Post on 16-Apr-2015
Probabilidade
• Modelo matemático para incerteza
• Desenvolvimento relativamente recente– Cardano (século XVI)– Pascal (século XVII)
• Peter Bernstein, Against the Gods
Primeira Tentativa
• Espaço amostral (): resultados possíveis para um experimento aleatório.
• Probabilidade: número não negativo atribuído a cada um destes resultados, de modo que a soma seja 1 (intuição: frequência a longo prazo)
Primeira Tentativa
• Adequado para o caso discreto
= {1, 2, ...}
p1 +p2 + ... = 1
Para cada A , P(A) = i A P(i)
Como atribuir probabilidades?
• Estatística: estimar através de frequência observada
• Explorar simetria: modelos equiprováveis
= {1, 2, ..., n }
p1 = p2 = ... = pn = 1/n
• Moedas, bolas em urnas, cartas, dados, etc
Exemplo
• Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras?
• Espaço amostral: = {0, 1, 2, 3} (número de caras)
• Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.
Exemplo
• Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras?
• Espaço amostral: = {0, 1, 2, 3} (número de caras)
• Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.
Exemplo
• Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras?
• Espaço amostral: = {ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk}
• Probabilidade de sair 2 caras = P({cck, ckc, kcc}) = 3/8.
Observação
• É óbvio que kkk e ckc têm a mesma chance de ocorrer?
• E kkkkkkkkkk e ckkckckckk?• Mega-sena: 1-2-3-4-5-6 e 7-16-24-28-41-52?
• Nassim Taleb, Fooled by Randomness
Caso contínuo
• Roleta “real”, com números de 0 a 360.
• Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a 316,43?
• Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a maior que 300?
Caso contínuo
• Roleta “real”, com números de 0 a 360.
• Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a 316,43?
zero
• Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a maior que 300?
1/6
Caso contínuo
• Probabilidade de eventos não pode ser calculada simplesmente somando as probabilidades associadas a pontos de
• Necessidade de atribuir probabilidades diretamente aos subconjuntos de
• Mas não a todos os subconjuntos (Teoria da Medida)
Modelo Probabilístico Revisado
• Espaço amostral (): conjunto de resultados possíveis para um experimento aleatório.
• -álgebra de eventos (A): subconjuntos de aos quais se atribui probabilidade. A, A A Ac A , Ai A Ai A
• Probabilidade (P): função definida em A P(A) 0, P() =1, P( Ai ) = i P(Ai) (Ai disjuntos 2 a 2)
Consequências
• P(Ac) = 1 – P(A)
• P() = 0
• An A P(An) P(A)
• An A P(An) P(A)
Caso discreto
• A = todos os subconjuntos de • Probabilidades pi atribuídas aos eventos
unitários {i} (como antes)
Caso contínuo
• = R• A = menor -álgebra que contém todos os
intervalos (-álgebra de Borel)• Probabilidades atribuídas aos intervalos (ou
aos intervalos da forma (–, x]) (tipicamente através da integral de uma função de densidade)
• Por exemplo, no caso da roleta:
360360
1]),([
abdxbaP
b
a
Probabilidade Condicional
• Probabilidade condicional do evento A na certeza do evento B
• Tudo se passa como se, na certeza de B, B fosse o novo espaço amostral.
)(
)()|(
BP
BAPBAP
Exemplo
• Um dado é lançado 2 vezes. Dado que a soma é 4, qual é a probabilidade condicional de ter saído 1 no primeiro lançamento?
= {(1,1), …, (6, 6)}
A = [1 no 1o] = {(1, 1), …, (1, 6)}
B = [soma 4] = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
AB = {(1, 3)}
3
1
36/3
36/1
)(
)()|(
BP
BAPBAP
Observação
• De , resulta:
P(AB) = P(B). P(A | B) = P(A) . P(B | A)
• A e B são independentes quando P(AB) = P(A). P(B)
)(
)()|(
BP
BAPBAP
Exemplo
• Em uma urna há 6 bolas brancas e 4 pretas. As bolas são retiradas sequencialmente, sem reposição.
Exemplo
1) Probabilidade de a 1a bola retirada ser branca?
Exemplo
2) Probabilidade de a 1a bola retirada ser branca e a 2a preta?
Exemplo
3) Probabilidade de a 2a bola retirada ser preta?
Exemplo
4) Probabilidade de a 1a bola retirada ter sido preta sabendo que a 2a foi branca?
Teoremas
• Sejam B1, B2, … disjuntos 2 a 2 tais que Bi =
• Probabilidade Total
• Bayes
...)|().()|().()( 2211 BAPBPBAPBPAP
...)|().()|().(
)|().()|(
2211
111
BAPBPBAPBP
BAPBPABP
Exemplo
• Em uma população, 1% das pessoas têm uma certa doença. Um exame para esta doença tem probabilidade de falso-positivo igual a 2% e de falso negativo igual a 1%. Se uma pessoa escolhida ao acaso é examinada e o exame dá positivo, qual é a probabilidade de que ela tenha a doença?
Solução
• Dados:
P(Doente) = 0.01
P(Positivo|Doente) = 0.99
P(Positivo|Doentec) = 0.02
• Pede-se:
P(Doente|Positivo)
Solução
D
Dc
P
P
0,01
0,99
0,99
0,01
0,020,98
Solução
D
Dc
P
P
0,01
0,99
0,99
0,01
0,020,98
3
1
02,0.99,099,0.01,0
99,0.01,0
)(
)()|(
PP
PDPPDP