Post on 19-Feb-2015
Objetivos: Comprender como los electrones logran abandonar el filamento para ser posteriormente acelerado en el equipo radiológico.
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Generadores de Radiación Ionizante 1.2 Modelo del Filamento
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Dr. Willy H. GerberInstituto de Fisica
Universidad AustralValdivia, Chile
Electrones de valencia
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“Mar” de Electrones de Valencia no localizados
Cationes metálicos
x
Electrones de valenciaquasi libres
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Paréntesis Mecánico Cuántico
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El electrón de conducción no se describe como una partícula “corpúsculo” si no como una “onda”. Dichas ondas “ocupan” el potencial del metal conductor de largo L, describiendo cada una un estado posible con energía bien definida.
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z/L
n
Función de onda
El vector de onda de la partícula es
Otras variables que se asocian a la onda son:
El impulso La energía
Largo de onda
Electrones de valencia
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LL
L
En un cupo de LxLxL
Su vector de onda es
con nx, ny y nz los estados posibles. Si m es la masa, la emergía será:
con h la constante de Planck ( ) )
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Parámetros:Masa del electrón 9.11x10-31 kgConstante de Planck h = 6.63x10-34 Js
Espacio estado
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En el espacio de estados, estados con igual energía se encuentran distribuidos sobre una esfera:
nx
ny
nz
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Numero de estados
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El numero de estados en la esfera de radio n:
en que los n pueden tomar valores entre 0 y el numero de electrones N. Por ello el volumen de la esfera debe ser dividido por 1/8:
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Espacio estado
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Los estados con una energía entre E y E + dE se encuentran entre el espacio estado entre la esfera de radio E y la de radio E + dE:
nx
ny
nz
El numero de estados entre ambas superficies se puede calcular retando del numero total de estados en la esfera de radio E + dE aquellos de la esfera de radio E.
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Densidad de estados
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Con 2 estados por spin “up” y “down” el numero es:
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Probabilidad de que el estado este ocupado
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1
0
0 5
F(E)
E/EF
EF=100kT
EF=kTEF=2kTEF=10kT
La probabilidad de que uno de losestados este ocupado esta dado por la función de Fermi:
con
EEF
k
T
Energía [J]Energía de Fermi [J] Constante de Boltzmann [J/K]1.38x10-23 m2 kg/s2 KTemperatura absoluta [K]
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F(E) = 1; es seguro que un electrón ocupa el estado
F(E) = 0; es seguro que ningún electrón ocupa el estado
Energía de Fermi
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En el caso extremo de T -> 0:
con lo que se puede calcular la energía de Fermi EF ya que el numero de electrones en el cubo de lado L es N [#/m3].
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Limites
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Situaciones limites
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Distribución de electrones
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Con la temperatura los electrones comienzan a desplazarse a estados superiores:
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Función de trabajo
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x
Fermi
Valencia
Conducción
Libre
Función de trabajo φ
Afinidad electrónica
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Escape de electrones
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pz
Condición para abandonar el conductor:
γ(pz)
γ(pz)pz
mEF
ϕ
1 ‒ γ(pz)
Coeficiente de reflexión [-]Impuso [kg m/s]Masa electrón [kg]Energía de Fermi [J]Función de trabajo [J]
Impuso mínimo que debe tener el electrón
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Escape de electrones
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Numero de electrones con impulso entre(px,py,pz) y (px + dpx, py + dpy,pz + dpz)
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Probabilidad de que el estado este ocupado
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La corriente de electrones es entonces:
o sea
Para calcular la corriente debemos modelar la función de densidad f
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Probabilidad de que el estado este ocupado
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Para obtener la función f se puede recurrir a la densidad de estados Z. La relación entre el impulso y el modo del electrón:
Con el volumen del espacio de fase
y la energía
se obtiene
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Probabilidad de que el estado este ocupado
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Pasando del volumen de numero de estados al impulso
Como nos interesa solo la componente en z se procede a integrar en x y y:
Con lo que se obtiene la función densidad
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Probabilidad de que el estado este ocupado
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Lo que nos permite derivar la ecuación de Richardson-Dushman
Con
y
se obtiene la integral de la corriente
con
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