q1
Durante
rCCt1
3*2
2=
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 74 28/12/2012
rpq
rCqCCTS 2*3
*1
2++=
Q1 se determina de la siguiente relación
1
3112*
3*
11 22 q
rCqCrpq
rCqCrp ++=++
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 75 28/12/2012
02
2
3121
1
321
11
=+−
+=
rCaqqC
rCqCaq
Determinar el valor de q1
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 76 28/12/2012
Caso 2 Si k1>=q* y a la vez k1<=q1, o sea que q*<k1<=q1, la cantidad optima es k1 el costo total mínimo seria
C(q)
q
K1 q* q1
p1
p2
rkt 1*
2 =
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 77 28/12/2012
rpk
rCkCCTS 21
311
2++=
Determinar el valor de k1
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 78 28/12/2012
Caso 3 Si k1>=q1la cantidad optima es q*, pues q*<q1<k1 a un costo mínimo de
rpqrCqCCTS 1*3
*
1 2++=
C(q)
q
q* K1 q1
p1
p2
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 79 28/12/2012
Ejemplo Considere el caso de un vendedor de refrigeradores marca LG que tiene una demanda uniforme mensual de 5 refrigeradores, un consto fijo de 10000Bs, generado por su viaje a Iquique para traerlas de contrabando un costo de almacenamiento de 1000 Bs. Mensuales generados por el alquiler de la bodega donde guarda la mercadería y un costo unitario en la compra de los refrigeradores en el extranjero dada por la siguiente tabla.
Precio unitario Pj
Cantidad kj
2000 Bs Si 0 < q < 15
1000 Bs Si 15 <= q
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 80 28/12/2012
Solución
mesrefrMesT
oresrefrigeradRmesBsC
BsC
/_5
_5/_1000
_10000
1
3
=====
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 81 28/12/2012
Solución refq _10* =
82.318.26
21
11
=
=
151 =k
El valor de q* será
Para q1 se tiene dos soluciones
Con los valores anteriores se calcula el valor de K1
BskC _33.15833)( =Y el costo mínimo será
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 82 28/12/2012
Extensión del modelo Como se resolverá el problema si existen más de una discontinuidad, es decir, varios descuentos.
Precio Intervalo
P1 Si 0 < q < k1
P2 Si k1 <= q < k2
P3 Si k2 <= q < k3
….. …..
Pm Si km <= q
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 83 28/12/2012
Gráficamente C(q)
q
K1 K2 K3 K… Km
p1
p2
p3
p4
p….
pm
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 84 28/12/2012
Relaciones
El punto q* se calcula de
1
32*c
rcq =
El costo total de calcula de
3,2,1____21
13 =++= jqcqrcrpC jj
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 85 28/12/2012
Ejemplo
La fabrica de cerveza Huari tiene calculado el costo unitario de sus botellas de cerveza de acuerdo a la siguiente tabla. Suponiendo una producción instantánea, y no se permite demanda diferida, el costo fijo de producción es de 12000 Bs, el costo de mantenimiento es de 0.15 Bs. Por botella mensualmente, y existe una demanda uniforme mensual de 8000 botellas. Cual debe ser la producción mensual que minimice los costos?
Costo Unitario Cantidad P1 = 5 Bs 0 < q < 10000 = K1
P2 = 4.7 Bs 10000 <= q < 80000 = K2
P3 = 4.5 80000 <= q
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 86 28/12/2012
Solución
botellasq _08.35777* =
mesBotellasrBsC
BsC
/_8000_15.0
_12000
1
3
===Datos Iniciales
El valor de q* es
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 87 28/12/2012
Solución
BsCBsC
kk
_43200_56.42966
8000008.3577710000
3
2
21
==
=<<=
Como C2 (35777.08) = 42966.56 Bs < C3 (80000) = 43200 Bs. El volumen Optimo de producción es de 35777.08 Botellas, a un costo minimo total Mensual de 42966.56 Bs.
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 88 28/12/2012
Problema Se requieren 30000 toneladas de fertilizante, que se consumirá en el transcurso de un año. El costo fijo de producción es de 80 Bs. El costo del capital invertido, seguros e impuestos sobre el inventario promedio es del orden del 20% del valor de este. El costo de almacenamiento es de 10 centavos por mes y está basado en el inventario promedio anual. El costo de venta tiene una tasa fija de 20 Bs. por orden, más un costo unitario determinado por la siguiente tabla. No se permite demanda diferida a periodos futuros. ¿Cuál debe ser el volumen de producción de fertilizante que minimiza el costo total?
Orden Precio unitario por tonelada
0 < q < 10000 = k1 P1 = 1 Bs
10000 <= q < 30000 = k2 P2 = 0.98 Bs.
30000 <= q < 50000 = k3 P3 = 0.96 Bs.
50000 <= q P4 = 0.94 Bs.
Contenido
Inventario de un solo producto, demanda constante, revisión continua. Inventario de un solo producto, demanda constante, descuento en los precios y revisión continua Inventario de varios productos con demanda constante revisión continua y limitación de espacio de almacenamiento
28/12/2012 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 89
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 90 28/12/2012
Inventario de varios productos con demanda constante revisión continua y limitación de espacio de almacenamiento
Se considera n (n>1) productos Demanda Constante Espacio Limitado de almacenamiento V
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 91 28/12/2012
Modelo C El sistema se caracteriza por que contempla varios productos, cada producto tiene un volumen físico determinado de almacenamiento, en nuestro sistema el deposito de almacenamiento se encuentra limitado, para cada producto se asume una demanda conocida con tasa de demanda constante, producción instantánea, sin demanda diferida, para cada producto revisión periódica y además que no se presenta el descuento en precios, los productos son duraderos e indivisibles, con costo fijo.
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 92 28/12/2012
Objetivo
Construir el modelo matemático para el sistema y determinar las variables del sistema que minimicen el coso unitario total del sistema tomando en cuenta la limitación en el volumen de almacenamiento del depósito.
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 93 28/12/2012
Parámetros N productos Costo Fijo c3i
Costo de almacenamiento c1i
Costo penal c2i
Volumen unitario del producto i: vi
Volumen total del depósito V Demanda constante ri
i = 1... n productos
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 94 28/12/2012
Variables Se supone producción o reorden instantáneo No existen descuentos en los precios No existe demanda diferida t1i = t3i = t4i = 0 t2i = diferente para cada producto k = tiende a infinito C2 = tiende a infinito qi=variable de decisión
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 95 28/12/2012
Construcción del modelo Inventario
Tiempo
S
t2
S
t2
q q
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 96 28/12/2012
Función de Costo Se obtiene a partir del costo total para un solo producto
( )∑∑==
+==n
iii
n
ii CFCMCTSCTS
11
Los costos de mantenimiento y fijo serán los siguientes
ii
ii
ii
CCF
tqCCM
3
21 2=
=
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 97 28/12/2012
Función de Costo La función a analizar será
∑=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
n
ii
iii CtqCCTS1
321
2
Y las relaciones de qi y t2i son:
i
ii
iii
rqt
trq
=
=
2
2
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 98 28/12/2012
Dividiendo por t2i
∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
n
i i
i
i
iii
tC
ttqCCTS
1 2
3
2
21
2Reemplazando la relación t2i
∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
n
i i
iiii
qrCqCCTS
1
31
2
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 99 28/12/2012
El problema es
niq
Vqv
asujetoq
rcqcCTSMin
i
n
iii
n
i i
iiii
,...,1____0
_21_
1
1
31
=>=
<=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
∑
∑
=
=
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 100 28/12/2012
Solución Programación No lineal Método de Lagrange
∑ ∑= =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
n
i
n
iii
i
iiiin Vqv
qrcqcqqqL
1 1
3121 2
1),,...,,( λλ
Los valores qi y λ que minimizan la ec. Se hallan de
0
,...,1____0
=∂∂
==∂∂
λL
niqL
i
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 101 28/12/2012
Solución Programación No lineal
nivc
crq
VqvL
nivq
rccqL
ii
iii
n
iii
ii
iii
i
,...,1_____*2
2*
0
,...,1____021
1
3
1
23
1
=−
=
=+−=∂∂
==−−=∂∂
∑=
λ
λ
λ
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 102 28/12/2012
Ejemplo Una Bodega de 25000 mts3 de espacio real de almacenamiento de productos agrícolas (maíz, trigo y cebada). El espacio ya toma en cuenta lo que se requiere para maniobras de estiba. Las características de estos productos son. Cual es la política óptima del inventario que minimiza los costos totales?
Producto Demanda constante mensual ri
Espacio ocupado por ton. De grano
vi
Costo fijo de almacenamie
nto c3i
Costo de almacenamiento por ton
c1i
i=1 maíz 2 ton 1000 mts3 10000 Bs. 300 Bs.
i=2 Cebada 4 ton 1000 mts3 5000 Bs. 100 Bs.
i=3 Trigo 3 ton 1000 mts3 15000 Bs. 200 Bs.
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 103 28/12/2012
Solución
Se utiliza un valor arbitrario de λ, que variará en incrementos de -0.05 empezando con el valor λ =0 y la ecuación para q*i, Una ves conocidos estos valores se substituyen los valores calculados en las restricciones de volumen del modelo hasta lograr un valor cercano al cero
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 104 28/12/2012
Iter Valor Maíz Frijol Trigo Vol.Tot λ < 0 q*i q*2 q*3 vi*qi
1 0.0 11.2 20.0 21.2 27400 2 -0.05 10.0 14.1 17.3 16400 3 -0.10 9.0 11.5 14.9 10400 4 -0.15 8.2 10.0 13.4 6600 5 -0.20 7.6 8.9 12.2 3700 6 -0.25 7.1 8.2 11.3 1600 7 -0.30 6.7 7.6 10.6 -100
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 105 28/12/2012
Solución
Se observa que el valor óptimo de λ se encuentra en el intervalo -0.3 < λ < -0.25, por lo tanto el valor de λ = -0.3 y para el inventario optimo mensual será: q*1 = 6.7 tons q*2 = 7.6 tons q*3 = 10.6 tons Ocupando un espacio total de 24900 mts3
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 106 28/12/2012
Problema
Considere el sistema de inventario siguiente: Son varios productos indivisibles Se contempla limitación de espacio de almacenamiento Se considera diferenciación de precios La demanda es conocida y la tasa de demanda es constante No se permite demanda diferida La producción es instantánea
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 107 28/12/2012
Problema
Considere el sistema de inventario siguiente: Son varios productos indivisibles Se contempla limitación de espacio de almacenamiento Se considera diferenciación de precios La demanda es conocida y la tasa de demanda es constante Se permite demanda diferida hasta un nivel máximo D La producción es instantánea
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 108 28/12/2012
Problema
Considere el sistema de inventario siguiente: Son varios productos indivisibles Se contempla limitación de espacio de almacenamiento Se considera diferenciación de precios La demanda es conocida y la tasa de demanda es constante Se permite demanda diferida hasta un nivel máximo D Se contempla un tiempo producción
28/12/2012 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 109
Gracias
Consultas a: cbv170@hotmail.com
Contenido
Inventario de un solo producto, demanda dinámica, revisión periódica.
28/12/2012 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 110
Inventario de un producto, demanda dinámica y revisión periódica
Se considera un solo producto La demanda es determinística No hay demanda diferida La revisión es periódica
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 111 28/12/2012
Descripción En este modelo, se considera un solo producto, cuya demanda es determinística en el periodo t de un horizonte de finito de planeación de N periodos (no necesariamente de igual duración) es rt, t = 1, …, N. Por lo general, la demanda determinística de cada periodo será diferente. Se supone que una orden de producción o compra de inventario se satisface instantáneamente y que no permite diferir la demanda a periodos futuros. La revisión del inventario, para efectuar la decisión de compra o producción, será periódica, es decir, expresada en función de un número fijo de periodos de tiempo y no en forma continua.
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 112 28/12/2012
Objetivo
Construir el modelo matemático para el sistema y determinar las variables del sistema que minimicen el coso unitario total del sistema tomando en cuenta las restricciones planteadas para dicho modelo.
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 113 28/12/2012
Parámetros
Xt : La variable de decisión que indica la cantidad que se ordeno o se produce instantáneamente en el periodo t, t=1,2,…,N rt : La demanda determinística del periodo t, t=1,2,…,N. Zt : El inventario que se tiene al inicio del periodo t, t=1,2,…,N. antes de tomar una decisión.
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 114 28/12/2012
Variables ht : el costo unitario de mantenimiento del inventario que se acarrea del periodo t al t+1, t=1,2,…,N. kt : el costo fijo de producción o reorden durante el periodo t, t=1,2,…,N. ct (Xt) : el costo marginal de reorden o producción, durante el periodo t, t=1,2,…,N. Es una función de la variable de decisión Xt.
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 115 28/12/2012
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 116 28/12/2012