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CÁLCULO 11°
Lic. EDWIN JOSÉ AGUAS CÁRCAMOS
2013
PREPARADOR
DE
CALCULO 11°
CÁLCULO 11°
Lic. EDWIN JOSÉ AGUAS CÁRCAMOS
2013
ÁREA: Matemáticas
ASIGNATURA: Cálculo
INTENSIDAD HORARIA SEMANAL: 5 Horas
TEMA: Conjuntos
Definición: Intuitivamente, un conjunto es una
colección o clase de objetos bien definidos. Estos
objetos se llaman elementos o miembros del
conjunto.
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas y
los elementos con letras minúsculas y su
representación gráfica se realiza a través de
diagramas o encerrando sus elementos entre llaves.
Ejemplo:
A= dcba ,,, 1,2,3,4,5A
DETERMINACION DE CONJUNTOS
Para determinar o identificar un conjunto existen
dos maneras:
Por extensión, que consiste en escribir todos y cada
uno de los elementos
que lo conforman, así conociendo todos sus
elementos conocemos el conjunto.
Por comprensión, esta consiste en indicar una
característica especial y común que tienen los
elementos de un conjunto.
Ejemplo: por extensión
1,2,3,4,5,6,7,8,9,0A
3,5,7,9,11,13,..........B
Por comprensión:
/ 2 1
A los números dígitos
B x x n
Ejercicios
Determinar por extensión y por comprensión cada
uno de los siguientes conjuntos.
a. El conjunto de los números primos menores
que 35
b. El conjunto de los cuadrados perfectos
menores que 100
c. El conjunto de los números impares
menores que 30
DIAGRAMA DE VENN
REPRESENTACION GEOMÉTRICA
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ACTIVIDAD
Determinar por extensión los siguientes conjuntos.
2
1. / 1 3
2. / 16
3. / 4 19
4. / , 9
5. / 3 11
6. / 2
7. / 10 1
8. / 3
x x
x x
x x
x x es primo y x
x x
x x
x x
x x
Determinar por comprensión cada conjunto.
9. 2, 4,6,8,10,12,.....
10. 1
11. 1,4,9,16,25,36,....
12.
13. 1,3,5,7,9,........
14. 2,5,10,17, 26,37,....
1 2 3 415. , , , ,...........
2 3 4 5
A
B
C
D
E
C
D
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Intuitivamente un álgebra es una estructura en
donde ciertos objetos de un conjunto base se
combinan por medio de distintas operaciones
para formar elementos del mismo conjunto
base. Tome, por ejemplo, la estructura de los
números naturales.
El conjunto base es en este caso el conjunto
de los números naturales, y hay varias
operaciones, como por ejemplo la suma. Si
operamos mediante la suma al 2 y al 3,
obtendremos el número 2+3=5. Estudiar un
álgebra significa estudiar las *propiedades de
las operaciones. Por ejemplo, para el caso
anterior, sabemos que una propiedad
fundamental de la suma es la conmutatividad:
,x y x y y x Para todos.
Intersección entre conjunto
Se llama intersección entre dos conjunto A y
B al conjunto formado por los elementos que
pertenecen simultáneamente a A y B. se
representa A B .
Simbólicamente /A B x x A x B
En el diagrama de Venn se tiene:
si el conjunto A B es vacío, se dice que A y
B son disyuntos. Se simboliza A B
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Ejercicios
1. Sean los conjuntos
2
/ 4 5 , / 6
/ 10 , / 4 0 ,
A x x B x x
C x x D x x
Hallar y representar en un diagrama de
Venn.
Luego, determinar la relación que existe
entre ellos.
2. sea / .B x x hallar un conjunto A
que cumpla la condición dada.
a. A B =B con A B
b. A B =A
c. A B
d. A B =A=B
Unión entre conjunto
Se llama unión entre dos conjunto A y B al
conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A o a B. se representa AUB .
Simbólicamente /AUB x x A x B
En el diagrama de Venn se tiene:
Ejemplo
Dados los conjuntos
/ 3 1 15
/ 12 5 36
A x x esun multiplo de x y
B x x esun multiplo de x
Hallar AUB y hacer la representación en un
diagrama de Venn.
Solución
Determinamos por extensión los conjuntos A y B
3,6,9,12 12,24,36
3,6,9,12,24,36
A y B
luego AUB
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Diferencia entre conjunto
La diferencia entre dos conjuntos A y B es el
conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A y no pertenecen a B se
representa A B
Simbólicamente /A B x x A x B
En general A B B A
ya que
/B A x x B x A
Sean
/ , 15
/ , 2 6
A x x x es un número par x
B x x x
Hallar A B y B A y representar cada
operación en un diagrama de Venn.
A B
B A
Diferencia simétrica
La diferencia simétrica entre dos conjuntos A
y B es el conjunto formado por los elementos
que pertenecen a AUB y no pertenecen A B .
Se representa A B
Simbólicamente
AUB A BA B
A B U B A
3 6
9
24
36
12
8 10
12 14
-2 -1 1 0 3 5
2 4 6
8 10
12 14
-2 -1 1 0 3 5
2 4 6
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Ejemplo
A partir del diagrama y teniendo en cuenta
que 62n U . Hallar:
1. n B 2. n AUB
3. n A 4. n A B
Como 62n U y
3 1 2 4 4 2 1n U x x x x entonces
6662 11 4 tan 6
11x por to x Luego x=6 de
esta forma se halla cada una de las
preguntas.
Ejemplo 2
En una encuesta realizada a un grupo de 104
estudiantes a cerca de la asignatura de su
preferencia se encontró que: 63 gustan de las
matemáticas, 54 de la física y 48 de la
química; 30 gustan de la matemática y la
física, 25 de la física y la química, 26 de la
matemática y la química;8 estudiantes no
gustan de las tres asignatura.
¿Cuántos ESTUDIANTES gustan de las tres
asignaturas?
Solución
Se utiliza el diagrama de Venn para visualizar
las ecuaciones.
TALLER DE EJERCITACION
Determinar por extensión cada conjunto.
Considerar el ejercicio 1 como conjunto
universal.
1. / , 3 20 2. / ,3
3. / , 1 8 4. / , 4
U x x x A x x x
B x x x x x x x
Teniendo en cuenta los conjuntos anteriores,
escribir los elementos correspondientes en
cada expresión.
3x-1
4x-4 2x
2x+1
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''
' ' '
' ' ' ' ' '
5. 6. 7.
8. 9. 10.
11. 12. ' 13.
14. 15. 16.
17. 18. 18.
AUB BUC B C
C A A B B A
A B BUC
A C CUA A B
B C A B B C
Determinar cuáles afirmaciones son
verdaderas. Justificar cada respuesta.
'
' '
' '
'
' ' '
19. 20.
21. 22.
23.
24.
25.
26.
si a A A B si A B A B A
si A B B A si A B A B A
si A B A B B
si A B A B
si B C y x B x C
si A B A B A
NÚMEROS REALES
Los conjuntos numéricos son los elementos
iniciales con los cuales a lo largo de la historia
se ha hecho matemáticas.
El primer conjunto numérico generado, a
partir de la necesidad de hacer conteo, fue 0N
(en su notación actual) 0 0N N
A medida que evolucionó el pensamiento
humano, se fueron concibiendo otros
conjuntos numéricos como los siguientes:
1,2,3,4,5,....... ........ 4, 3, 2, 2, 1
........ 4, 3, 2, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6,..............
/ , , 0
N
aa b b
b
Una característica común de los elementos de
los conjuntos anteriores es que para cada uno
de ellos se puede encontrar una expresión
decimal.
A partir de la solución de la ecuación 2 2 0a se encuentran los valores 2a
,
para los cuales no existe un cociente de
números enteros de la forma a
b. Así, se dice
que, entre otros, para 2 no se encuentra una
expresión decimal finita o infinita periódica.
Los números que poseen la anterior
característica conforman el conjunto de los
números irracionales, denotado con la letra I.
algunos números irracionales son:
2 1,414213...... 3,1415.......
El conjunto de los números reales se forma a
partir de la unión de los números racionales y
los irracionales. Simbólicamente se tiene:
Algunas características de los números reales
son:
A cada punto sobre la recta le
corresponde un número real y viceversa
Entre dos números reales siempre es
posible encontrar otro número real
(densidad)
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es un conjunto ordenado
Es importante aclarar que el intervalo ,
es equivalente al conjunto de los números
DESIGUALDAD EN
Una desigualdad es una expresión de la forma, , , ,a b a b a b a bdonde a b
Intervalo
Un intervalo es un subconjunto (no vacío) de
los números reales.
A continuación se muestran las clases de
intervalos.
Infinitos
DESIGUALDAD EN
Operaciones entre intervalos:
Dado dos intervalos A Y B es posible
considerar las operaciones
', , ,A B A B A B A B y A . El conjunto
universal será el conjunto de los números
reales.
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Ejemplos
Dado los intervalos
3,3 , 3,3 1,4
4,5
A B C
D
Hallar:
'
. .
. .
a A C b B C
c B d B C
Solución:
En primer lugar, se dibuja cada uno de los
intervalos dados en la recta real, para luego
efectuar de una manera más sencilla las
operaciones propuestas.
Como la intersección de dos conjuntos,
corresponde al conjunto de elementos
comunes, se deduce de las gráficas que:
A C 1, 3 { x / 1 3}x
Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad en
la cual intervienen una o más variables.
Resolver una inecuación es hallar los
valores de las variables que hacen
verdadera la desigualdad. Al conjunto
de las soluciones se le llama conjunto
solución.
Para hallar la solución de una
inecuación es necesario tener en cuenta
ciertas propiedades las cuales se
presentan a continuación:
En nuestro caso abordaremos las
inecuaciones lineales, cuadráticas y
racionales
Sean ,a b y c
1. Si a b y b c a c
2. Si a b a c b c y a c b c
3. Si 0 . .a b
a b y C a c b c yc c
4. Si 0 . .a b
a b y C a c b c yc c
Inecuaciones lineales.
Se procede aplicando las propiedades vistas
y mediante la solución de ecuaciones
lineales
Ejemplo 1.
Hallar el conjunto solución de la inecuación
2 3 7x Solución
Usando las propiedades vistas se tiene que:
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2 3 7
2 3 3 7 3
2 0 4
2 4
2 4
2 2
2 :
/ 2 ,2
x
x
x
x
x
x luegoel conjunto soluciónes
S x x es decir
Ejemplo 2.
Hallar el conjunto solución de la inecuación
2 3 8 3x x Solución
Usando las propiedades vistas se tiene que:
2 3 8 3
2 3 3 8 3 3
2 0 5 3
2 3 5 3 3
5 5
5 51
5 5
x x
x x
x x
x x x x
x
xx
Luego la solución es:
/ 1 ,1S x x es decir
Ejemplo 2.
Hallar el conjunto solución de la inecuación
2 3 8 3 15x x Solución
Usando las propiedades vistas se tiene que:
2 3 8 3 15
:
x x
setrabaja dividiendola inecuaciónen
dos partes
2 3 8 3 15x x
Por tanto tenemos que solucionar dos
inecuaciones parecidas a los ejemplos
anteriores utilizando el conectivo lógico así:
2 3 8 3 8 3 15x x x
:
5 5 3 7
71
3
7,1 ,
3
utilizandolas propiedades se tiene
x x
x x
luego calculamos la operacion
Luego el conjunto solución es:
7 7/ 1 ,1
3 3S x x
Inecuaciones cuadráticas
Para la solución de este tipo de ecuaciones
Se debe tener en cuenta los casos de
factorización, la ecuación general y la ley de
los signos en la multiplicación
. 0 0 0 0 0a b a b a b
. 0 0 0 0 0a b a b a b
Ejemplo
Hallar el conjunto solución de
0
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22 5 3 0x x
Solucion
Resolveremos por el método analítico
Primero factorizamos:
2
2
2
2 5 3 0
5 32 0
2
2 5 2 60
2
x x
x x
x x
2 6 2 10
2
2 3 2 10
2
3 2 1 0
x x
x x
x x luego
setieneque
22 5 3 0 3 2 1 0x x x x
1 2
1
3 2 1 0
. 0 0 0 0 0
1
3 0 2 1 0
13 :
2
1, 3, :
2
2
3 0 2 1 0
13 :
2
1,3
a b
caso caso
x x
consideramos los dos casos
a b a b a b
caso
x x
x x es decir
luego la solucion es
S
caso
x x
x x es decir
2
1 2
, :2
1,3
2
:
1 1,3 ,3
2 2
1,3
2
luego la solucion es
S
la solución general es
S S S
S
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Método gráfico
1. Se traza una recta real por cada factor y
una recta real adicional para el resultado
2. Se calculan las raíces contenidas en cada
factor
3. Se ubican en cada recta real las respectivas
raíces calculadas en el paso anterior
4. Se trazan rectas verticales por cada punto-
raíz
5. A la izquierda de cada raíz ubicada en su
respectiva recta, se señala con un signo menos
y a la derecha con un signo más
6. Aplicando la "Ley de los signos" se halla el
resultado de multiplicar los signos de cada
columna, dicho resultado se escribe en el
lugar correspondiente de la recta real de
resultados
7. Si el sentido de la inecuación es >, la
solución estará constituida por todos los
intervalos, en la recta resultado, señalados con
el signo más; en cambio si el sentido de la
inecuación es <, la solución será la unión de
los intervalos señalados con el signo menos
Inecuaciones racionales
Las inecuaciones racionales se resuelven
teniendo en cuenta propiedades vistas en el
caso anterior, teniendo además la restricción
que tienen las ecuaciones de este tipo en el
denominador:
0,
f xh x con la condición
g x
que g x
En nuestro caso se considera dos casos: 1. ( ) 0g x
2. ( ) 0g x
Que es lo mismo tener la restricción ( ) 0g x
Ejemplo 1.
Encontrar el conjunto solución de la siguiente
inecuación
2 10
1
x
x
Solución
12
112
12
1 122 2
2 10
1
1 1 0
2 1 0 1 0
1 :
, 1,
2 1 0
2 1 0 1 0
1 :
, 1 ,1
xseconsideran dos casos
x
caso si x
x x
luego x x es decir
S
caso si x
x x
luego x x es decir
S
0
0
3
+
+
+
-
+
-
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Luego la solución es:
1 11 2 2 2
,1 ,1S S S
Ejemplo 2 Encontrar el conjunto solución de la siguiente
inecuación
2 11
1
x
x
Solución
Se procede de la misma forma que el caso
anterior considerando los dos casos
1 1 0caso si x
Multiplicamos por este valor en ambos lados
de la desigualdad
1 2 1
1 11 1
x xx
x
1
2 1 1 1
:
2 1 1 1
2 1 1 1
0 1
:
,0 1,
por el caso
x x
luego setiene
x x
x x x x
x x
la solución es
2 1 0caso si x
En este caso también multiplicamos por este
valor en ambos miembros de la desigualdad
teniendo en cuenta que este número es
negativo lo que deja dicho que la
desigualdad cambia por propiedad vista
anteriormente
1 2 1
1 11 1
x xx
x
2
1 2
2 1 1 1
:
2 1 1 1
2 1 1 1
0 1
:
0, ,1 0,1
:
0,1 0,1
0,1
por el caso
x x
luego setiene
x x
x x x x
x x
la soluciónes
luegola la solución es
S S S
S
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PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. Un estudiante debe mantener un promedio
numérico final en cinco exámenes de 80% a 89%,
para obtener una nota final de B en el curso de
cálculo. Si en los primeros cuatro exámenes
obtuvo calificaciones de 96%, 70%, 81% y 95%,
¿qué calificación deberá obtener en el examen
final para obtener una nota de B?
Solución:
Dejemos que x 0 x 100 sea la
calificación que debe obtener el estudiante en el
examen final. Un promedio se busca sumando las
notas y dividiendo entre el número de notas. Así,
el promedio del estudiante se calculará de la
siguiente manera:
96 70 81 95 x
5
Queremos que el
promedio final quede entre 80% y 90%,
inclusive el 80. Luego, al simplificar la
expresión anterior, tenemos: 96 70 81 95 x
80 905
34280 90 :
5
3425(80) 5 5(90)
5
400 342 450
400 342 450 342
58 108
xluego se tiene
x
x
x
x
El resultado anterior significa que, el
estudiante no puede sacar menos de 58% en el
examen final si desea una calificación de B en
dicho curso. Otras consecuencias del resultado
anterior son que si obtiene una calificación
menor de 58% en dicho examen final, su nota
final será menos de B y que no hay modo de
que el estudiante obtenga una nota final de A,
pues 0 ≤ x ≤ 100 y el resultado obtenido
implica que tendría que obtener una
calificación mayor o igual a 108 para
obtenerla.
2. La temperatura en escala Fahrenheit y
Celsius (centígrados) están relacionados
con la formula
5
329
C F ¿A qué temperatura
Fahrenheit corresponderá
una temperatura en escala centígrada que se
encuentra 0 040 50C
Solución: remplazando se tiene:
0 0540 32 50
9F Resolviendo se tiene:
0 059 40 9 32 9 50
9
360 5 32 450
360 5 160 450
360 160 5 450 160
520 5 610
520 610
5 5
104 122
F
F
F
F
F
F
F
VALOR ABSOLUTO
Se define de la siguiente forma:
0
0
x si xX
x si x
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