PREPARADOR DE CALCULO 11 -...

CÁLCULO 11°

Lic. EDWIN JOSÉ AGUAS CÁRCAMOS

2013

PREPARADOR

DE

CALCULO 11°

CÁLCULO 11°


2013

ÁREA: Matemáticas

ASIGNATURA: Cálculo

INTENSIDAD HORARIA SEMANAL: 5 Horas

TEMA: Conjuntos

Definición: Intuitivamente, un conjunto es una

colección o clase de objetos bien definidos. Estos

objetos se llaman elementos o miembros del

conjunto.

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas y

los elementos con letras minúsculas y su

representación gráfica se realiza a través de

diagramas o encerrando sus elementos entre llaves.

Ejemplo:

A= dcba ,,, 1,2,3,4,5A

DETERMINACION DE CONJUNTOS

Para determinar o identificar un conjunto existen

dos maneras:

Por extensión, que consiste en escribir todos y cada

uno de los elementos

que lo conforman, así conociendo todos sus

elementos conocemos el conjunto.

Por comprensión, esta consiste en indicar una

característica especial y común que tienen los

elementos de un conjunto.

Ejemplo: por extensión

1,2,3,4,5,6,7,8,9,0A

3,5,7,9,11,13,..........B

Por comprensión:

/ 2 1

A los números dígitos

B x x n

Ejercicios

Determinar por extensión y por comprensión cada

uno de los siguientes conjuntos.

a. El conjunto de los números primos menores

que 35

b. El conjunto de los cuadrados perfectos

menores que 100

c. El conjunto de los números impares

menores que 30

DIAGRAMA DE VENN

REPRESENTACION GEOMÉTRICA

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ACTIVIDAD

Determinar por extensión los siguientes conjuntos.

2

1. / 1 3

2. / 16

3. / 4 19

4. / , 9

5. / 3 11

6. / 2

7. / 10 1

8. / 3

x x

x x

x x

x x es primo y x

x x

x x

x x

x x

Determinar por comprensión cada conjunto.

9. 2, 4,6,8,10,12,.....

10. 1

11. 1,4,9,16,25,36,....

12.

13. 1,3,5,7,9,........

14. 2,5,10,17, 26,37,....

1 2 3 415. , , , ,...........

2 3 4 5

A

B

C

D

E

C

D

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Intuitivamente un álgebra es una estructura en

donde ciertos objetos de un conjunto base se

combinan por medio de distintas operaciones

para formar elementos del mismo conjunto

base. Tome, por ejemplo, la estructura de los

números naturales.

El conjunto base es en este caso el conjunto

de los números naturales, y hay varias

operaciones, como por ejemplo la suma. Si

operamos mediante la suma al 2 y al 3,

obtendremos el número 2+3=5. Estudiar un

álgebra significa estudiar las *propiedades de

las operaciones. Por ejemplo, para el caso

anterior, sabemos que una propiedad

fundamental de la suma es la conmutatividad:

,x y x y y x Para todos.

Intersección entre conjunto

Se llama intersección entre dos conjunto A y

B al conjunto formado por los elementos que

pertenecen simultáneamente a A y B. se

representa A B .

Simbólicamente /A B x x A x B

En el diagrama de Venn se tiene:

si el conjunto A B es vacío, se dice que A y

B son disyuntos. Se simboliza A B

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Ejercicios

1. Sean los conjuntos

2

/ 4 5 , / 6

/ 10 , / 4 0 ,

A x x B x x

C x x D x x

Hallar y representar en un diagrama de

Venn.

Luego, determinar la relación que existe

entre ellos.

2. sea / .B x x hallar un conjunto A

que cumpla la condición dada.

a. A B =B con A B

b. A B =A

c. A B

d. A B =A=B

Unión entre conjunto

Se llama unión entre dos conjunto A y B al

conjunto formado por los elementos que

pertenecen a A o a B. se representa AUB .

Simbólicamente /AUB x x A x B

En el diagrama de Venn se tiene:

Ejemplo

Dados los conjuntos

/ 3 1 15

/ 12 5 36

A x x esun multiplo de x y

B x x esun multiplo de x

Hallar AUB y hacer la representación en un

diagrama de Venn.

Solución

Determinamos por extensión los conjuntos A y B

3,6,9,12 12,24,36

3,6,9,12,24,36

A y B

luego AUB

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Diferencia entre conjunto

La diferencia entre dos conjuntos A y B es el

conjunto formado por los elementos que

pertenecen a A y no pertenecen a B se

representa A B

Simbólicamente /A B x x A x B

En general A B B A

ya que

/B A x x B x A

Sean

/ , 15

/ , 2 6

A x x x es un número par x

B x x x

Hallar A B y B A y representar cada

operación en un diagrama de Venn.

A B

B A

Diferencia simétrica

La diferencia simétrica entre dos conjuntos A

y B es el conjunto formado por los elementos

que pertenecen a AUB y no pertenecen A B .

Se representa A B

Simbólicamente

AUB A BA B

A B U B A

3 6

9

24

36

12

8 10

12 14

-2 -1 1 0 3 5

2 4 6

8 10

12 14

-2 -1 1 0 3 5

2 4 6

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Ejemplo

A partir del diagrama y teniendo en cuenta

que 62n U . Hallar:

1. n B 2. n AUB

3. n A 4. n A B

Como 62n U y

3 1 2 4 4 2 1n U x x x x entonces

6662 11 4 tan 6

11x por to x Luego x=6 de

esta forma se halla cada una de las

preguntas.

Ejemplo 2

En una encuesta realizada a un grupo de 104

estudiantes a cerca de la asignatura de su

preferencia se encontró que: 63 gustan de las

matemáticas, 54 de la física y 48 de la

química; 30 gustan de la matemática y la

física, 25 de la física y la química, 26 de la

matemática y la química;8 estudiantes no

gustan de las tres asignatura.

¿Cuántos ESTUDIANTES gustan de las tres

asignaturas?

Solución

Se utiliza el diagrama de Venn para visualizar

las ecuaciones.

TALLER DE EJERCITACION

Determinar por extensión cada conjunto.

Considerar el ejercicio 1 como conjunto

universal.

1. / , 3 20 2. / ,3

3. / , 1 8 4. / , 4

U x x x A x x x

B x x x x x x x

Teniendo en cuenta los conjuntos anteriores,

escribir los elementos correspondientes en

cada expresión.

3x-1

4x-4 2x

2x+1

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''

' ' '

' ' ' ' ' '

5. 6. 7.

8. 9. 10.

11. 12. ' 13.

14. 15. 16.

17. 18. 18.

AUB BUC B C

C A A B B A

A B BUC

A C CUA A B

B C A B B C

Determinar cuáles afirmaciones son

verdaderas. Justificar cada respuesta.

'

' '

' '

'

' ' '

19. 20.

21. 22.

23.

24.

25.

26.

si a A A B si A B A B A

si A B B A si A B A B A

si A B A B B

si A B A B

si B C y x B x C

si A B A B A

NÚMEROS REALES

Los conjuntos numéricos son los elementos

iniciales con los cuales a lo largo de la historia

se ha hecho matemáticas.

El primer conjunto numérico generado, a

partir de la necesidad de hacer conteo, fue 0N

(en su notación actual) 0 0N N

A medida que evolucionó el pensamiento

humano, se fueron concibiendo otros

conjuntos numéricos como los siguientes:

1,2,3,4,5,....... ........ 4, 3, 2, 2, 1

........ 4, 3, 2, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6,..............

/ , , 0

N

aa b b

b

Una característica común de los elementos de

los conjuntos anteriores es que para cada uno

de ellos se puede encontrar una expresión

decimal.

A partir de la solución de la ecuación 2 2 0a se encuentran los valores 2a

,

para los cuales no existe un cociente de

números enteros de la forma a

b. Así, se dice

que, entre otros, para 2 no se encuentra una

expresión decimal finita o infinita periódica.

Los números que poseen la anterior

característica conforman el conjunto de los

números irracionales, denotado con la letra I.

algunos números irracionales son:

2 1,414213...... 3,1415.......

El conjunto de los números reales se forma a

partir de la unión de los números racionales y

los irracionales. Simbólicamente se tiene:

Algunas características de los números reales

son:

A cada punto sobre la recta le

corresponde un número real y viceversa

Entre dos números reales siempre es

posible encontrar otro número real

(densidad)

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es un conjunto ordenado

Es importante aclarar que el intervalo ,

es equivalente al conjunto de los números

DESIGUALDAD EN

Una desigualdad es una expresión de la forma, , , ,a b a b a b a bdonde a b

Intervalo

Un intervalo es un subconjunto (no vacío) de

los números reales.

A continuación se muestran las clases de

intervalos.

Infinitos

DESIGUALDAD EN

Operaciones entre intervalos:

Dado dos intervalos A Y B es posible

considerar las operaciones

', , ,A B A B A B A B y A . El conjunto

universal será el conjunto de los números

reales.

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Ejemplos

Dado los intervalos

3,3 , 3,3 1,4

4,5

A B C

D

Hallar:

'

. .

. .

a A C b B C

c B d B C

Solución:

En primer lugar, se dibuja cada uno de los

intervalos dados en la recta real, para luego

efectuar de una manera más sencilla las

operaciones propuestas.

Como la intersección de dos conjuntos,

corresponde al conjunto de elementos

comunes, se deduce de las gráficas que:

A C 1, 3 { x / 1 3}x

Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad en

la cual intervienen una o más variables.

Resolver una inecuación es hallar los

valores de las variables que hacen

verdadera la desigualdad. Al conjunto

de las soluciones se le llama conjunto

solución.

Para hallar la solución de una

inecuación es necesario tener en cuenta

ciertas propiedades las cuales se

presentan a continuación:

En nuestro caso abordaremos las

inecuaciones lineales, cuadráticas y

racionales

Sean ,a b y c

1. Si a b y b c a c

2. Si a b a c b c y a c b c

3. Si 0 . .a b

a b y C a c b c yc c

4. Si 0 . .a b

a b y C a c b c yc c

Inecuaciones lineales.

Se procede aplicando las propiedades vistas

y mediante la solución de ecuaciones

lineales

Ejemplo 1.

Hallar el conjunto solución de la inecuación

2 3 7x Solución

Usando las propiedades vistas se tiene que:

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2 3 7

2 3 3 7 3

2 0 4

2 4

2 4

2 2

2 :

/ 2 ,2

x

x

x

x

x

x luegoel conjunto soluciónes

S x x es decir

Ejemplo 2.


2 3 8 3x x Solución


2 3 8 3

2 3 3 8 3 3

2 0 5 3

2 3 5 3 3

5 5

5 51

5 5

x x

x x

x x

x x x x

x

xx

Luego la solución es:

/ 1 ,1S x x es decir

Ejemplo 2.


2 3 8 3 15x x Solución


2 3 8 3 15

:

x x

setrabaja dividiendola inecuaciónen

dos partes

2 3 8 3 15x x

Por tanto tenemos que solucionar dos

inecuaciones parecidas a los ejemplos

anteriores utilizando el conectivo lógico así:

2 3 8 3 8 3 15x x x

:

5 5 3 7

71

3

7,1 ,

3

utilizandolas propiedades se tiene

x x

x x

luego calculamos la operacion

Luego el conjunto solución es:

7 7/ 1 ,1

3 3S x x

Inecuaciones cuadráticas

Para la solución de este tipo de ecuaciones

Se debe tener en cuenta los casos de

factorización, la ecuación general y la ley de

los signos en la multiplicación

. 0 0 0 0 0a b a b a b

. 0 0 0 0 0a b a b a b

Ejemplo

Hallar el conjunto solución de

0

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22 5 3 0x x

Solucion

Resolveremos por el método analítico

Primero factorizamos:

2

2

2

2 5 3 0

5 32 0

2

2 5 2 60

2

x x

x x

x x

2 6 2 10

2

2 3 2 10

2

3 2 1 0

x x

x x

x x luego

setieneque

22 5 3 0 3 2 1 0x x x x

1 2

1

3 2 1 0

. 0 0 0 0 0

1

3 0 2 1 0

13 :

2

1, 3, :

2

2

3 0 2 1 0

13 :

2

1,3

a b

caso caso

x x

consideramos los dos casos

a b a b a b

caso

x x

x x es decir

luego la solucion es

S

caso

x x

x x es decir

2

1 2

, :2

1,3

2

:

1 1,3 ,3

2 2

1,3

2

luego la solucion es

S

la solución general es

S S S

S

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Método gráfico

1. Se traza una recta real por cada factor y

una recta real adicional para el resultado

2. Se calculan las raíces contenidas en cada

factor

3. Se ubican en cada recta real las respectivas

raíces calculadas en el paso anterior

4. Se trazan rectas verticales por cada punto-

raíz

5. A la izquierda de cada raíz ubicada en su

respectiva recta, se señala con un signo menos

y a la derecha con un signo más

6. Aplicando la "Ley de los signos" se halla el

resultado de multiplicar los signos de cada

columna, dicho resultado se escribe en el

lugar correspondiente de la recta real de

resultados

7. Si el sentido de la inecuación es >, la

solución estará constituida por todos los

intervalos, en la recta resultado, señalados con

el signo más; en cambio si el sentido de la

inecuación es <, la solución será la unión de

los intervalos señalados con el signo menos

Inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales se resuelven

teniendo en cuenta propiedades vistas en el

caso anterior, teniendo además la restricción

que tienen las ecuaciones de este tipo en el

denominador:

0,

f xh x con la condición

g x

que g x

En nuestro caso se considera dos casos: 1. ( ) 0g x

2. ( ) 0g x

Que es lo mismo tener la restricción ( ) 0g x

Ejemplo 1.

Encontrar el conjunto solución de la siguiente

inecuación

2 10

1

x

x

Solución

12

112

12

1 122 2

2 10

1

1 1 0

2 1 0 1 0

1 :

, 1,

2 1 0

2 1 0 1 0

1 :

, 1 ,1

xseconsideran dos casos

x

caso si x

x x

luego x x es decir

S

caso si x

x x

luego x x es decir

S

0

0

3

+

+

+

-

+

-

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Luego la solución es:

1 11 2 2 2

,1 ,1S S S

Ejemplo 2 Encontrar el conjunto solución de la siguiente

inecuación

2 11

1

x

x

Solución

Se procede de la misma forma que el caso

anterior considerando los dos casos

1 1 0caso si x

Multiplicamos por este valor en ambos lados

de la desigualdad

1 2 1

1 11 1

x xx

x

1

2 1 1 1

:

2 1 1 1

2 1 1 1

0 1

:

,0 1,

por el caso

x x

luego setiene

x x

x x x x

x x

la solución es

2 1 0caso si x

En este caso también multiplicamos por este

valor en ambos miembros de la desigualdad

teniendo en cuenta que este número es

negativo lo que deja dicho que la

desigualdad cambia por propiedad vista

anteriormente

1 2 1

1 11 1

x xx

x

2

1 2

2 1 1 1

:

2 1 1 1

2 1 1 1

0 1

:

0, ,1 0,1

:

0,1 0,1

0,1

por el caso

x x

luego setiene

x x

x x x x

x x

la soluciónes

luegola la solución es

S S S

S

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Un estudiante debe mantener un promedio

numérico final en cinco exámenes de 80% a 89%,

para obtener una nota final de B en el curso de

cálculo. Si en los primeros cuatro exámenes

obtuvo calificaciones de 96%, 70%, 81% y 95%,

¿qué calificación deberá obtener en el examen

final para obtener una nota de B?

Solución:

Dejemos que x 0 x 100 sea la

calificación que debe obtener el estudiante en el

examen final. Un promedio se busca sumando las

notas y dividiendo entre el número de notas. Así,

el promedio del estudiante se calculará de la

siguiente manera:

96 70 81 95 x

5

Queremos que el

promedio final quede entre 80% y 90%,

inclusive el 80. Luego, al simplificar la

expresión anterior, tenemos: 96 70 81 95 x

80 905

34280 90 :

5

3425(80) 5 5(90)

5

400 342 450

400 342 450 342

58 108

xluego se tiene

x

x

x

x

El resultado anterior significa que, el

estudiante no puede sacar menos de 58% en el

examen final si desea una calificación de B en

dicho curso. Otras consecuencias del resultado

anterior son que si obtiene una calificación

menor de 58% en dicho examen final, su nota

final será menos de B y que no hay modo de

que el estudiante obtenga una nota final de A,

pues 0 ≤ x ≤ 100 y el resultado obtenido

implica que tendría que obtener una

calificación mayor o igual a 108 para

obtenerla.

2. La temperatura en escala Fahrenheit y

Celsius (centígrados) están relacionados

con la formula

5

329

C F ¿A qué temperatura

Fahrenheit corresponderá

una temperatura en escala centígrada que se

encuentra 0 040 50C

Solución: remplazando se tiene:

0 0540 32 50

9F Resolviendo se tiene:

0 059 40 9 32 9 50

9

360 5 32 450

360 5 160 450

360 160 5 450 160

520 5 610

520 610

5 5

104 122

F

F

F

F

F

F

F

VALOR ABSOLUTO

Se define de la siguiente forma:

0

0

x si xX

x si x

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