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8/17/2019 Nueva Pauta Guia
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PUCV-IMA-1ºSemestre 2016
MAT 2178-1
Guía de ejercicios
Pregunta 1: Dadas las función f y g continua c.t.p y acotadas en elintervalor a, b calcular, si es posible las integrales.
f : → f x
x2 2 x , x −1
0 , x −1
2 3 x − 3 , x −1
g : → g x
2− x , x 0
1 , x 0
ln x 1 , x 0
a) −2
0 f x 3g xdx b)
−2
12 f x − g xdx
Desarrollo
a) −2
0 f x 3g xdx
−2
0 f xdx 3
−2
0g xdx
−2
0 f xdx 3
−2
0g xdx
−2−1
f xdx
−10
f xdx 3
−20
g xdx
−2
−1 x2 2 xdx
−1
02 3 x − 3dx 3
−2
02−2dx
− 23 − 9
2
32 − 11
3
b) −2
12 f x − g xdx 2
−2
1 f xdx −
−2
1g xdx
2 −2
−1 x2 2 xdx 2
−1
12 3 x − 3dx −
−2
02− xdx −
0
1ln x 1dx
− 43 − 12 − 3
ln 2 1 − 2ln2 − 2ln2 − 3
ln 2 − 37
3
Pregunta 2
Calcule las siguientes integrales
a) 1
e2 d
dx x2 ln x dx b)
0
d
dx cos x2 dx c)
1
e2 d 2
dx2 x2 ln x dx
Desarrollo
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a)
d dx
x2 ln x dx x2 ln x C 1
e2 d
dx x2 ln x dx x2 ln x C |1
e2
b) 0
d
dx cos x2 dx cos x2 |0
cos − cos0 − 2
c) 1e
2
d 2
dx2 x2 ln x dx d dx x
2 ln x |1e2
12
x x ln x|1e2
1
2 e 2 e 2 lne2 − 1
2 ln 1 5
2 e 2 − 1
2
Pregunta 3
Determine si las siguientes proposiciones son V o F
a. Si F es una antiderivada de f , entonces también lo es F − 7b. Si F es una antiderivada de f , entonces una antiderivada de
g x f x2 es la función G x F x2 c. Si F y G son antiderivadas de f y g respectivamente, entonces FG
es una antiderivada de fg
Desarrollo
a. Hip: F ′ f Tes: F − 7 ′ f Como F − 7 ′ F ′ − 7 ′
F ′ − 0 f La proposición es verdadera
b. Hip: F ′
f Tes: G′
gComo G x F x2 por regla de la cadena se obtiene
G ′ x F x2 ′
G ′ x F ′ x2 2 x
por hipotesis G ′ x f x2 2 x además g x f x2
Así, G ′ x g x 2 x
La proposición es falsa
c. Hip: F ′ f y G ′ g Tes: FG ′ fg
FG′ F ′ G F G ′ por hipotesis
FG ′ f G F g
La proposicón es falsa
Pregunta 4
Integre las siguientes funciones definidas en sus dominios máximos
a) sin x7cos x2
b) 11e2 x
c) 1 xln x3
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d) x x2 1 e) x2 x2 − 1 f) x2
3− x2
h) x cosh x i) x2− x j) x sec x tan x
k) 12 x23 x4
x1 x2 2
l) x2
x22 x22
m) 2 x26 x6
x1 x2 x3
Desarrolloa) sin x
7cos x2 dx 1
cos x7 c
b) 11e2 x
dx x − 12
lne2 x 1 c
c) dx xln x3
− 12 ln2 x
c
d) x x2 1 dx 13
x2 132 c
e) x2 x2 − 1 dxSea x seca dx seca tanada
x2 x2 − 1 dx sec2a sec2a − 1 seca tanada sec3a tan2ada
1cos3a
sin2a
cos2ada
sin2a
cos5ada
sin2a
cos5a
cosa
cosa da
sin2a cosa
cos
6
a
da
sin2a cosa
cos2a3
da
sin2a cosa
1−sin2a 3 da
Sea w sina dw cosada
sin2a cosa
1−sin2a 3 da w2
1−w2 3 dw
116w−1
− 116w1
− 116w−12
− 116w12
− 18w−13
1
8w13 dw
dw16w−1
− dw16w1
− dw16w−12
− dw16w12
− dw8w−13
dw8w13
116
ln|w − 1 | − 116
ln|w 1 | 116w−1
1
16w1
1
16w−12 − 1
16w12 c
Como w sina
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116
ln|sina − 1 | − 116
ln|sina 1 | 116sina−1
1
16sina1
1
16sina−12
− 116sina12
c
Como x seca hip
ady hip x y ady 1 por lo tantosina
x2−1 x
116
ln x2−1
x − 1 − 1
16 ln
x2−1 x 1
1
16 x2−1
x −1
1
16 x2−1
x 1
1
16 x2−1
x −12
− 116
x2−1 x 1
2 c
116
ln x2−1
x − 1 − 1
16 ln
x2−1 x 1
1
16 x2−1
x −1
1
16 x2−1
x 1
1
16 x2−1
x −12
1
16 ln 2 x x2 − 1 − 2 x2 1 − 1
8 x x2 − 1 1
4 x 3 x2 − 1
f) x23− x2
dx 32
arcsin 13
3 x − 12
x 3 − x 2 c
h) x cosh xdx 12
xe x − 12
xe x − 1
2 e x − 1
2e x c
i) x2− x dx : −1
2
x
ln22 − 12 x xln 2 c j) x sec x tan xdx x sec x − sec xdx sec xdx 1
2 ln2sin x 2 − 1
2 ln2 − 2sin x c
k) 12 x23 x4 x1 x2
2 dx x12
x212 − x
x21
1 x dx
6 x x21
− 3 x21
− 12
ln x21
x21
ln x
x21 6 arctan x
x21−
1
2 x21 6 x2 arctan x
x21− 1
2 x2
ln x21
x21− 3 x
2
x21 x 2 ln x
x21 c
l) x2
x22 x22 dx 1 x22 x2 − 2 x2 x22 x22 dx
Primera integral dx x22 x2
Como x 2 2 x 2 x 22 − 2
2 x22
2
− 1
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dx x22 x2
1
2 dx
x2
2
2
−1
Sea u x22
du 12
dx
2
2 1
u2−1du por fracciones parciales
1u2−1
du 12
lnu − 1 − 12
lnu 1
1
2 ln x2
2− 1 − 1
2 ln x2
2 1 c
Segunda integral 2 x2 x22 x2
2 dx
Sea u x2 2 x 2 du 2 x 2 dx
2 x2 x22 x2
2 dx du
u2
− 1u − 1
x22 x2 c
m) 2 x26 x6 x1 x2 x3
dx
1 x1
− 2 x2
3 x3
dx ln x 1 − 2 ln x 2 3 ln x 3 c