Momento Angular21-05

Momento Angular

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑟

𝑝𝐿

Momento Angular

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑟

𝑝𝐿

𝐿 = 𝑟. 𝑝. 𝑠𝑒𝑛∅

Momento Angular

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑟

𝑝𝐿

𝐿 = 𝑟. 𝑝. 𝑠𝑒𝑛∅∅

Momento Angular

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑟

𝑝𝐿

𝐿 = 𝑟.𝑚𝑣. 𝑠𝑒𝑛∅∅

Momento Angular

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑟

𝑝𝐿

𝐿 = 𝑟.𝑚𝑣. 𝑠𝑒𝑛∅∅

Momento Angular

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑟

𝑝𝐿

𝐿 = 𝑟.𝑚𝑣. 𝑠𝑒𝑛∅∅

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)𝑑

𝑑𝑡

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑚

𝑑

𝑑𝑡( 𝑟 × 𝑣)

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑚

𝑑

𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×

𝑑 𝑣

𝑑𝑡+𝑑 𝑟

𝑑𝑡× 𝑣)

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑚

𝑑

𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×

𝑑 𝑣

𝑑𝑡+𝑑 𝑟

𝑑𝑡× 𝑣)

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑚

𝑑

𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×

𝑑 𝑣

𝑑𝑡+𝑑 𝑟

𝑑𝑡× 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣)

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑚

𝑑

𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×

𝑑 𝑣

𝑑𝑡+𝑑 𝑟

𝑑𝑡× 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣 =

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑚

𝑑

𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×

𝑑 𝑣

𝑑𝑡+𝑑 𝑟

𝑑𝑡× 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 × 𝑎)

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑚

𝑑

𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×

𝑑 𝑣

𝑑𝑡+𝑑 𝑟

𝑑𝑡× 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑚

𝑑

𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×

𝑑 𝑣

𝑑𝑡+𝑑 𝑟

𝑑𝑡× 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠

Quem é?

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏

𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑

𝑑𝑡𝐿

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏

Lembrando (mostrando similaridade):

𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑

𝑑𝑡𝐿

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏

Lembrando (mostrando similaridade): 𝐹𝑅𝑒𝑠 =𝑑

𝑑𝑡 𝑝

𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑

𝑑𝑡𝐿

Segunda Lei de Newton para Rotações

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)

𝑑

𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏

Lembrando (mostrando similaridade): 𝐹𝑅𝑒𝑠 =𝑑

𝑑𝑡 𝑝

𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑

𝑑𝑡𝐿 Rotação

Transalação

Momento angular – sistema de partícula

𝑑

𝑑𝑡𝐿 =

𝑖=1

𝑛𝑑𝑙𝑖𝑑𝑡

Momento angular – sistema de partícula

𝑑

𝑑𝑡𝐿 =

𝑖=1

𝑛𝑑𝑙𝑖𝑑𝑡=

𝑖=1

𝑛

𝜏

Momento angular – sistema de partícula

𝑑

𝑑𝑡𝐿 =

𝑖=1

𝑛𝑑𝑙𝑖𝑑𝑡=

𝑖=1

𝑛

𝜏

𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑

𝑑𝑡𝐿

Momento angular – sistema de partícula

𝑑

𝑑𝑡𝐿 =

𝑖=1

𝑛𝑑𝑙𝑖𝑑𝑡=

𝑖=1

𝑛

𝜏

𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑

𝑑𝑡𝐿

“O torque externo resultante que age sobre um sistema de partículas é

igual à taxa de variação com o tempo do momento angular total L do

sistema.”

Momento angular – corpo rígido girando

Momento angular – corpo rígido girando

Momento angular – corpo rígido girando

∆m

ri

Momento angular – corpo rígido girando

∆m

ri

vi

𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90

Momento angular – corpo rígido girando

∆m

ri

vi

𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖

Momento angular – corpo rígido girando

∆m

ri

vi

𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖

𝐿 =

𝑖=1

𝑛

𝑙𝑖

Momento angular – corpo rígido girando

∆m

ri

vi

𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖

𝐿 =

𝑖=1

𝑛

𝑙𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖

Momento angular – corpo rígido girando

∆m

ri

vi

𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖

𝐿 =

𝑖=1

𝑛

𝑙𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖 V=ωR

Momento angular – corpo rígido girando

∆m

ri

vi

𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖

𝐿 =

𝑖=1

𝑛

𝑙𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖 V=ωR

𝐿 =

𝑖=1

𝑛

∆𝑚𝑖𝜔𝑟𝑖𝑟𝑖

Momento angular – corpo rígido girando

∆m

ri

vi

𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖

𝐿 =

𝑖=1

𝑛

𝑙𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖 V=ωR

𝐿 =

𝑖=1

𝑛

∆𝑚𝑖𝜔𝑟𝑖𝑟𝑖 =𝜔

𝑖=1

𝑛

∆𝑚𝑖𝑟𝑖2

Momento angular – corpo rígido girando

∆m

ri

vi

𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖

𝐿 =

𝑖=1

𝑛

𝑙𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖 V=ωR

𝐿 =

𝑖=1

𝑛

∆𝑚𝑖𝜔𝑟𝑖𝑟𝑖 =𝜔

𝑖=1

𝑛

∆𝑚𝑖𝑟𝑖2 = 𝜔 𝑟2𝑑𝑚

Momento angular – corpo rígido girando

∆m

ri

vi

𝐿 = 𝜔 𝑟2𝑑𝑚

𝐿 = 𝐼𝜔

Momento angular – corpo rígido girando

∆m

ri

vi

𝐿 = 𝜔 𝑟2𝑑𝑚

𝐿 = 𝐼𝜔

𝑝 = 𝑚𝑣

Momento angular – corpo rígido girando

∆m

ri

vi

𝐿 = 𝜔 𝑟2𝑑𝑚

𝑳 = 𝐼𝝎

𝑝 = 𝑚𝑣

rotação

translação

Torque e velocidade angular

Rotação e Translação

Translação Rotação

Força 𝐹 Torque 𝜏(= 𝑟 × 𝐹)

Momento Linear 𝑝 Momento Angular 𝐿(= 𝑟 × 𝑝)

Momento Linear 𝑝 = 𝑀. 𝑣𝐶𝑀 Momento angular 𝐿 = 𝐼𝜔

Segunda Lei de Newton 𝐹𝑟𝑒𝑠 =

𝑑 𝑝

𝑑𝑡

Segunda Lei de Newton 𝜏𝑟𝑒𝑠 =

𝑑𝐿

𝑑𝑡

Lei de Conservação 𝑝 constante Lei de Conservação 𝐿 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Rotação e Translação

Translação Rotação

Força 𝐹 Torque 𝜏(= 𝑟 × 𝐹)

Momento Linear 𝑝 Momento Angular 𝐿(= 𝑟 × 𝑝)

Momento Linear 𝑝 = 𝑀. 𝑣𝐶𝑀 Momento angular 𝐿 = 𝐼𝜔

Segunda Lei de Newton 𝐹𝑟𝑒𝑠 =

𝑑 𝑝

𝑑𝑡

Segunda Lei de Newton 𝜏𝑟𝑒𝑠 =

𝑑𝐿

𝑑𝑡

Lei de Conservação 𝑝 constante Lei de Conservação 𝐿 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Conservação do Momento Angular

Conservação do Momento Angular

𝜏𝑟𝑒𝑠 =𝑑𝐿

𝑑𝑡

Conservação do Momento Angular

𝜏𝑟𝑒𝑠 =𝑑𝐿

𝑑𝑡

Se o torque for nulo L é constante!

Conservação do Momento Angular

𝜏𝑟𝑒𝑠 =𝑑𝐿

𝑑𝑡

Se o torque for nulo L é constante!

𝐼𝑖 . 𝜔𝑖 = 𝐼𝑓 . 𝜔𝑓

Conservação do Momento Angular

𝜏𝑟𝑒𝑠 =𝑑𝐿

𝑑𝑡

Se o torque for nulo L é constante!

𝐼𝑖 . 𝜔𝑖 = 𝐼𝑓 . 𝜔𝑓

Exemplo

Uma barata de massa m está sobre um disco de massa 6m e raio R. O disco gira como um carrossel em tornodo eixo central, com velocidade angular de 1,5 rad/s. A barata está inicialmente a uma distância r=0,8R docentro do disco, mas rateja até a borda. Trate a barata como se fosse uma partícula. Qual é a velocidadeangular do inseto ao chegar à borda do disco?